-新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測(cè)54用樣本估計(jì)總體的離散程度含解析湘教版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE5課時(shí)跟蹤檢測(cè)(五十四)用樣本估計(jì)總體的離散程度[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)解析：選B平均數(shù)和中位數(shù)都能反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，標(biāo)準(zhǔn)差能反映一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度，最大值是極端數(shù)據(jù)．2．某射手在一次訓(xùn)練中五次射擊的成績(jī)分別為9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，則該射手成績(jī)的極差和方差分別是()A．0.2，0.127 B．0.3，0.016C．9.4，0.080 D．0.3，0.216解析：選B由題意得，該射手在一次訓(xùn)練中五次射擊的成績(jī)的極差為9.7－9.4＝0.3，平均值為eq\f(1,5)×(9.4＋9.4＋9.4＋9.6＋9.7)＝9.5，所以該射手成績(jī)的方差s2＝eq\f(1,5)×[(9.4－9.5)2×3＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016，故選B.3．樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a，0，1，2，3.若該樣本的平均數(shù)為1，則樣本方差為()A.eq\r(\f(6,5)) B．eq\f(6,5)C.eq\r(2) D．2解析：選D由題可知樣本的平均數(shù)為1，所以eq\f(a＋0＋1＋2＋3,5)＝1，解得a＝－1，所以樣本的方差為eq\f(1,5)×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.4．(多選)某籃球愛好者在一次籃球訓(xùn)練中，需進(jìn)行五輪投籃，每輪投籃5次．統(tǒng)計(jì)各輪投進(jìn)球的個(gè)數(shù)，獲知其前四輪投中的個(gè)數(shù)分別為2，3，4，4，則第五輪結(jié)束后下列數(shù)字特征有可能發(fā)生的是()A．平均數(shù)為3，極差是3B．中位數(shù)是3，極差是3C．平均數(shù)為3，方差是0.8D．中位數(shù)是3，方差是0.56解析：選BCD2＋3＋4＋4＝13，①若平均數(shù)為3，則第五輪投中的個(gè)數(shù)為2，所以極差為4－2＝2，方差為eq\f(1,5)[(2－3)2×2＋(3－3)2＋(4－3)2×2]＝0.8，即A錯(cuò)誤，C正確；②若中位數(shù)為3，則第五輪投中的個(gè)數(shù)為0或1或2或3，當(dāng)投中的個(gè)數(shù)為0時(shí)，極差為4，方差為eq\f(1,5)[(0－2.6)2＋(2－2.6)2＋(3－2.6)2＋(4－2.6)2×2]＝2.24；當(dāng)投中的個(gè)數(shù)為1時(shí)，極差為3，方差為eq\f(1,5)[(1－2.8)2＋(2－2.8)2＋(3－2.8)2＋(4－2.8)2×2]＝1.36；當(dāng)投中的個(gè)數(shù)為2時(shí)，極差為2，方差為0.8；當(dāng)投中的個(gè)數(shù)為3時(shí)，極差為2，方差為eq\f(1,5)[(2－3.2)2＋(3－3.2)2×2＋(4－3.2)2×2]＝0.56，即B和D均正確．故選B、C、D.5．已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．解析：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(6＋7＋8＋8＋9＋10,6)＝8，故方差為s2＝eq\f(1,6)×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)6．從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取100人的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)如表，則這100人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為________.分?jǐn)?shù)54321人數(shù)2010303010解析：∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10,100)＝3，∴s2＝eq\f(1,100)(20×22＋10×12＋30×02＋30×12＋10×22)＝eq\f(160,100)＝eq\f(8,5)，∴s＝eq\f(2\r(10),5).答案：eq\f(2\r(10),5)7．已知某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1∶3∶6，2020年8月份調(diào)查得知該省所有城市房產(chǎn)均價(jià)為1.2萬元/平方米，方差為20，二、三、四線城市的房產(chǎn)均價(jià)分別為2.4萬元/平方米，1.8萬元/平方米，0.8萬元/平方米，三、四線城市房?jī)r(jià)的方差分別為10，8，則二線城市的房?jī)r(jià)的方差為________．解析：設(shè)二線城市的房?jī)r(jià)的方差為s2，由題意可知20＝eq\f(1,1＋3＋6)[s2＋(1.2－2.4)2]＋eq\f(3,1＋3＋6)[10＋(1.2－1.8)2]＋eq\f(6,1＋3＋6)[8＋(1.2－0.8)2]，解得s2＝118.52，即二線城市的房?jī)r(jià)的方差為118.52.答案：118.528．兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)直徑(單位：cm)為10的圓形截面零件，為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)量檢驗(yàn)員從兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品中各抽出4件進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果如下：機(jī)床甲109.81010.2機(jī)床乙10.1109.910如果你是質(zhì)量檢驗(yàn)員，在收集到上述數(shù)據(jù)后，你將通過怎樣的運(yùn)算來判斷哪臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件質(zhì)量更符合要求？解：(1)先計(jì)算平均直徑：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,4)×(10＋9.8＋10＋10.2)＝10，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,4)×(10.1＋10＋9.9＋10)＝10.由于eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，因此僅由平均直徑不能反映兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件的質(zhì)量?jī)?yōu)劣．