2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布試題理北師大版

PAGEPAGE17第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布試題理北師大版1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差假設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…r)．(1)均值EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，均值EX刻畫的是X取值的“中心位置〞．(2)方差DX＝E(X－EX)2為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度．2．二項(xiàng)分布的均值、方差假設(shè)X～B(n，p)，那么EX＝np，DX＝np(1－p)．3．正態(tài)分布(1)X～N(μ，σ2)，表示X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布．(2)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)：①函數(shù)圖像關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；②σ(σ>0)的大小決定函數(shù)圖像的“胖〞“瘦〞；③P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%；P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√〞或“×〞)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定．(√)(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，那么偏離變量的平均程度越小．(√)(3)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差．(√)(4)一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．(√)(5)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關(guān)．(×)1．(教材改編)某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3yξ的均值Eξ＝8.9，那么y的值為()A．0.4B．0.6C．0.7D．0.9答案A解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋0.1＋0.3＋y＝1，,7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，))可得y＝0.4.2．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(1,5)(k＝2,4,6,8,10)，那么Dξ等于()A．8 B．5C．10 D．12答案A解析Eξ＝eq\f(1,5)(2＋4＋6＋8＋10)＝6，Dξ＝eq\f(1,5)[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.3．隨機(jī)變量X＋η＝8，假設(shè)X～B(10,0.6)，那么隨機(jī)變量η的均值Eη及方差Dη分別是()A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6答案B解析設(shè)隨機(jī)變量X的均值及方差分別為EX，DX，因?yàn)閄～B(10,0.6)，所以EX＝10×0.6＝6，DX＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，故Eη＝E(8－X)＝8－EX＝2，Dη＝D(8－X)＝DX＝2.4.4．設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的均值和方差分別為1和4，假設(shè)yi＝xi＋a(a為非零常數(shù)，i＝1,2，…，10)，那么y1，y2，…，y10的均值和方差分別為________．答案1＋a,4解析eq\f(x1＋x2＋…＋x10,10)＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的均值為1＋a，方差不變?nèi)詾?.5．某班有50名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(100,102)，P(90≤ξ≤100)＝0.3，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績?cè)?10分以上的人數(shù)為________．答案10解析由題意知，P(ξ>110)＝eq\f(1－2P90≤ξ≤100,2)＝0.2，∴該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績?cè)?10分以上的人數(shù)為0.2×50＝10.題型一離散型隨機(jī)變量的均值、方差命題點(diǎn)1求離散型隨機(jī)變量的均值、方差例1(2022·山東)甲、乙兩人組成“星隊(duì)〞參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，那么“星隊(duì)〞得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，那么“星隊(duì)〞得1分；如果兩人都沒猜對(duì)，那么“星隊(duì)〞得0分．甲每輪猜對(duì)的概率是eq\f(3,4)，乙每輪猜對(duì)的概率是eq\f(2,3)，每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊(duì)〞參加兩輪活動(dòng)，求：(1)“星隊(duì)〞至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率；(2)“星隊(duì)〞兩輪得分之和X的分布列和均值EX.解(1)記事件A：“甲第一輪猜對(duì)〞，記事件B：“乙第一輪猜對(duì)〞，記事件C：“甲第二輪猜對(duì)〞，記事件D：“乙第二輪猜對(duì)〞，記事件E：“‘星隊(duì)’至少猜對(duì)3個(gè)成語〞．由題意，得E＝ABCD＋eq\x\to(A)BCD＋Aeq\x\to(B)CD＋ABeq\x\to(C)D＋ABCeq\x\to(D)，由事件的獨(dú)立性與互斥性，P(E)＝P(ABCD)＋P(eq\x\to(A)BCD)＋P(Aeq\x\to(B)CD)＋P(ABeq\x\to(C)D)＋P(ABCeq\x\to(D))＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(eq\x\to(A))P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(eq\x\to(D))＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋2×eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×\f(2,3)×\f(3,4)×\f(2,3)＋\f(3,4)×\f(1,3)))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(×\f(3,4)×\f(2,3)))＝eq\f(2,3).所以“星隊(duì)〞至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率為eq\f(2,3).