第4講全等三角形的性質(zhì)及判定

一、知識(shí)要

第講全等三形的性質(zhì)判定（12.1、12.2）1、等三角的性質(zhì)1．全等形概念：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做等形．2．全等形性質(zhì)：（）形狀相同．（）大小相等．3．全等三形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做等三角形．4．全等三形的表示：（1）兩個(gè)全等的三角形重合時(shí)：重合的頂點(diǎn)叫做應(yīng)頂點(diǎn)重合的邊叫做對(duì)邊；重合的角叫做對(duì)應(yīng)角（2）如圖，和全等，記作．通常對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上．5．全等三形的性質(zhì)：（）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．（3）全等三角形的周長(zhǎng)、面積相等．6．全等變：只改變位置，不改變形狀和大小的圖形變換．平移、翻折（對(duì)稱(chēng)）、旋轉(zhuǎn)變換都是全等變換．7．全等三形基本圖形翻折法：找到中心線經(jīng)此翻折后能互相重合的兩個(gè)三角形，易發(fā)現(xiàn)其對(duì)應(yīng)元素旋轉(zhuǎn)法：兩個(gè)三角形繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度能夠重合時(shí)，易于找到對(duì)應(yīng)元素平移法：將兩個(gè)三角形沿某一直線推移能重合時(shí)也可找到對(duì)應(yīng)元素2、全三角形判定（1）全等三角形的判定——邊邊邊公理三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或SSS”．“邊邊邊公理的實(shí)質(zhì)：三角形的穩(wěn)定性（用三根木條釘三角形木架）．（2）全等三角形的判定——邊角邊公理兩和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成邊角邊”或SAS”．（3）全等三角形的判定——角邊角公理兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)為“角邊角”或ASA”（4三角形的判定——角角邊論兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等稱(chēng)角角邊”“AAS．（5直角三角形全等的判定—斜邊直角邊公理斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊直角邊”或HL．3、定直角角形全等的法選擇①一般三角形全等的判定方法都適用；②斜邊-直角邊公理一般三角形

直角三角形條件邊角邊（）,角邊角（ASA）斜邊、直角邊（HL）邊邊邊（SSS）,角角邊（AAS）性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、周長(zhǎng)相等、面積相等、對(duì)應(yīng)線段（如對(duì)應(yīng)邊上的高、中線、對(duì)應(yīng)角平分線）相等備注判定三角形全等必須至少有一組對(duì)邊相等注意：判定兩個(gè)三角形全等必須具備的三個(gè)條件中“邊”是不可缺少的，邊邊角）和角角角AAA）不能作為判定兩個(gè)三角形全等的方法。/

技巧平：證明兩個(gè)三角形全等時(shí)要認(rèn)真分析已知條件，仔細(xì)觀察圖形，明確已具備了哪些條件，從中找出已知條件和所要說(shuō)明的結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，從而選擇最適當(dāng)?shù)姆椒?。根?jù)三角形全等的條件來(lái)選擇判定三角形全等的方法，常用的證題思路如下表：已知條件兩角一角及其對(duì)邊一角及鄰邊兩邊

尋找的條件夾邊或任一邊任一角角的另一鄰邊或邊的另一鄰角或邊的對(duì)角夾角或另一邊或直角

選擇的判定方法ASA或AASAASSAS或ASA或AASSAS或SSS或HL4、明關(guān)于角形全等的驟：（）讀題：明確題中的已知和求證；（2）要觀察待證的線段或角，在哪兩個(gè)可能全等的三角形中（3）分析要證兩個(gè)三角形全等，已有什么條件，還缺什么條件。有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊，有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角，有對(duì)頂角，對(duì)頂角也是對(duì)應(yīng)角（4）先證明缺少的條件（5）再證明兩個(gè)三角形全等（要符合書(shū)寫(xiě)步驟：先寫(xiě)在某兩個(gè)三角形中、然后寫(xiě)條件，再寫(xiě)結(jié)論）二、例題講例（SSS）如圖，已知，CB=CD,那么∠B=∠D嗎？為什么？分析：要證明∠B=∠D，可設(shè)法使它們分別在兩個(gè)三角形中，再證它們所在的兩個(gè)三角形全等，本題中已有兩組邊分別對(duì)應(yīng)相等，因此只要連接AC邊即可構(gòu)造全等三角形。解：相等。理由：連接AC，在△和△ADC中CD

