廣東省2022屆高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷及答案

2022年普通高等學(xué)校招生試卷全國統(tǒng)一考試廣東省理科數(shù)學(xué)模擬考試（二）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，集合，集合，若，則（）A．B．0C．1D．32．若復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．是實(shí)數(shù)B．是純虛數(shù)C．D．3．已知，，，若，則（）A．-7B．-2C．5D．84．如圖，是以正方形的邊為直徑的半圓，向正方形內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（）A．B．C．D．5．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比，且，則（）A．-9B．9C．-81D．816．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的方程為（）A．B．C．D．或7．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．B．C．D．8．設(shè)滿足約束條件則的取值范圍是（）A．B．C．D．9．在印度有一個(gè)古老的傳說：舍罕王打算獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明人——宰相宰相西薩?班?達(dá)依爾．國王問他想要什么，他對國王說：“陛下，請您在這張棋盤的第1個(gè)小格里，賞給我1粒麥子，在第2個(gè)小格里給2粒，第3小格給4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．請您把這樣擺滿棋盤上所有的64格的麥粒，都賞給您的仆人吧！”國王覺得這要求太容易滿足了，就命令給他這些麥粒．當(dāng)人們把一袋一袋的麥子搬來開始計(jì)數(shù)時(shí)，國王才發(fā)現(xiàn)：就是把全印度甚至全世界的麥粒全拿來，也滿足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麥粒到底有多少粒？下面是四位同學(xué)為了計(jì)算上面這個(gè)問題而設(shè)計(jì)的程序框圖，其中正確的是（）ABCD10．已知數(shù)列前項(xiàng)和為，，且滿足，已知，，則的最小值為（）A．B．C．-14D．-2811．已知菱形的邊長為，，沿對角線將菱形折起，使得二面角的余弦值為，則該四面體外接球的體積為（）A．B．C．D．12．已知函數(shù)，則下面對函數(shù)的描述正確的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到偶函數(shù)的圖象，則的最大值是．14．已知，展開式的常數(shù)項(xiàng)為，則的最小值為．15．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式的解集為．16．設(shè)過拋物線上任意一點(diǎn)（異于原點(diǎn)）的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，.（1）若點(diǎn)是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，求的值；（2）若，求的面積.18．如圖，在五面體中，四邊形是正方形，，，.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的最正弦值.19．經(jīng)銷商第一年購買某工廠商品的單價(jià)為（單位：元），在下一年購買時(shí)，購買單價(jià)與其上年度銷售額（單位：萬元）相聯(lián)系，銷售額越多，得到的優(yōu)惠力度越大，具體情況如下表：上一年度銷售額/萬元商品單價(jià)/元為了研究該商品購買單價(jià)的情況，為此調(diào)查并整理了50個(gè)經(jīng)銷商一年的銷售額，得到下面的柱狀圖.已知某經(jīng)銷商下一年購買該商品的單價(jià)為（單位：元），且以經(jīng)銷商在各段銷售額的頻率作為概率.（1）求的平均估計(jì)值.（2）該工廠針對此次的調(diào)查制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：經(jīng)銷商購買單價(jià)不高于平均估計(jì)單價(jià)的獲得兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，高于平均估計(jì)單價(jià)的獲得一次抽獎(jiǎng)活動(dòng).每次獲獎(jiǎng)的金額和對應(yīng)的概率為獲獎(jiǎng)金額/元500010000概率記（單位：元）表示某經(jīng)銷商參加這次活動(dòng)獲得的獎(jiǎng)金，求的分布列及數(shù)學(xué)期望..20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)也為拋物線的焦點(diǎn).（1）若為橢圓上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求直線的概率；（2）若過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和，設(shè)線段的長分別為，證明是定值.21．已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求直線和圓的極坐標(biāo)方程；（2）若射線與的交點(diǎn)為，與圓的交點(diǎn)為，且點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，求的值.23．選修4-5：不等式選講已知.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，的圖象與軸圍成的三角形面積大于24，求的取值范圍.2022年普通高等學(xué)校招生試卷全國統(tǒng)一考試廣東省理科數(shù)學(xué)模擬考試（二）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題1-5:CDADB6-10:ABBCC11、12：BB二、填空題13．14．215．16．3三、解答題17．解：（1）由題意得是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)，則，，又，，在中，由余弦定理得，解得（負(fù)值舍去），則.在中，.（2）在中，由正弦定理，得.又，所以，則為銳角，所以.則，所以的面積.18．（1）證明：因?yàn)?，，平面，且，所以平?又平面，故平面平面.（2）解：由已知，所以平面.又平面平面，故.所以四邊形為等腰梯形.又，所以，易得，令，如圖，以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，由所以取，則，，得，.設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.19．解：（1）由題可知：商品單價(jià)/元頻率的平均估計(jì)值為：.（2）購買單價(jià)不高于平均估計(jì)單價(jià)的概率為.的取值為5000，10000，15000，20000.，，，.所以的分布列為（元）.20．解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，故.所以橢圓.（1）設(shè)，，則兩式相減得，又的中點(diǎn)為，所以，.所以.顯然，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線的斜率為.（2）橢圓右焦點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在或者為0時(shí)，.當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程得消去并化簡得，因?yàn)?，所以?所以，同理可得.所以為定值.21．解：（1）由，得.因?yàn)?，所以，解?所以，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）令，根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，恒成立..①當(dāng)，時(shí)，恒成立，所以在上是增函數(shù)，且，所以不符合題意；②當(dāng)，時(shí)，恒成立，所以在上是增函數(shù)，且，所以不符合題意；③當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋泻阌?，故在上是減函數(shù)，于是“對任意都成立”的充要條件是，即，解得，故.綜上，的取值范圍是.22．解：（1）在直線的參數(shù)方程中消去可得，，將，代入以上方程中，所以，