-新教材高中數(shù)學(xué)課時檢測8不等關(guān)系與大小比較含解析湘教版必修第一冊

PAGEPAGE4課時跟蹤檢測(八)不等關(guān)系與大小比較[A級基礎(chǔ)鞏固]1．某高速公路對行駛的各種車輛的最大限速為120km/h.行駛過程中，同一車道上的車間距d不得小于10m，用不等式表示()A．v≤120(km/h)或d≥10(m)B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(v≤120（km/h），,d≥10（m）))C．v≤120(km/h)D．d≥10(m)解析：選B最大限速與車距是同時的，故選B.2．不等式a2＋b2≥2|ab|成立時，a，b一定是()A．正數(shù) B．非負(fù)數(shù)C．實(shí)數(shù) D．不存在解析：選C原不等式可變形為a2＋b2－2|ab|＝|a|2＋|b|2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，對任意實(shí)數(shù)都成立．3．若x∈R，y∈R則()A．x2＋y2＞2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1C．x2＋y2＜2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1解析：選A因為x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1＞0，所以x2＋y2＞2xy－1，故選A.4．實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝0，xyz＞0，若T＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)，則()A．T＞0 B．T＜0C．T＝0 D．T≥0解析：選B因為x＋y＋z＝0且xyz＞0，不妨設(shè)x＞0，則y＜0，z＜0，則T＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(xy＋yz＋xz,xyz)＝eq\f(y（x＋z）＋xz,xyz)＝eq\f(－y2＋xz,xyz).因為x＞0，z＜0，所以xz＜0.又－y2＜0，所以－y2＋xz＜0.又xyz＞0，所以T＜0.故選B.5．(多選)下面列出的幾種不等關(guān)系中，正確的為()A．x與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示為“x＋2＞0”B．小明的身高為x，小華的身高為y，則小明比小華矮，可表示為“x＞y”C．△ABC的兩邊之和大于第三邊，記三邊分別為a，b，c，則可表示為“a＋b＞c且b＋c＞a”D．若某天的溫度為t，最低溫度為7℃，最高溫度為13℃，則這天的溫度范圍可表示為“7℃≤t≤13℃”解析：選CD對于A中，x與2的和是非負(fù)數(shù)，應(yīng)表示為“x＋2≥0”，故A錯誤；對于B中，小明比小華矮，應(yīng)表示為“x＜y”，故B錯誤；對于C中，根據(jù)三角形的性質(zhì)，兩邊之和大于第三邊，所以C正確；對于D中，最低溫度為7℃，最高溫度為13℃，則這天的溫度范圍可表示為“7℃≤t≤13℃”，所以D正確．故選C、D.6．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，則x與y的大小關(guān)系是________．解析：x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，所以x＜y.答案：x＜y7．一輛汽車原來每天行駛xkm，如果該汽車每天行駛的路程比原來多19km，那么在8天內(nèi)它的行程就超過2200km，寫出不等式為________；如果它每天行駛的路程比原來少12km，那么它原來行駛8天的路程就得花9天多的時間，用不等式表示為________．解析：由題意知，汽車原來每天行駛xkm，如果它每天行駛的路程比原來多19km，那么8天內(nèi)它的行程超過2200km,則8(x＋19)＞2200.若每天行駛的路程比原來少12km，則原來行駛8天的路程就要用9天多，即eq\f(8x,x－12)＞9.答案：8(x＋19)＞2200eq\f(8x,x－12)＞98．已知a，b，x均為正數(shù)，且a＞b，則eq\f(b,a)________eq\f(b＋x,a＋x).(填“＞”“＜”或“＝”)解析：eq\f(b,a)－eq\f(b＋x,a＋x)＝eq\f(ab＋bx－ab－ax,a（a＋x）)＝eq\f(（b－a）x,a（x＋a）).因為a＞0，a＞b，x＞0，所以x＋a＞0，b－a＜0，所以eq\f(（b－a）x,a（x＋a）)＜0，所以eq\f(b,a)＜eq\f(b＋x,a＋x).答案：＜9．有學(xué)生若干人，住若干宿舍，如果每間住4人，那么還余19人，如果每間住6人，那么只有一間不滿但不空，求宿舍間數(shù)和學(xué)生人數(shù)．解：設(shè)宿舍有x間，則學(xué)生有(4x＋19)人，依題意，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋19＜6x，,4x＋19＞6（x－1）.))