△ABC≌△ADC（SSSB=∠D（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）點(diǎn)評(píng)：證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等，往往利用全等三角形的性質(zhì)求解。有時(shí)根據(jù)問(wèn)題的需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形。例2.（SSS）如圖，ABC一個(gè)風(fēng)箏架，AB=AC,AD連接A與BC中點(diǎn)D的支架，證明AD⊥分析：要證AD⊥BC，根據(jù)垂直定義，需證∠∠ADC,而∠ADB=∠ADC可由△ABD≌△求得。證明：D是的中點(diǎn)，AC在△ABD與△ACD中

ABD

△ABD≌△ACD(SSS)，∠ADB=ADC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∠ADB+∠ADC=角的定義）∠ADB=∠ADC=⊥BC垂直的定義）

AD

E/

例（SAS）如圖，AB=AC,AD=AE,求證：∠B=∠C.分析：利用證明兩個(gè)三角全等，∠A是公證明：在△ABE與△ACD中,AD

B

C△ABE≌△ACD(SAS),∠B=∠（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）例（SAS）如圖，已知E,F是線段AB上的兩點(diǎn)，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求證：分析：先證明AF=BE，再用SAS明兩個(gè)三角形全等。證明：AE=BF(已知)AE+EF=BF+FE,即AF=BEADBC在△DAF與△CBE中,

DCAEFB

AFBE△DAF≌△CBE(SAS),DF=CE全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）點(diǎn)評(píng)：本題直接給出了一邊一角對(duì)應(yīng)相等，因此根據(jù)再證出另一邊（即AF=BE相等即可，進(jìn)而推出對(duì)應(yīng)邊相等。例（ASA）如圖，已知點(diǎn)E,C線段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F,求證：分析：要證AB=DE，結(jié)合BE=CF即BC=EF，∠ACB=∠F逆推，即要找到證△ABC△DEF的條件。證明:AB∥DE,∠B=∠DEF.又BE=CF，BE+EC=CF+EC,即DEF在△ABC與△DEF中,

ADB△ABC≌△DEF(ASA),AB=DE.例（AAS）如圖，已知三點(diǎn)在同一條直線上，ACDE,AC=CE,∠ACD=∠B求證：△ABC≌△CDE.分析：在△ABC與△CDE中，條件只有還需要再找另外兩個(gè)條件，

D由

AC∥DE，可知∠B=∠于是△ABC≌△CDE的條件就有了。

A證明：AC∥，∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D.又∠∠B,∠B=∠D.在△ABC與△CDE中,,

BC

ACCE/

．．．．Rt．．．．RtC解題規(guī)：通過(guò)兩直平行，角相等時(shí)一常見(jiàn)的角相等的方，也是題的解題關(guān)。例（HL）如圖，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠D為斜邊BC上一點(diǎn)，且BD=BA,過(guò)點(diǎn)D作BC得垂線，交AC于點(diǎn)E，求證：AE=ED.分析：要證AE=ED，可考慮通過(guò)證相應(yīng)的三角形全等來(lái)解決，但圖中沒(méi)有現(xiàn)成的三角形，因此要考慮添加輔助線構(gòu)造出兩線段所在的三角形，結(jié)合已知條件，運(yùn)用“三點(diǎn)定形法”知，連接即可。證明：連接BE.ED⊥BCD,EDB=

A

E在Rt△ABE與Rt△DBE中，

BABE

BDRt△ABE≌eq\o\ac(△,Rt)DBE(HL),AE=ED.解題規(guī)：連接BE構(gòu)造兩個(gè)角三角是本題的解關(guān)鍵。特別提：連公共邊常作得助線之一。三、綜合練一、選題1．如圖，給出下列四組條件：①

AB，BC，AC②DE，

；③

BC，

；④

ABDEACDF，

．其中，能使

ABC≌△DEF

的條件共有（）A．1組B．2組C．3組D．組2.如，

D，

分別為

ABC

的

，

邊的中點(diǎn)，將此三角形沿

折疊，使點(diǎn)

C

落在

邊上的點(diǎn)

