2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.1簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖試題理北師大版

PAGEPAGE16第八章立體幾何與空間向量8.1簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖試題理北師大版1．簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)旋轉(zhuǎn)體①圓柱可以由矩形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到．②圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到．③圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上、下底中點(diǎn)連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到．④球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到．(2)多面體①棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上、下底面是全等的多邊形．②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．③棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形．2．直觀圖畫直觀圖常用斜二測(cè)畫法，其規(guī)那么是：(1)在圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy.畫直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)x′軸和y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°，它們確定的平面表示水平平面；(2)圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸和y′軸的線段；(3)圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來的eq\f(1,2).3．三視圖(1)主、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正；主、左視圖高平齊；俯、左視圖寬相等，前后對(duì)應(yīng)．(2)在三視圖中，需要畫出所有的輪廓線，其中，視線所見的輪廓線畫實(shí)線，看不見的輪廓線面虛線．(3)同一物體放置的位置不同，所畫的三視圖可能不同．(4)清楚簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)根本幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置．【知識(shí)拓展】1．常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖(1)球的三視圖都是半徑相等的圓．(2)水平放置的圓錐的主視圖和左視圖均為全等的等腰三角形．(3)水平放置的圓臺(tái)的主視圖和左視圖均為全等的等腰梯形．(4)水平放置的圓柱的主視圖和左視圖均為全等的矩形．2．斜二測(cè)畫法中的“三變〞與“三不變〞“三變〞eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角改變，,與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形改變.))“三不變〞eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不改變，,與x，z軸平行的線段的長(zhǎng)度不改變，,相對(duì)位置不改變.))【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√〞或“×〞)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(×)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(tái)．(×)(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．(×)(5)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的局部仍是圓柱．(×)(6)菱形的直觀圖仍是菱形．(×)1．(教材改編)以下說法正確的選項(xiàng)是()A．相等的角在直觀圖中仍然相等B．相等的線段在直觀圖中仍然相等C．正方形的直觀圖是正方形D．假設(shè)兩條線段平行，那么在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行答案D解析由直觀圖的畫法規(guī)那么知，角度、長(zhǎng)度都有可能改變，而線段的平行性不變．2．(2022·寶雞千陽中學(xué)二模)某幾何體的三視圖如下圖(單位長(zhǎng)度：cm)，那么此幾何體的外表積是()A．(16＋6eq\r(2))cm2 B．22cm2C．(12＋6eq\r(2))cm2 D．(18＋2eq\r(3))cm2答案A解析由三視圖可知，該幾何體為三棱柱．三棱柱的外表積為5個(gè)面的面積之和，又因?yàn)榈酌媸堑妊苯侨切?，直角邊長(zhǎng)為2，棱柱的高為3,所以S＝2S底＋S側(cè)＝2×eq\f(1,2)×2×2＋3×(2eq\r(2)＋2×2)＝16＋6eq\r(2)(cm2)．3．(教材改編)如圖，直觀圖所表示的平面圖形是()A．正三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形答案D解析由直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，復(fù)原后原圖AC∥y軸，BC∥x軸．直觀圖復(fù)原為平面圖形是直角三角形．應(yīng)選D.4．(2022·長(zhǎng)春三模)某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為()A．20 B．18C．14＋2eq\r(3) D．14＋2eq\r(2)答案A解析由三視圖可得該幾何體的直觀圖如下圖，其為一個(gè)正方體截掉4個(gè)角后形成的幾何體，故該幾何體的外表積為S＝2×2＋eq\r(2)×eq\r(2)＋4×eq\f(1,2)×2×2＋4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(22＋\f(1,2))＝20.5．某四棱臺(tái)的三視圖如下圖，那么該四棱臺(tái)的體積是______．