(2)由題意，得隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得P(X＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,144)，P(X＝1)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)×\f(1,3)×\f(1,4)×\f(1,3)＋\f(1,4)×\f(2,3)×\f(1,4)×\f(1,3)))＝eq\f(10,144)＝eq\f(5,72)，P(X＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(25,144)，P(X＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(12,144)＝eq\f(1,12)，P(X＝4)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)×\f(2,3)×\f(3,4)×\f(1,3)＋\f(3,4)×\f(2,3)×\f(1,4)×\f(2,3)))＝eq\f(60,144)＝eq\f(5,12)，P(X＝6)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(36,144)＝eq\f(1,4).可得隨機(jī)變量X的分布列為X012346Peq\f(1,144)eq\f(5,72)eq\f(25,144)eq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(1,4)所以均值EX＝0×eq\f(1,144)＋1×eq\f(5,72)＋2×eq\f(25,144)＋3×eq\f(1,12)＋4×eq\f(5,12)＋6×eq\f(1,4)＝eq\f(23,6).命題點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的均值與方差，求參數(shù)值例2設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分．(1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的時(shí)機(jī)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的時(shí)機(jī)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．假設(shè)Eη＝eq\f(5,3)，Dη＝eq\f(5,9)，求a∶b∶c.解(1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6，故P(ξ＝2)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(2×3×2,6×6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(2×3×1＋2×2,6×6)＝eq\f(5,18)，P(ξ＝5)＝eq\f(2×2×1,6×6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝6)＝eq\f(1×1,6×6)＝eq\f(1,36).所以ξ的分布列為ξ23456Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(5,18)eq\f(1,9)eq\f(1,36)(2)由題意知η的分布列為η123Peq\f(a,a＋b＋c)eq\f(b,a＋b＋c)eq\f(c,a＋b＋c)所以Eη＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(2b,a＋b＋c)＋eq\f(3c,a＋b＋c)＝eq\f(5,3)，Dη＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,3)))2·eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,3)))2·eq\f(b,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,3)))2·eq\f(c,a＋b＋c)＝eq\f(5,9)，化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b－4c＝0，,a＋4b－11c＝0.))解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.思維升華離散型隨機(jī)變量的均值與方差的常見類型及解題策略(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差．可依題設(shè)條件求出離散型隨機(jī)變量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由均值或方差求參數(shù)值．可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組)，解方程(組)即可求出參數(shù)值．(3)由條件，作出對(duì)兩種方案的判斷．可依據(jù)均值、方差的意義，對(duì)實(shí)際問題作出判斷．(2022·四川)某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)．由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)．(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列和均值．解(1)由題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名，參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(1,100).因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1－eq\f(1,100)＝eq\f(99,100).(2)根據(jù)題意，X的可能取值為1,2,3，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(1,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5)，所以X的分布列為X123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)因此，X的均值為EX＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.題型二均值與方差在決策中的應(yīng)用例3(2022·全國乙卷)某公司方案購置2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購置這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件缺乏再購置，那么每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購置機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購置幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購置2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購置的易損零件數(shù)．(1)求X的分布列；(2)假設(shè)要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值；(3)以購置易損零件所需費(fèi)用的均值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？