(2)再計(jì)算方差：seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,4)×[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4)×[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005.seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，這說明乙機(jī)床生產(chǎn)出的零件直徑波動(dòng)小，因此從產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定性的角度考慮，乙機(jī)床生產(chǎn)的零件質(zhì)量更符合要求．9．工廠為了解每個(gè)工人對(duì)某零件的日加工量，統(tǒng)計(jì)員分別從兩車間抽取了甲、乙兩人日加工量的兩個(gè)樣本．抽到甲的一個(gè)樣本容量為10，樣本平均數(shù)為5，方差為1；乙的一個(gè)樣本容量為12，樣本平均數(shù)為6，方差為2.現(xiàn)將這兩組樣本合在一起，求合在一起后的樣本的平均數(shù)與方差．解：由題意知eq\o(x,\s\up6(－))甲＝5，seq\o\al(2,甲)＝1，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝6，seq\o\al(2,乙)＝2，則合在一起后的樣本容量為22，樣本平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,22)×(10×5＋12×6)≈5.55，樣本方差為s2＝eq\f(10,22)×[1＋(5－5.55)2]＋eq\f(12,22)×[2＋(6－5.55)2]≈1.79.[B級(jí)綜合運(yùn)用]10．(2020·全國(guó)卷Ⅲ)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且eq\i\su(i＝1,4,p)i＝1，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2解析：選B對(duì)于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為xA＝(1＋4)×0.1＋(2＋3)×0.4＝2.5，方差為seq\o\al(2,A)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65；對(duì)于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為xB＝(1＋4)×0.4＋(2＋3)×0.1＝2.5，方差為seq\o\al(2,B)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85；對(duì)于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為xC＝(1＋4)×0.2＋(2＋3)×0.3＝2.5，方差為seq\o\al(2,C)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05；對(duì)于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為xD＝(1＋4)×0.3＋(2＋3)×0.2＝2.5，方差為seq\o\al(2,D)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45.因此，B選項(xiàng)這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大．故選B.11．某學(xué)校為了調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間(單位：h)，甲同學(xué)抽取了一個(gè)容量為10的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為5，方差為9；乙同學(xué)抽取了一個(gè)容量為8的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為16.已知甲、乙兩同學(xué)抽取的樣本合在一起組成一個(gè)容量為18的樣本，則合在一起后的樣本均值與樣本方差分別是________、________．解析：由題意知，甲同學(xué)抽取的樣本容量m＝10，樣本平均值為eq\o(x,\s\up6(－))＝5，樣本方差為s2＝9；乙同學(xué)抽取的樣本容量n＝8，樣本平均值為eq\o(y,\s\up6(－))＝6，樣本方差t2＝16.故合在一起后的樣本平均值為eq\f(10×5＋8×6,10＋8)＝eq\f(98,18)≈5.44.樣本方差為eq\f(1,10＋8)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（10×9＋8×16）＋\f(10×8,10＋8)×（5－6）2))＝eq\f(1,18)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(218＋\f(40,9)))≈12.36.答案：5.4412.3612．對(duì)甲廠、乙廠、丙廠所生產(chǎn)的袋裝食品各抽檢了20袋，稱得質(zhì)量條形圖如圖所示．據(jù)此估計(jì)甲廠、乙廠、丙廠質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差，分別用s1，s2，s3表示，試比較s1，s2，s3的大小．解：根據(jù)題意，甲廠袋裝食品質(zhì)量的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,20)×(5×7＋5×8＋5×9＋5×10)＝8.5，方差seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,20)×[5×(7－8.5)2＋5×(8－8.5)2＋5×(9－8.5)2＋5×(10－8.5)2]＝1.25，標(biāo)準(zhǔn)差s1＝eq\r(1.25)；乙廠袋裝食品質(zhì)量的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(1,20)×(4×7＋6×8＋6×9＋4×10)＝8.5，方差seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,20)×[4×(7－8.5)2＋6×(8－8.5)2＋6×(9－8.5)2＋4×(10－8.5)2]＝1.05，標(biāo)準(zhǔn)差s2＝eq\r(1.05)；丙廠袋裝食品質(zhì)量的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))3＝eq\f(1,20)×(6×7＋4×8＋4×9＋6×10)＝8.5，方差seq\o\al(2,3)＝eq\f(1,20)×[6×(7－8.5)2＋4×(8－8.5)2＋4×(9－8.5)2＋6×(10－8.5)2]＝1.45，標(biāo)準(zhǔn)差s3＝eq\r(1.45).所以s3>s1>s2.[C級(jí)拓展探究]13．在分層抽樣時(shí)，如果總體分為k層，而且第j層抽取的樣本量為nj，第j