保角變換和曲線坐標

§8.7保角變換和曲線坐標學習思路：彈性力學問題的求解有賴于邊界條件的簡化。對于復雜的邊界形狀，如果利用空間的變換，將是簡化問題求解的最好途徑。保角變換就是充分發(fā)揮復變函數(shù)的特長，將孔口問題映射到g平面的單位圓。這一節(jié)將介紹保角變換和曲線坐標的概念。由于應用保角變換，矢量－位移，張量－應力公式以及K-M函數(shù)等均必須做出曲線坐標描述。保角變換使得問題的公式復雜，但是邊界條件的簡化，以及柯西積分的應用將簡化問題的分析。在本節(jié)學習之前，請你先學習附錄2，（有關保角變換的知識）學習要點：保角變換和曲線坐標；矢量的保角變換；位移分量的曲線坐標表達式；應力分量的曲線坐標表達式。為了便于根據(jù)邊界條件確定K-M函數(shù)，采取保角變換Z=①（?將物體在z平面上所占的區(qū)域變?yōu)樵趃平面所占的區(qū)域。一般的說，通過保角變換可以將非圓邊界映射為圓邊界，使得問題得以簡化。假設將z平面上的有限區(qū)域或者無限區(qū)域S映射為g平面的單位圓內(nèi)的區(qū)域E，并且將z平面上的區(qū)域S的邊界l映射為單位圓丫，對應的關系如下表:g平面z平面g=0（無窮遠點）z=0（原點）p=const（圓）p=const（曲線）申=const（半射線）申=const（曲線）域》域Sdgdz由于g平面上的任一點可以表示為，。P和申是點g的極坐標。而根據(jù)保角變換公式z=①(g),則z平面任意一點也可以通過p和申表示。因此，P和申又稱為曲線坐標。對于某些問題的描述中，采用曲線坐標形式表示位移和應力有利于問題的分析。曲線坐標的概念：g平面的一個圓周p二const和一條徑向直線申二const分別對應于z平面的兩條曲線，這兩條曲線就記作p二const和申二const。于是p和申可以看作z平面上一點的曲線坐標。由于變換的保角性，這個曲線坐標總是正交的，而且坐標軸p和申的相對位置和坐標軸Ox和Oy的相對位置相同，如圖所示。首先討論矢量的保角變換。設曲線坐標p，即申=const與x軸夾a角，如果A為z平面上的任一矢量，設A與曲線坐標p夾卩角。設A,A分別表示矢量Axy在x，y軸的投影；Ap,人甲表示在p=const和申=const上的投影，則&+iAy=Acos(a+0)+L4sin(a:+0)二+L4p=+L4sin=Ac1(^+^c~L￡l=(Ax+L4$上式的幾何意義為，將矢量A繞z點順時針方向轉(zhuǎn)動a角后，其在Oxy坐標系的位置，相當于A在曲線坐標系(p,申)中的位置，如圖所示。

^■：C<J]1SL如果用Up,^■：C<J]1SL如果用Up,u?分別表示曲線坐標下的位移矢量分量，則%+i%=（%+i知）亡卞根據(jù)保角變換，有時一1所以dz譏①所以沿曲線（P）取微分線段dz,則在g平面對應的有dg,由于dz=|dz|coscr+i|dz|sino;=|dz|e1DCdf二|df|eip才。二_dz_二嚴_g丨血|站||譏?|

嚴_e?E所以，取其共軛可得將上式回代到公式叫+%=他+叫)亡:可得下面通過保角變換對彈性力學的公式作對應的轉(zhuǎn)換。首先，設K-M函數(shù)例⑵和屮⑵分別使用訶門O和屮］(z)代替，同時令根據(jù)位移表達式2鈍+咲忙譏宀帀一悶,在z平面上，將位移矢量向曲線坐標P和申投影。由公式上式兩邊同時乘以2G，可得

上式是g平面上的曲線坐標系表達的位移表達式。下面建立曲線坐標中應力分量的復變函數(shù)表達式。如果用Qp,◎申,Tp申表示物體在曲線坐標中的應力分量。則因為而由公式5和因為而由公式5和少住)f少(f)2二孑［少侗『二孑曲(0

