-新教材高中數(shù)學(xué)課時練習(xí)4等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用含解析新人教A版選擇性必修

PAGEPAGE7等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1．在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝()A．－1B．0C．1D．6【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.2．等差數(shù)列{an}中a2＝5，a6＝33，則a3＋a5＝()A．35B．38C．45D．48【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)知a3＋a5＝a2＋a6＝38.3．等差數(shù)列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，則公差d＝()A．3B．－6C．4D．－3【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝eq\f(－20－10,5)＝－6.4．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于()A．0B．37C．100D．－37【解析】選C.因?yàn)閧an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以{an＋bn}也是等差數(shù)列．又因?yàn)閍1＋b1＝100，a2＋b2＝100，所以an＋bn＝100，故a37＋b37＝100.5．我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中有如下問題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄”其大意為：有一女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織5尺，最后一天織一尺，三十天織完．則該女子第11天織布()A．eq\f(11,3)尺B．eq\f(105,29)尺C．eq\f(65,29)尺D．eq\f(7,3)尺【解析】選B.設(shè)女子每天的織布數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，由題設(shè)可知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等差數(shù)列，且a1＝5，a30＝1，故公差d＝eq\f(1－5,30－1)＝－eq\f(4,29)，故a11＝a1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(11－1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,29)))＝5－eq\f(40,29)＝eq\f(105,29).6．(多選題)若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)可能為()A．0B．1C．2D．3【解析】選BC.因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.所以二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為1或2.二、填空題(每小題5分，共10分)7．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a5＝3，則a3a7的最大值為________.【解析】依題意，等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))各項(xiàng)都為正數(shù)，所以a3>0，a7>0，所以a3a7≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3＋a7,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a5))eq\s\up12(2)＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a3＝a7＝3時等號成立．答案：98．在等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a2＋a8＝10.則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋a6))2－2a5＝__________．【解析】因?yàn)閿?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等差數(shù)列，a2＋a8＝a4＋a6＝2a5＝10，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋a6))2－2a5＝102－10＝90.答案：90三、解答題(每小題10分，共20分)9．兩個等差數(shù)列{an}：5，8，11，…和{bn}：3，7，11，…都有100項(xiàng)，那么它們共有多少個相同的項(xiàng)？【解析】方法一：設(shè)已知兩數(shù)列的所有相同的項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列為{cn}，c1＝11，又?jǐn)?shù)列5，8，11，…的通項(xiàng)公式為an＝3n＋2，數(shù)列3，7，11，…的通項(xiàng)公式為bn＝4n－1，所以數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，且d＝12，所以cn＝12n－1.又因?yàn)閍100＝302，b100＝399，所以cn＝12n－1≤302，所以n≤25eq\f(1,4)，所以已知兩數(shù)列共有25個相同的項(xiàng)．方法二：因?yàn)閍n＝3n＋2，bn＝4n－1，設(shè)an＝bm，則有3n＋2＝4m－1(n，m∈N*)即n＝eq\f(4,3)m－1(n，m∈N*).要使n為正整數(shù)，m必須是3的倍數(shù)．設(shè)m＝3k(k∈N*)，代入n＝eq\f(4,3)m－1，得n＝4k－1.又因?yàn)?≤3k≤100，且1≤4k－1≤100，所以1≤k≤25，所以共有25個相同的項(xiàng)．10．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.【解析】方法一：由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.所以(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10).所以a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.方法二：因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差數(shù)列，即30，80，a11＋a12＋…＋a15成等差數(shù)列，所以30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，a11＋a12＋…＋a15＝130.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共20分，多選題全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1．?dāng)?shù)列{an}滿足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，則log6(a5＋a7＋a9)的值是()A．－2B．－eq\f(1,2)C．2D．eq\f(1,2)【解析】選C.因?yàn)閍n＋1－an＝3，所以{an}為等差數(shù)列，且d＝3.a2＋a4＋a6＝9＝3a4，所以a4＝3，a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36，所以log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.2．若5，x，y，z，21成等差數(shù)列，則x＋y＋z的值為()A．26B．29C．39D．52【解析】選C.因?yàn)?，x，y，z，21成等差數(shù)列，所以y既是5和21的等差中項(xiàng)也是x和z的等差中項(xiàng)．