尺規(guī)作圖數(shù)學史

初中尺規(guī)圖數(shù)學史尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學課題只使用圓規(guī)和直尺并且只準許使用有限次來解決不同的平面幾何作圖題.面幾何作圖，限制只能用直尺、圓.歷史上最先明確提出尺規(guī)限制的是伊諾皮迪斯.他發(fā)現(xiàn)以下作圖法：在已知直線的已知點上作一角與已知角相.件事的重要性并不在于這個角的實際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這個問題.在這以前，許多作圖題是不限工具.伊諾皮迪斯以后，尺規(guī)的限制逐漸成為一種公約后總結(jié)在《幾何原本》之中.初等平面幾何研究的對象，僅限于直線、圓以及由它們（或一部分）所組成的圖形，因此作圖的工具，習慣上使用沒有刻度的直尺和圓規(guī)兩種限用直尺和圓規(guī)來完成的作圖方法，叫做尺規(guī)作圖法.最簡單的尺規(guī)作圖有如下三條：⑴經(jīng)過兩已知點可以畫一條直線；⑵已知圓心和半徑可以作一圓；⑶兩已知直線；一已知直線和一已知圓；或兩已知圓，如果相交，可以求出交點；以上三條叫做作圖公法.用直尺可以畫出第一條公法所說的直線用圓規(guī)可以作出第二條公法所說的圓直尺和圓規(guī)可以求得第三條公法所說的交點一個作圖題管多么雜，如果能反復應(yīng)用上述三條作圖公法，經(jīng)過有限的次數(shù)，作出適合條件的圖形，這樣的作圖題就叫做尺規(guī)作圖可能問題；否則，就稱為尺規(guī)作圖不能問題歷史上，最著名的尺規(guī)作圖不能問題是：⑴三等分角問題：三等分一個任意角；⑵倍立方問題：作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍；⑶化圓為方問題：作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積這三個問題后被稱為“幾何作圖三大問題”.直至1837年，萬芝爾PierreLaurentWantzel）首先證明三等分角問題和立方倍積問題屬尺規(guī)作圖不能問題1882年，德國數(shù)學家林德曼（Lindemann證π是一個超越數(shù)（π是一個不滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的實數(shù)由此即可推得根號(即當圓半徑

r1

時所求正方形的邊長）不可能用尺規(guī)作出，從而也就證明了化圓為方問題是一個尺規(guī)作圖不能問題若干著名的尺規(guī)作圖已知是不可能的當中很多不可能證明是利用了由世紀出現(xiàn)的伽羅華理論.盡管如此仍有很多業(yè)余愛好者嘗試這些不可能的題目當中以化圓為方及三等分任意角最受注意.數(shù)學家Dudley把一些宣告解決了這些不可能問題的錯誤作法結(jié)集成書.

還有另外兩個著名問題：⑴正多邊形作法·只使用直尺和圓規(guī)，作正五邊形·只使用直尺和圓規(guī)，作正六邊形·只使用直尺和圓規(guī)，作正七邊形——這個看上去非常簡單的題目，曾經(jīng)使許多著名數(shù)學家都束手無策，因為正七邊形是不能由尺規(guī)作出的·只使用直尺和圓規(guī)，作正九邊形，此圖也不能作出來，因為單用直尺和圓規(guī)，是不足以把一個角分成三等份的·問題的解決：高斯，大學二年級時得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件尺規(guī)作圖正多邊形的邊數(shù)目必須是的非負整數(shù)次方和不同的費馬素數(shù)的積，解決了兩千年來懸而未決的難題⑵四等分圓周只準許使用圓規(guī)，將一個已知圓心的圓周等分．這個問題傳言是拿破侖·波拿巴出的，向全法國數(shù)學家的挑戰(zhàn).尺規(guī)作圖的相關(guān)延伸：用生銹圓規(guī)(即半徑固定的圓規(guī))作圖1.只用直尺及生銹圓規(guī)作正五邊形2.生銹圓規(guī)作圖，已知兩點，找出一使得AB

.3.已知兩點A、，只用半徑固定的圓規(guī)，求C是線段AB的中點.4.尺規(guī)作圖，是古希臘人按“盡可能簡單”這個思想出發(fā)的，能更簡潔的表達嗎？順著這思路就有了更簡潔的表達.10世紀時，有數(shù)學家提出用直尺和半徑固定的圓規(guī)作圖.年，有人證明：如果把“作直線”解釋為“作出直線上的”，那么凡是尺規(guī)能作的，單用圓規(guī)也能作出！從已知點作出新點的幾種情況：兩弧交點、直線與弧交點、兩直線交點，在已有一個圓的情況下，那么凡是尺規(guī)能作的，單用直尺也能作出！五種基本作圖：初中數(shù)學的五種基本尺規(guī)作圖為：1.做一線段等于已知線段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分線4.過一點做一已知線段的垂線5.做一線段的中垂線