九?I一歹譏◎刁?一歹贏畐少住)所以疔J弓二2［毎⑵+dO)］=4Re①(0爲-馮+2if二羽％⑵+腎⑵］嚴二諾畐［萌①它)+E(◎玖①］上式為經(jīng)過保角變換后，z平面上的曲線坐標系中的應力分量的復變函數(shù)表達式?！?.8無限大薄板的孔口問題學習思路：本節(jié)的主要任務是將保角變換用于無限大薄板的孔口問題，確定K-M函數(shù)的基本求解公式。推導中首先確定無限大板孔口問題的保角變換公式，將K-M函數(shù)轉(zhuǎn)換為曲線坐標形式。采用的方法仍然是將K-M函數(shù)分解為以級數(shù)表達的解析函數(shù)和對數(shù)表達的多值函數(shù)兩部份。對于K-M函數(shù)的級數(shù)形式，通過孔口面力邊界條件可以確定級數(shù)函數(shù)的求解方程。這個求解過程，利用保角變換后孔口邊界的特殊性質(zhì)，使用柯西積分使得計算簡化。學習要點：1.保角變換公式與K-M函數(shù)；2.利用孔口邊界條件確定K-M函數(shù)求解公式；3.柯西積分確定K-M函數(shù)的級數(shù)形式。保角變換的目標是：將z平面上的孔口邊界l映射為g平面上的單位圓丫，將l以外的無限區(qū)域S映射為g平面上的單位圓內(nèi)的有限區(qū)域二將z平面上的無窮遠點映射為g平面的坐標原點，如圖所示。保角變換公式：￡=旳官）=尺（三+G+G占+G孑+…+"）=氏（三+工qF）是將l

以外的無限區(qū)域映射為單位圓丫內(nèi)（|g|vi）的普遍變換式，公式中r為實數(shù)，ck為復數(shù)，而且e<1。k保角變換公式確定以后，可以確定K-M函數(shù)仞（◎和屮（?,即將K-M函數(shù)％⑵和屮］（z）變換到曲線坐標中去。跖⑵二—g（凡+iFjlnz+亞+驗⑵附⑵二T（Z-遲）貶+（Bf+iCf）z+?、埔驗閘ni[『+qf+qF+…+q嚴)]二ln—lnf+ln[l+Gf+G$+?+Qk)]由于z<1,將上式展開，有所以，所以，lnz=lng+單位圓內(nèi)部g的解析函數(shù)。另外另外根據(jù)上述分析，弘⑵的各項都轉(zhuǎn)變?yōu)閱挝粓A內(nèi)g的單值解析函數(shù)。因此曲◎二-+遲）lnf+H少（◎+強（①譏◎二詈1（Z-遲）噸+（團+心）少?+肌蛙）其中，nn&習，肌（◎二￡儼F*=1*=1討論邊界條件確定K-M函數(shù)弘⑵和屮肩）。根據(jù)面力邊界條件阮）七越+兩二L必+爲）質(zhì)經(jīng)過保角變換后，可得在單位圓的圓周上，奈。所以上述面力邊界在單位圓的圓周上，奈。所以上述面力邊界條件可以表示為根據(jù)公式，則在邊界即單位圓周上將上述K-M函數(shù)的邊界值回代面力邊界條件，并且將已知函數(shù)與需要確定的未知函數(shù)分開，可得跖9)+跖‘㈢+乩=兀9)弘9)+專涪兔'9)+乩9)二托9)其中已知函數(shù)為因為佻?和屮(g)是單位圓內(nèi)的泰勒級數(shù)，它們是從z平面上Ir之外無窮區(qū)域0R的羅倫級數(shù)轉(zhuǎn)化而來的。因此對于公式%O)+'O)+肌9)=托9)%O)+'O)+肌9)=血(G冪級數(shù)求解時，由于方程兩邊都含有◎k=ei?的各個項(k由一g到g),比較各個同類項的系數(shù)，即可求得ak,b的值。不過這樣作太麻煩了，由于張⑵和屮(g)在單位圓內(nèi)是解析的，而且在0圓內(nèi)和圓周上是連續(xù)的，因此可以直接采用柯西積分計算。將邊界條件的第一式兩邊乘以2曲」F…，積分可得由于佻?在單位圓內(nèi)是解析的，因此公式的第一個積分即等于弘?,它是級數(shù)之和。對于公式第三