保角變換和曲線坐標(biāo)

§8.7保角變換和曲線坐標(biāo)學(xué)習(xí)思路：彈性力學(xué)問(wèn)題的求解有賴于邊界條件的簡(jiǎn)化。對(duì)于復(fù)雜的邊界形狀，如果利用空間的變換，將是簡(jiǎn)化問(wèn)題求解的最好途徑。保角變換就是充分發(fā)揮復(fù)變函數(shù)的特長(zhǎng)，將孔口問(wèn)題映射到g平面的單位圓。這一節(jié)將介紹保角變換和曲線坐標(biāo)的概念。由于應(yīng)用保角變換，矢量－位移，張量－應(yīng)力公式以及K-M函數(shù)等均必須做出曲線坐標(biāo)描述。保角變換使得問(wèn)題的公式復(fù)雜，但是邊界條件的簡(jiǎn)化，以及柯西積分的應(yīng)用將簡(jiǎn)化問(wèn)題的分析。在本節(jié)學(xué)習(xí)之前，請(qǐng)你先學(xué)習(xí)附錄2，（有關(guān)保角變換的知識(shí)）學(xué)習(xí)要點(diǎn)：保角變換和曲線坐標(biāo)；矢量的保角變換；位移分量的曲線坐標(biāo)表達(dá)式；應(yīng)力分量的曲線坐標(biāo)表達(dá)式。為了便于根據(jù)邊界條件確定K-M函數(shù)，采取保角變換Z=①（?將物體在z平面上所占的區(qū)域變?yōu)樵趃平面所占的區(qū)域。一般的說(shuō)，通過(guò)保角變換可以將非圓邊界映射為圓邊界，使得問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。假設(shè)將z平面上的有限區(qū)域或者無(wú)限區(qū)域S映射為g平面的單位圓內(nèi)的區(qū)域E，并且將z平面上的區(qū)域S的邊界l映射為單位圓丫，對(duì)應(yīng)的關(guān)系如下表:g平面z平面g=0（無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）z=0（原點(diǎn)）p=const（圓）p=const（曲線）申=const（半射線）申=const（曲線）域》域Sdgdz由于g平面上的任一點(diǎn)可以表示為，。P和申是點(diǎn)g的極坐標(biāo)。而根據(jù)保角變換公式z=①(g),則z平面任意一點(diǎn)也可以通過(guò)p和申表示。因此，P和申又稱為曲線坐標(biāo)。對(duì)于某些問(wèn)題的描述中，采用曲線坐標(biāo)形式表示位移和應(yīng)力有利于問(wèn)題的分析。曲線坐標(biāo)的概念：g平面的一個(gè)圓周p二const和一條徑向直線申二const分別對(duì)應(yīng)于z平面的兩條曲線，這兩條曲線就記作p二const和申二const。于是p和申可以看作z平面上一點(diǎn)的曲線坐標(biāo)。由于變換的保角性，這個(gè)曲線坐標(biāo)總是正交的，而且坐標(biāo)軸p和申的相對(duì)位置和坐標(biāo)軸Ox和Oy的相對(duì)位置相同，如圖所示。首先討論矢量的保角變換。設(shè)曲線坐標(biāo)p，即申=const與x軸夾a角，如果A為z平面上的任一矢量，設(shè)A與曲線坐標(biāo)p夾卩角。設(shè)A,A分別表示矢量Axy在x，y軸的投影；Ap,人甲表示在p=const和申=const上的投影，則&+iAy=Acos(a+0)+L4sin(a:+0)二+L4p=+L4sin=Ac1(^+^c~L￡l=(Ax+L4$上式的幾何意義為，將矢量A繞z點(diǎn)順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)a角后，其在Oxy坐標(biāo)系的位置，相當(dāng)于A在曲線坐標(biāo)系(p,申)中的位置，如圖所示。