所以5＋21＝x＋z＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.3．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為()A．1升B．eq\f(67,66)升C．eq\f(47,44)升D．eq\f(37,33)升【解析】選B.設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))所以a5＝a1＋4d＝eq\f(67,66)，即第5節(jié)的容積為eq\f(67,66)升．4．(多選題)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12>31，則公差d的取值可以為()A．3B．4C．5D．6【解析】選BCD.設(shè)首項(xiàng)為a1，由題意，可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋11d>31，))解得d>3.所以d的取值范圍是(3，＋∞).二、填空題(每小題5分，共20分)5．已知△ABC中三邊a，b，c成等差數(shù)列，eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)也成等差數(shù)列，則△ABC的形狀為________．【解析】由題可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋c＝2b，①,\r(a)＋\r(c)＝2\r(b)，②))②2－①，得2eq\r(ac)＝2b.所以b2＝ac，又(a＋c)2＝4b2，即(a＋c)2＝4ac，所以a2－2ac＋c2＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c，代入①，可得a＝b＝c，所以△ABC為等邊三角形．答案：等邊三角形6．如果等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4＝____；a1＋a2＋…＋a7＝____．【解析】由a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以a4＝4,a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.答案：4287．在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，則log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________．【解析】在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，所以a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，則log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a＝a1＋a2＋…＋a10＝20.答案：208．已知(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的4個根組成首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則|m－n|＝________．【解析】因?yàn)閥＝x2－2x＋m與y＝x2－2x＋n有相同的對稱軸，設(shè)四個根分別為x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1，x4為x2－2x＋m＝0的兩根，x2，x3為x2－2x＋n＝0的兩根，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x4＝2，,x1x4＝m.))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x3＝2，,x2x3＝n.))不妨令x1＝eq\f(1,4)，所以x4＝eq\f(7,4)，x2＝eq\f(3,4)，x3＝eq\f(5,4)，所以m＝eq\f(7,16)，n＝eq\f(15,16)，所以|m－n|＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答題(每小題10分，共30分)9．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(an)，且b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求通項(xiàng)公式an.【解析】因?yàn)閎1b2b3＝eq\f(1,8)，又bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(an)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a3)＝eq\f(1,8)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a1)＋a2＋a3＝eq\f(1,8)，所以a1＋a2＋a3＝3.又{an}成等差數(shù)列，所以a2＝1，a1＋a3＝2.所以b1b3＝eq\f(1,4)，b1＋b3＝eq\f(17,8)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝2，,b3＝\f(1,8)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝\f(1,8)，,b3＝2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,a3＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,a3＝－1.))設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，當(dāng)a1＝－1，a3＝3時，d＝2，所以an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；當(dāng)a1＝3，a3＝－1時，d＝－2，所以an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.綜上所述，an＝2n－3(n∈N*)或an＝－2n＋5(n∈N*).10．已知無窮等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，公差d＝－5，依次取出序號能被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求{bn}的通項(xiàng)公式；(3){bn}中的第503項(xiàng)是{an}中的第幾項(xiàng)？【解析】數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的一個子數(shù)列，其序號構(gòu)成以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，由于{an}是等差數(shù)列，則{bn}也是等差數(shù)列．(1)因?yàn)閍1＝3，d＝－5，所以an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.數(shù)列{an}中序號被4除余3的項(xiàng)是{an}中的第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，第11項(xiàng)，…，所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)設(shè){an}中的第m項(xiàng)是{bn}中的第n項(xiàng)，即bn＝am，則m＝3＋4(n－1)＝4n－1，所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，即{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝13－20n(n∈N*).(3)b503＝13－20×503＝－10047，設(shè)它是{an}中的第m項(xiàng)，則－10047＝8－5m，解得m＝2011，即{bn}中的第503項(xiàng)是{an}中的第2011項(xiàng)．11．已知正項(xiàng)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝(2n－1)an＋