下面介幾種常見的規(guī)作圖法：⑴軌交點法解作圖題的一種常見方法解作圖題常歸結(jié)到確定某一個點的位置.如果這兩個點的位置是由兩個條件確定的先放棄其中一個條件那么這個點的位置就不確定而形成一個軌跡若改變放棄另一個條件這個點就在另一條軌跡上，故此點便是兩個軌跡的交.這個利用軌跡的交點來解作圖題的方法稱為軌跡交點法，或稱交軌法、軌跡交截法、軌跡法.【】

電信部門要修建一座電視信號發(fā)射塔如下圖照設(shè)計要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)

A

、B

的距離必須相等，到兩條高速公路

、

n

的距離也必須相等，發(fā)射塔

P

應(yīng)修建在什么位置？F

m

DO

1m

n【析

2nG這是一道實際應(yīng)用題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題根據(jù)題意知道

P

應(yīng)滿足兩個條件，一是在線段AB的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點P應(yīng)是它們的交點.【析

⑴作兩條公路夾角的平分線

OD

或

；⑵作線段

AB

的垂直平分

則射線OD

OE

與直線

G

的交點

，

就是發(fā)射塔的位.⑵代作圖法解作圖題時，往往首先歸納為求出某一線段長而這線段長的表達能用代數(shù)方法求出，然后根據(jù)線段長的表達式設(shè)計作圖步驟.用這種方法作圖稱為代數(shù)作圖法.【】

只用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周（已知圓心）【析半徑1.可算出其內(nèi)接正方形邊長為2就是說用這個長度去等分圓周.我們的

任務(wù)就是做出這個長度.六等分圓周時會出現(xiàn)一個

3

的長度.設(shè)法構(gòu)造斜邊為

3

，一直角邊為

的直角三角形，

2

的長度自然就出來了.【析

具體做法：⑴隨便畫一個圓.設(shè)半徑為1.⑵先六等分圓周.這時隔了一個等分點的兩個等分點距離為

3

.⑶以這個距離為半徑別以兩個相對的等分點為圓心向作弧于一點“兩個相對的等分點”其實就是直徑的兩端點啦！兩弧交點與“兩個相對的等分點”形成的是一個底為2，腰為等腰三角形.可算出頂點距圓心距離就是.）⑷以

2

的長度等分圓周就可以啦?、切ㄗ鲌D有些作圖題，需要將某些幾何元素或圖形繞某一定點旋轉(zhuǎn)適當角度使已知圖形與所求圖形發(fā)生聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)作圖途徑【3已知：直線，a

.求作：正

，使得

A

、

B

、

三點分別在直線

a

、

、

上.abc

D

ab【析是正三角形且頂點、、三點分別在直、、c上.作AD于D繞A點逆時針旋60，置'的位置，此時'的位置可以確定.從而點

也可以確定.再作

BAC

，B

點又可以確定故符合條件的正三角形可以作【析

出.作法：⑴在直a上取一點，過A作于D⑵以AD為一邊作正三角形ADD'；⑶過

D'

作

D'CAD'

，交直線

于

；⑷以

A

為圓心，

AC

為半徑作弧，交

于

B

(使

B

與

D'

在

AC

異側(cè)).

⑸連接ABAC、BC得ABC.

即為所求.⑷位法作圖：用位似變換作圖，要作出滿足某些條件的圖形，可以先放棄一兩個條件，作出與其位似的圖形，然后利用位似變換，將這個與其位似得圖形放大或縮小，以滿足全部條件，從而作出滿足全部的條件【】知：一銳.求作:一正方形

DEFG

，使得

、

E

在

BC

邊上，

F

在

AC

邊上，

在

AB

邊上.A

G

FG'

F'B

C

D'D

【析

先放棄一個頂點

F

在

AC

邊上的條件，作出與正方形

DEFG

位似的正方形

D'FG

，然后利用位似變換將正方形.DEFG

DF'G

放大（或縮?。┑玫綕M足全部條件的正方形【析

作法：⑴在

AB

邊上任取一點

G'

，過

G

作

'D'

于

D'⑵以

D'

為一邊作正方形

D'E'F''

，且使'在BD'的延長線上.⑶作直線BF'交ACF.⑷過

F

分別作

FG∥F'G'

交

AB

于

；作

FE∥'

交

BC

于

E

.⑸過

作

GDG'D'

交

BC

于

.則四邊形

DEFG

即為所求.⑸面割補法作圖對于等積變形的作圖題通常在給定圖形或某一確定圖形上割下一個三角形，再借助平行線補上一個等底等高的另一個三角形，使面積不變，從而完成所作圖形.【】圖，的底邊BC上一定點，，求作一直l，使其平的面積.

l

P

BMP【