解(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2，0.4,0.2,0.2，從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04，P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16，P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24，P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24，P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2，P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08，P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購置易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)．當(dāng)n＝19時(shí)，EY＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040；當(dāng)n＝20時(shí)，EY＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知當(dāng)n＝19時(shí)所需費(fèi)用的均值小于n＝20時(shí)所需費(fèi)用的均值，故應(yīng)選n＝19.思維升華隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比擬均值，假設(shè)均值相同，再用方差來決定．某投資公司在2022年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳〞工程上，現(xiàn)有兩個(gè)工程供選擇：工程一：新能源汽車．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該工程上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；工程二：通信設(shè)備．據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該工程上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15).針對(duì)以上兩個(gè)投資工程，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的工程，并說明理由．解假設(shè)按“工程一〞投資，設(shè)獲利為X1萬元，那么X1的分布列為X1300－150Peq\f(7,9)eq\f(2,9)∴EX1＝300×eq\f(7,9)＋(－150)×eq\f(2,9)＝200.假設(shè)按“工程二〞投資，設(shè)獲利X2萬元，那么X2的分布列為X2500－3000Peq\f(3,5)eq\f(1,3)eq\f(1,15)∴EX2＝500×eq\f(3,5)＋(－300)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,15)＝200.DX1＝(300－200)2×eq\f(7,9)＋(－150－200)2×eq\f(2,9)＝35000，DX2＝(500－200)2×eq\f(3,5)＋(－300－200)2×eq\f(1,3)＋(0－200)2×eq\f(1,15)＝140000.所以EX1＝EX2，DX1<DX2，這說明雖然工程一、工程二獲利相等，但工程一更穩(wěn)妥．綜上所述，建議該投資公司選擇工程一投資．題型三正態(tài)分布的應(yīng)用例4(1)(2022·湖北)設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如下圖．以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)D．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)答案D解析對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)檎龖B(tài)分布曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，所以μ1<μ2.所以P(Y≥μ1)>0.5＝P(Y≥μ2)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)閄的正態(tài)分布密度曲線比Y的正態(tài)分布密度曲線更“瘦高〞，所以σ1<σ2.所以P(X≤σ1)<P(X≤σ2)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由圖像可知，在y軸的右側(cè)某處，顯然滿足P(X≥t)<P(Y≥t)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，在y軸右側(cè)作與x軸垂直的一系列平行線，可知在任何情況下，X的正態(tài)分布密度曲線與x軸之間圍成的圖形面積都大于Y的正態(tài)分布密度曲線與x軸之間圍成的圖形面積，即對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，故D項(xiàng)正確．(2)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：①求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\x\to(x)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；②由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2.(ⅰ)利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ⅱ)某用戶從該企業(yè)購置了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用(ⅰ)的結(jié)果，求EX.附：eq\r(150)≈12.2.假設(shè)Z～N(μ，σ2)，那么P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544.解①抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\x\to(x)和樣本方差s2分別為eq\x\to(x)＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.②(ⅰ)由①知，Z～N(200,150)，從而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826.(ⅱ)由(ⅰ)知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2)的概率為0.6826，依題意知X～B(100,0.6826)，所以EX＝100×0.6826＝68.26.思維升華解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x＝0.