平面向量的數(shù)量積與運(yùn)算律

關(guān)于平面向量的數(shù)量積與運(yùn)算律第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三物理中功的概念θsF

一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？其中力F

和位移s是向量，功是數(shù)量.是F的方向與s的方向的夾角。新課引入第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三先看一個(gè)概念-----向量的夾角

OABabOABba當(dāng)，OABba當(dāng)，OABab當(dāng)，記作已知a

與b

同向；a

與b

反向；a

與b

垂直.第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí)一：在中，找出下列向量的夾角：

ABC(1)(2)(3)第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三平面向量的數(shù)量積的定義

（1）兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，符號(hào)由夾角決定.

（3）

在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍是[0°，180°]．（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種乘法，它與數(shù)的乘法是有區(qū)別的，a·b不能寫成a×b

或ab.說明：

第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三例題1：求下列向量的內(nèi)積第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1）e·a=a·e=|a|cos

（2）a⊥ba·b=0

(判斷兩向量垂直的依據(jù))

（3）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a|·|b|，當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a|·|b|

．特別地(a//

ba·

b=±|a|·

|b|)第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三

第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三數(shù)量積的運(yùn)算律：

⑴交換律：⑵對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律：⑶分配律：第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三（1）

解：由題意

第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí)二：（1）在四邊形ABCD中，AB·BC=0，且AB=DC則四邊形ABCD是（）A梯形B菱形C矩形D正方形（3）在中，已知|AB|=|AC|=1，且AB·AC=，則這個(gè)三角形的形狀是C±1等邊三角形（2）已知向量a,b共線，且|a|=2|b|則a與b間的夾角的余弦值是。第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三總結(jié)提煉1、向量的數(shù)量積的物理模型是力的做功；4、兩向量的夾角范圍是5、掌握五條重要性質(zhì)：平面向量的數(shù)量積的幾何意義是:a

的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的數(shù)量

|b|cos的乘積2、a

·b的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，它是標(biāo)量不是向量。3、利用a

·b=|a|·|b|cos可求兩向量的夾角，尤其是判定垂直。第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三演練反饋××√判斷下列各題是否正確：（2）、若，，則（3）、若，，則(1)、若，則任一向量，有（4）、×第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三ABC1AB1O第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三

在實(shí)數(shù)中，有(ab)c=a(bc)，向量中是否也有?為什么?想一想：答：沒有.因?yàn)橛叶耸桥c共線的向量，而左端是與共線的向量，但一般與不共線．所以，向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律．第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三想一想：所以，向量的數(shù)量積不滿足消去律．

在實(shí)數(shù)中，若ab=ac且a0，則b=c向量中是否也有“若，則”成立呢?為什么?OABC第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三例3已知||=6，||=4，與的夾角為60，求：解：(1)=72.第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三

1.小結(jié)：

2.向量運(yùn)算不能照搬實(shí)數(shù)運(yùn)算律，交換律、數(shù)乘結(jié)合律、分配率成立；向量結(jié)合律、消去律不成立。

3.向量的主要應(yīng)用是解決長(zhǎng)度和夾角問題。第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三運(yùn)用平面向量的坐標(biāo)求內(nèi)積探究：設(shè)，，，分別為x軸和y軸正方向上的單位向量。１１０11第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三平面向量?jī)?nèi)積的坐標(biāo)表示即：兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和.探究：利用坐標(biāo)公式驗(yàn)證向量的模第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三例題３：求下列向量的內(nèi)積解：（１）

第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期三例題2：已知，求：

（1）

（2）

第24頁，共27