答案eq\f(14,3)解析由四棱臺(tái)的三視圖可知，臺(tái)體上底面面積S1＝1×1＝1，下底面面積S2＝2×2＝4，高h(yuǎn)＝2，代入臺(tái)體的體積公式V＝eq\f(1,3)(S1＋eq\r(S1S2)＋S2)h＝eq\f(1,3)×(1＋eq\r(1×4)＋4)×2＝eq\f(14,3).題型一簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1給出以下命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②在四棱柱中，假設(shè)兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，那么該四棱柱為直四棱柱；③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)是________．答案②③④解析①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形；④正確，由棱臺(tái)的概念可知．思維升華(1)解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷；(2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會(huì)利用反例對(duì)概念類的命題進(jìn)行辨析．(1)以下命題：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3(2)給出以下四個(gè)命題：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的圖形是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體；④底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正確的命題為________．答案(1)B(2)①②③解析(1)命題①錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊假設(shè)是直角三角形的斜邊，那么得不到圓錐；命題②錯(cuò)，因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰；命題③對(duì)；命題④錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以，應(yīng)選B.(2)對(duì)于①，平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形，故①錯(cuò)；對(duì)于②，對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明(如圖)，故②錯(cuò)；對(duì)于③，假設(shè)底面不是矩形，那么③錯(cuò)；④由線面垂直的判定，側(cè)棱垂直于底面，故④正確．綜上，命題①②③不正確．題型二簡(jiǎn)單幾何體的三視圖命題點(diǎn)1幾何體，識(shí)別三視圖例2(2022·濟(jì)南模擬)如圖，多面體ABCD－EFG的底面ABCD為正方形，F(xiàn)C＝GD＝2EA，其俯視圖如下圖，那么其主視圖和左視圖正確的選項(xiàng)是()答案D解析主視圖的輪廓線是矩形DCFG，點(diǎn)E在平面DCFG上的投影為DG的中點(diǎn)，且邊界BE，BG可視，故主視圖為選項(xiàng)B或D中的主視圖，左視圖的輪廓線為直角梯形ADGE，且邊界BF不可視，故左視圖為選項(xiàng)D中的左視圖，應(yīng)選D.命題點(diǎn)2三視圖，判斷幾何體的形狀例3(2022·全國(guó)乙卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．假設(shè)該幾何體的體積是eq\f(28π,3)，那么它的外表積是()A．17πB．18πC．20πD．28π答案A解析由該幾何體的三視圖可知，這個(gè)幾何體是把一個(gè)球挖掉它的eq\f(1,8)得到的(如下圖)．設(shè)該球的半徑為R，那么eq\f(7,8)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(28,3)π，得R＝2.所以它的外表積為4π×22－eq\f(1,8)×4π×22＋3×eq\f(1,4)×π×22＝17π.應(yīng)選A.命題點(diǎn)3三視圖中的兩個(gè)視圖，判斷第三個(gè)視圖例4(2022·石家莊質(zhì)檢)一個(gè)三棱錐的主視圖和俯視圖如下圖，那么該棱錐的左視圖可能為()答案D解析由題圖可知，該幾何體為如下圖的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，應(yīng)選D.思維升華三視圖問題的常見類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意主視圖、左視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的局部用實(shí)線表示，不能看到的局部用虛線表示．(2)由幾何體的局部視圖畫出剩余的局部視圖．先根據(jù)的一局部三視圖，復(fù)原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其剩下局部三視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的局部三視圖是否符合．(3)由幾何體的三視圖復(fù)原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖復(fù)原為實(shí)物圖．(1)(2022·全國(guó)丙卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，那么該多面體的外表積為()A．18＋36eq\r(5)B．54＋18eq\r(5)C．90D．81(2)如圖是一幾何體的直觀圖、主視圖和俯視圖，那么該幾何體的左視圖為()答案(1)B(2)B解析(1)由題意知，幾何體為平行六面體，邊長(zhǎng)分別為3,3，eq\r(45)，幾何體的外表積S＝3×6×2＋3×3×2＋3×eq\r(45)×2＝54＋18eq\r(5).(2)由直觀圖、主視圖和俯視圖可知，該幾何體的左視圖應(yīng)為面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正確．題型三空間幾何體的直觀圖例5(1)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2(2)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，那么原圖形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四邊形答案(1)D(2)C解析(1)如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，那么C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.