解得eq\f(19,2)＜x＜eq\f(25,2).∵x∈N＋，∴x＝10，11或12.學(xué)生人數(shù)分別為59，63，67.故宿舍間數(shù)和學(xué)生人數(shù)分別為10間59人，11間63人或12間67人．10．(1)已知a，b∈R，a＋b>0，試比較a3＋b3與ab2＋a2b的大??；(2)已知a≥1，試比較M＝eq\r(a＋1)－eq\r(a)和N＝eq\r(a)－eq\r(a－1)的大?。猓?1)因為a＋b>0，(a－b)2≥0，所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.(2)因為a≥1，所以M＝eq\r(a＋1)－eq\r(a)>0，N＝eq\r(a)－eq\r(a－1)>0.所以eq\f(M,N)＝eq\f(\r(a＋1)－\r(a),\r(a)－\r(a－1))＝eq\f(\r(a)＋\r(a－1),\r(a＋1)＋\r(a)).因為eq\r(a＋1)＋eq\r(a)>eq\r(a)＋eq\r(a－1)>0，所以eq\f(M,N)<1，所以M<N.[B級綜合運(yùn)用]11．四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示．盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半．設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為h1，h2，h3，h4，則它們的大小關(guān)系正確的是()A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1解析：選A根據(jù)四個杯的形狀分析易知h2＞h1＞h4或h2＞h3＞h4.12．若p＝eq\r(a＋6)－eq\r(a＋4)，q＝eq\r(a＋5)－eq\r(a＋3)，其中a≥0，則p，q的大小關(guān)系是()A．p＜q B．p＝qC．p＞q D．不確定解析：選A由題意知p－q＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3)－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))．∵(eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3))2－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))2＝2eq\r(（a＋3）（a＋6）)－2eq\r(（a＋4）（a＋5）)，且(a＋3)(a＋6)－(a＋4)(a＋5)＝－2＜0，a≥0，∴2eq\r(（a＋3）（a＋6）)－2eq\r(（a＋4）（a＋5）)＜0，即(eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3))2－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))2＜0，∴p－q＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋3)－(eq\r(a＋4)＋eq\r(a＋5))＜0，故p＜q.13．比較大?。篴2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.答案：＞14．已知0<a<b且a＋b＝1，試比較：(1)a2＋b2與b的大??；(2)2ab與eq\f(1,2)的大?。猓?1)因為0<a<b且a＋b＝1，所以0<a<eq\f(1,2)<b，則a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)<0，所以a2＋b2<b.(2)因為2ab－eq\f(1,2)＝2a(1－a)－eq\f(1,2)＝－2a2＋2a－eq\f(1,2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－a＋\f(1,4)))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)<0，所以2ab<eq\f(1,2).[C級拓展探究]15．兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定．哪種購物方式比較經(jīng)濟(jì)？你能把所得結(jié)論作一些推廣嗎？解：不妨設(shè)第一次購物時的價格為p1元/個，第二次購物時的價格為p2元/個．設(shè)按第一種策略購物，每次購n個，則兩次購物的平均價格為eq\f(p1n＋p2n,2n)＝eq\f(p1＋p2,2)(元/個)．設(shè)按第二種策略購物，第一次花m元錢，則能購買eq\f(m,p1)個物品，由題意知第二次仍花m元錢，能購買eq\f(m,p2)個物品，故兩次購物的平均價格為eq\f(2m,\f(m,p1)＋\f(m,p2))＝eq\f(2,\f(1,p1)＋\f(1,p2))(元/個)．比較兩次購物的平均價格：eq\