處．若CDE等于（）A．．C．．58°如圖四

是

上任意一點(diǎn)，

，還應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)條件，才能推

eq\o\ac(△,出)eq\o\ac(△,)≌△APD

．從下列條件中補(bǔ)充一個(gè)條件，不一定推出

APC

的是（）A

B

CC．

ACBADB

D．

CABDAB如圖，ABCDEF中已有條件AB=DE，還需添加個(gè)條件才能使BDEF，不能添加的一組條件是()∠∠B.BC=EFAC=DF∠∠B=D.∠A=D，如圖eq\o\ac(△,，)中C=90°，是∠平分線⊥AB于E，若=10cm則BD+DE=A．10cmB．

PD圖（四）

A

△≌△BC=EFAC=BCCDC．6cmD．如圖，在中，

，ED是AC的直平分線，交AC于D，交

BC

A

E

B于點(diǎn)．知

BAE

，則的度數(shù)為（）

AD/B

E

C

DBEADBE

30

BC．

50

D．60．如圖，

A

，

，

ACA

的度數(shù)為（）A

AAB．30°C．35°D40°

B．如圖，ACAD＝，有（）A垂直平分CDB．垂平分

CC．與CD互垂直平分DCD平ACBB．尺規(guī)作圖作的平分線方法如下：以O(shè)為心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交

C、

于

C

、

，再分別以點(diǎn)

C

、為圓心，以大于長(zhǎng)半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線AB．ASA

法

△OCP△ODPA

的根據(jù)是（）C．AAS．SSS10.如圖,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,則點(diǎn)D到AB的距離為()OA.5cmB.3cm

CA

D

P

BC.2cmD.不能確定CBD11．如圖OP平，，PBOB，足分別為A，．下列結(jié)論中不一定成立的是（）AC．

PAOB

BD．

平分垂直平分

A12.如圖，已知加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定的（）ACBCDB∠BACDAC

O

D

PBC．∠BCADCAD．∠BD13.觀察下列圖形，則第個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是（）

A

C……

B第

第

第A

2

B

4

C．

4

D．

二、填題如圖，知

AB

，

BAEDAC

，要使

≌

ADE

，可補(bǔ)充的條件是（寫(xiě)出一個(gè)即可2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD分∠BAC交BC于⊥AB于E,且△DEB的周長(zhǎng)為如圖，

，請(qǐng)你添加一個(gè)條件

OD

（只添一個(gè)即可4.觀

A

察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個(gè)三角形中白色三角形有

B

E

C

D

個(gè)．

DC

A5.已知：如圖，△OAD≌OBC，O＝°，∠＝25°，則AEB＝度如圖所AB=AD，∠1=∠2添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，eq\o\ac(△,使)ABC≌△ADE則需要添加的條件________.D/個(gè)個(gè)

B

OE

AC個(gè)

DADCD．三、解題DADCD．如圖，知AB=AC，AD=AE求證：BD=CE.

A2.如，在

ABC

中，

AB，分別以

，

為邊作兩個(gè)等腰直角三角形

ABD

和

ACE

，使BAD90（）DBC的數(shù)）求證CE．BD如圖，△ABE中AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝EAC,、交于O.求證：△ABC≌△；(2)＝OE.如圖，是等邊ABC的AB上一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊

A

向上作等邊△EDCAE找出圖中的一組全等三角形，并說(shuō)明理由．如圖，和DCAC=DB與DB交

D

A

C

E

于點(diǎn)MO（1求證：ABC）過(guò)點(diǎn)作∥，點(diǎn)BB交于點(diǎn)N判斷線段與CN的數(shù)量關(guān)系證你的結(jié)論．M6.如圖，四邊形ABCD的角線與BD相于O點(diǎn)，．

E

作BN∥ACCN與求證）ABCADC）．．如圖，在和ABD中，現(xiàn)給出如下三個(gè)論斷

BB；；③．選擇其中兩個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)命題．AO4（1寫(xiě)出所有的真命題（寫(xiě)成“”形式，用序號(hào)表示Ｃ．（2請(qǐng)選擇一個(gè)真命題加以證明．

C你選擇的真命題是：

．

Ａ

Ｂ證明：已知：圖B、