(2022·山東)某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(附：假設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，那么P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)()A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%答案B解析由正態(tài)分布的概率公式知P(－3<ξ<3)＝0.6826，P(－6<ξ<6)＝0.9544，故P(3<ξ<6)＝eq\f(P－6<ξ<6－P－3<ξ<3,2)＝eq\f(0.9544－0.6826,2)＝0.1359＝13.59%，應(yīng)選B.8．離散型隨機(jī)變量的均值與方差問題典例(12分)(2022·湖北六校聯(lián)考)在2022年全國高校自主招生考試中，某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)面試考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立答復(fù)全部問題．規(guī)定：至少正確答復(fù)其中2題的便可通過．6道備選題中考生甲有4題能正確答復(fù)，2題不能答復(fù)；考生乙每題正確答復(fù)的概率都為eq\f(2,3)，且每題正確答復(fù)與否互不影響．(1)分別寫出甲、乙兩考生正確答復(fù)題數(shù)的分布列，并計(jì)算其均值；(2)試用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析比擬兩考生的通過能力．標(biāo)準(zhǔn)解答解(1)甲正確答復(fù)的題目數(shù)ξ可取1,2,3.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).[3分]故其分布列為ξ123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)Eξ＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.[5分]又乙正確答復(fù)的題目數(shù)η～B(3，eq\f(2,3))，其分布列為η0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)∴Eη＝np＝3×eq\f(2,3)＝2.[8分](2)∵Dξ＝(2－1)2×eq\f(1,5)＋(2－2)2×eq\f(3,5)＋(2－3)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5)，Dη＝np(1－p)＝3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，[10分]∴Dξ<Dη.∵P(ξ≥2)＝eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)，P(η≥2)＝eq\f(12,27)＋eq\f(8,27)＝eq\f(20,27)，∴P(ξ≥2)>P(η≥2)．從答復(fù)對(duì)題數(shù)的均值考查，兩人水平相當(dāng)；從答復(fù)對(duì)題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少正確答復(fù)2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大．因此可以判斷甲的通過能力較強(qiáng)．[12分]求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步驟：第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值；第二步：求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率；第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：根據(jù)均值、方差、進(jìn)行判斷，并得出結(jié)論(適用于均值、方差的應(yīng)用問題)；第六步：反思回憶．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題標(biāo)準(zhǔn)．1．(2022·鄭州一模)某班舉行了一次“心有靈犀〞的活動(dòng)，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個(gè)同學(xué)，這個(gè)同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué)．假設(shè)小組內(nèi)同學(xué)甲猜對(duì)成語的概率是0.4，同學(xué)乙猜對(duì)成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對(duì)得1分，猜不對(duì)得0分，那么這兩個(gè)同學(xué)各猜1次，得分之和X(單位：分)的均值為()A．0.9B．0.8C．1.2D．1.1答案A解析由題意得X＝0,1,2，那么P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴EX＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.2．(2022·蕪湖質(zhì)檢)假設(shè)X～B(n，p)，且EX＝6，DX＝3，那么P(X＝1)的值為()A．3×2－2 B．2－4C．3×2－10 D．2－8答案C解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝6，,np1－p＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)，,n＝12.))∴P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,12)×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))11＝eq\f(12,212)＝3×2－10.3．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，且X落在區(qū)間(－3，－1)內(nèi)的概率和落在區(qū)間(1,3)內(nèi)的概率相等，假設(shè)P(X>2)＝p，那么P(0<X<2)等于()A.eq\f(1,2)＋p B．1－pC．1－2p D.eq\f(1,2)－p答案D解析由X落在(－3，－1)內(nèi)的概率和落在(1,3)內(nèi)的概率相等得μ＝0.又∵P(X>2)＝p，∴P(－2<x<2)＝1－2p，∴P(0<X<2)＝eq\f(1－2p,2)＝eq\f(1,2)－p.4．一射擊測(cè)試中每人射擊三次，每擊中目標(biāo)一次記10分，沒有擊中記0分．某人每次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(2,3)，那么此人得分的均值與方差分別為________，________.答案20eq\f(200,3)解析記此人三次射擊擊中目標(biāo)次數(shù)為X，得分為Y，那么X～B(3，eq\f(2,3))，Y＝10X，∴EY＝10EX＝10×3×eq\f(2,3)＝20，DY＝100DX＝100×3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(200,3).5．(2022·湖北宜昌一中月考)X～N(μ，σ2)時(shí)，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974，那么?eq\o\al(4,3)eq\f(1,\r(2π))edx＝________.答案0.0215解析由題意，μ＝1，σ＝1，P(3<X≤4)＝eq\f(1,2)×[P(－2<X≤4)－P(－1<X≤3)]＝eq\f(1,2)×(0.9974－0.9544)＝0.0215.6．某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的平安防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為eq\f(1,10)和p.