應(yīng)選D.(2)如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2cm.∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形．應(yīng)選C.思維升華用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的技巧在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出．如下圖，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，且△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形，那么△ABC的面積為______．答案eq\f(\r(6),2)a2解析建立如下圖的坐標(biāo)系xOy″，△A′B′C′的頂點(diǎn)C′在y″軸上，邊A′B′在x軸上，把y″軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得y軸，在y軸上取點(diǎn)C使OC＝2OC′，A，B點(diǎn)即為A′，B′點(diǎn)，長(zhǎng)度不變．A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得eq\f(OC′,sin∠OA′C′)＝eq\f(A′C′,sin45°)，所以O(shè)C′＝eq\f(sin120°,sin45°)a＝eq\f(\r(6),2)a，所以原三角形ABC的高OC＝eq\r(6)a，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.10．空間幾何的三視圖典例將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，那么該幾何體的左視圖為()錯(cuò)解展示解析結(jié)合正方體中各頂點(diǎn)投影，左視圖應(yīng)為一個(gè)正方形，中間兩條對(duì)角線．答案C現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)解析左視圖中能夠看到線段AD1，應(yīng)畫為實(shí)線，而看不到B1C，應(yīng)畫為虛線．由于AD1與B1C不平行，投影為相交線，故應(yīng)選B.答案B糾錯(cuò)心得確定幾何體的三視圖要正確把握投影方向，可結(jié)合正方體確定點(diǎn)線的投影位置，要學(xué)會(huì)區(qū)分三視圖中的實(shí)虛線．1.“牟合方蓋〞是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖1，圖2中四邊形是為表達(dá)其直觀性所作的輔助線，當(dāng)其主視圖和左視圖完全相同時(shí)，它的主視圖和俯視圖分別可能是()A．a(chǎn)，b B．a(chǎn)，cC．c，b D．b，d答案A解析當(dāng)主視圖和左視圖完全相同時(shí)，“牟合方蓋〞相對(duì)的兩個(gè)曲面正對(duì)前方，主視圖為一個(gè)圓，俯視圖為一個(gè)正方形，且兩條對(duì)角線為實(shí)線，應(yīng)選A.2．(2022·全國(guó)甲卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，那么該幾何體的外表積為()A．20π B．24πC．28π D．32π答案C解析由三視圖可知，組合體的底面圓的面積和周長(zhǎng)均為4π，圓錐的母線長(zhǎng)l＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，所以圓錐的側(cè)面積為S錐側(cè)＝eq\f(1,2)×4π×4＝8π，圓柱的側(cè)面積S柱側(cè)＝4π×4＝16π，所以組合體的外表積S＝8π＋16π＋4π＝28π，應(yīng)選C.3．(2022·大連一模)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P是棱CD上一點(diǎn)，那么三棱錐P－A1B1A的左視圖是()答案D解析在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，從左側(cè)看三棱錐P－A1B1A，B1、A1、A的投影分別是C1、D1、D；AB1的投影為C1D，且為實(shí)線，PA1的投影為PD1，且為虛線．應(yīng)選D.4．(2022·北京)某四棱錐的三視圖如下圖，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2答案C解析根據(jù)三視圖，可知該幾何體的直觀圖為如下圖的四棱錐V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，VB＝1.所以四棱錐中最長(zhǎng)棱為VD.連接BD，易知BD＝eq\r(2)，在Rt△VBD中，VD＝eq\r(VB2＋BD2)＝eq\r(3).5．(2022·黃山模擬)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的主視圖、俯視圖如下圖，那么其左視圖為()答案C解析根據(jù)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的主視圖、俯視圖可得幾何體的直觀圖為所以左視圖為應(yīng)選C.6．用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如下圖的一個(gè)正方形，那么原來的圖形是________．答案①解析由題意知，平面圖形的直觀圖為正方形，且邊長(zhǎng)為1，對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(2)，所以原圖形為平行四邊形，位于y軸上的對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(2).7.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，那么三棱錐P－ABC的主視圖與左視圖的面積的比值為________．答案1解析如題圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，那么三棱錐P－ABC的主視圖與左視圖都是三角形，且面積都是eq\f(1,2)a2，故面積的比值為1.8．(2022·北京改編)某三棱錐的三視圖如下圖，那么該三棱錐的外表積是________．答案2＋2eq\r(5)解析由三視圖可得該三棱錐的直觀圖如下圖，其中PA＝1，BC＝2，取BC的中點(diǎn)M，連接AM，MP，那么AM＝2，AM⊥BC，故AC＝AB＝eq\r(BM2＋AM2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，由主視圖和左視圖可知PA⊥平面ABC，因此可得PC＝PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋5)