(1)假設(shè)在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為eq\f(49,50)，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及均值Eξ.解(1)設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障〞為事件C，那么1－P(eq\x\to(C))＝1－eq\f(1,10)·p＝eq\f(49,50)，解得p＝eq\f(1,5).(2)由題意，得隨機(jī)變量ξ可能的取值為0,1,2,3，那么P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))3＝eq\f(1,1000)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2＝eq\f(27,1000)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))2×eq\f(1,10)＝eq\f(243,1000)，P(ξ＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))3＝eq\f(729,1000).所以，隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,1000)eq\f(27,1000)eq\f(243,1000)eq\f(729,1000)故隨機(jī)變量ξ的均值Eξ＝0×eq\f(1,1000)＋1×eq\f(27,1000)＋2×eq\f(243,1000)＋3×eq\f(729,1000)＝eq\f(27,10).(或因?yàn)棣巍獴(3，eq\f(9,10))，所以Eξ＝3×eq\f(9,10)＝eq\f(27,10).)7．(2022·汕尾調(diào)研)為了解某市高三學(xué)生身高情況，對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了測(cè)量，經(jīng)分析，全市高三學(xué)生身高X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(160，σ2)，P(X<150)＝0.2，P(X≥180)＝0.03.(1)現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，求該學(xué)生身高在區(qū)間[170,180)的概率；(2)現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三名學(xué)生，記抽到的三名學(xué)生身高在區(qū)間[150,170)的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和均值Eξ.解(1)由全市高三學(xué)生身高X服從N(160，σ2)，P(X<150)＝0.2，得P(160≤X<170)＝P(150≤X<160)＝0.5－0.2＝0.3.因?yàn)镻(X≥180)＝0.03，所以P(170≤X<180)＝0.5－0.3－0.03＝0.17.故從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生身高在區(qū)間[170,180)的概率為0.17.(2)因?yàn)镻(150≤X<170)＝P(150≤X<160)＋P(160≤X<170)＝0.3＋0.3＝0.6，ξ服從二項(xiàng)分布B(3,0.6)，所以P(ξ＝0)＝(1－0.6)3＝0.064，P(ξ＝1)＝3×0.6×(1－0.6)2＝0.288，P(ξ＝2)＝3×0.62×(1－0.6)＝0.432，P(ξ＝3)＝0.63＝0.216.所以ξ的分布列為ξ0123P0.0640.2880.4320.216所以Eξ＝3×0.6＝1.8.8．(2022·泉州模擬)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為eq\f(2,3)，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為eq\f(2,5)，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)那么不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)時(shí)機(jī)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．(1)假設(shè)小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X≤3的概率；(2)假設(shè)小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的均值較大？解方法一(1)由得，小明中獎(jiǎng)的概率為eq\f(2,3)，小紅中獎(jiǎng)的概率為eq\f(2,5)，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響．記“這2人的累計(jì)得分X≤3〞為事件A，那么事件A的對(duì)立事件為“X＝5〞，因?yàn)镻(X＝5)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝eq\f(11,15)，即這2人的累計(jì)得分X≤3的概率為eq\f(11,15).(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)次數(shù)為X2，那么這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的均值為E(2X1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的均值為E(3X2)．由可得，X1～B(2，eq\f(2,3))，X2～B(2，eq\f(2,5))，所以EX1＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，EX2＝2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,5)，從而E(2X1)＝2EX1＝eq\f(8,3)，E(3X2)＝3EX2＝eq\f(12,5)，因?yàn)镋(2X1)>E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的均值較大．方法二(1)由得，小明中獎(jiǎng)的概率為eq\f(2,3)，小紅中獎(jiǎng)的概率為eq\f(2,5)，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響．記“這2人的累計(jì)得分X≤3〞為事件A，那么事件A包含有“X＝0〞，“X＝2〞，“X＝3〞三個(gè)兩兩互斥的事件，因?yàn)镻(X＝0)＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(2,5))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,5))＝eq\f(2,5)，P(X＝3)＝(1－eq\f(2,3))×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(11,15)，即這2人的累計(jì)得分X≤3的概率為eq\f(11,15).(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2，那么X1，X2的分布列如下：X1024Peq\f(1,9)eq\f(4,9)eq\f(4,9)X2036Peq\f(9,25)eq\f(12,25)eq\f(4,25)所以EX1＝0×eq\f(1,