^■：C<J]1SL如果用Up,^■：C<J]1SL如果用Up,u?分別表示曲線坐標(biāo)下的位移矢量分量，則%+i%=（%+i知）亡卞根據(jù)保角變換，有時(shí)一1所以dz譏①所以沿曲線（P）取微分線段dz,則在g平面對(duì)應(yīng)的有dg,由于dz=|dz|coscr+i|dz|sino;=|dz|e1DCdf二|df|eip才。二_dz_二嚴(yán)_g丨血|站||譏?|

嚴(yán)_e?E所以，取其共軛可得將上式回代到公式叫+%=他+叫)亡:可得下面通過(guò)保角變換對(duì)彈性力學(xué)的公式作對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換。首先，設(shè)K-M函數(shù)例⑵和屮⑵分別使用訶門O和屮］(z)代替，同時(shí)令根據(jù)位移表達(dá)式2鈍+咲忙譏宀帀一悶,在z平面上，將位移矢量向曲線坐標(biāo)P和申投影。由公式上式兩邊同時(shí)乘以2G，可得

上式是g平面上的曲線坐標(biāo)系表達(dá)的位移表達(dá)式。下面建立曲線坐標(biāo)中應(yīng)力分量的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式。如果用Qp,◎申,Tp申表示物體在曲線坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。則因?yàn)槎晒?和因?yàn)槎晒?和少住)f少(f)2二孑［少侗『二孑曲(0

九?I一歹譏◎刁?一歹贏畐少住)所以疔J弓二2［毎⑵+dO)］=4Re①(0爲(wèi)-馮+2if二羽％⑵+腎⑵］嚴(yán)二諾畐［萌①它)+E(◎玖①］上式為經(jīng)過(guò)保角變換后，z平面上的曲線坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式?！?.8無(wú)限大薄板的孔口問(wèn)題學(xué)習(xí)思路：本節(jié)的主要任務(wù)是將保角變換用于無(wú)限大薄板的孔口問(wèn)題，確定K-M函數(shù)的基本求解公式。推導(dǎo)中首先確定無(wú)限大板孔口問(wèn)題的保角變換公式，將K-M函數(shù)轉(zhuǎn)換為曲線坐標(biāo)形式。采用的方法仍然是將K-M函數(shù)分解為以級(jí)數(shù)表達(dá)的解析函數(shù)和對(duì)數(shù)表達(dá)的多值函數(shù)兩部份。對(duì)于K-M函數(shù)的級(jí)數(shù)形式，通過(guò)孔口面力邊界條件可以確定級(jí)數(shù)函數(shù)的求解方程。這個(gè)求解過(guò)程，利用保角變換后孔口邊界的特殊性質(zhì)，使用柯西積分使得計(jì)算簡(jiǎn)化。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1.保角變換公式與K-M函數(shù)；2.利用孔口邊界條件確定K-M函數(shù)求解公式；3.柯西積分確定K-M函數(shù)的級(jí)數(shù)形式。保角變換的目標(biāo)是：將z平面上的孔口邊界l映射為g平面上的單位圓丫，將l以外的無(wú)限區(qū)域S映射為g平面上的單位圓內(nèi)的有限區(qū)域二將z平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)映射為g平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示。保角變換公式：￡=旳官）=尺（三+G+G占+G孑+…+"）=氏（三+工qF）是將l

以外的無(wú)限區(qū)域映射為單位圓丫內(nèi)（|g|vi）的普遍變換式，公式中r為實(shí)數(shù)，ck為復(fù)數(shù)，而且e<1。k保角變換公式確定以后，可以確定K-M函數(shù)仞（◎和屮（?,即將K-M函數(shù)％⑵和屮］（z）變換到曲線坐標(biāo)中去。跖⑵二—g（凡+iFjlnz+亞+驗(yàn)⑵附⑵二T（Z-遲）貶+（Bf+iCf）z+肌⑵因?yàn)閘ni[『+qf+qF+…+q嚴(yán))]二ln—lnf+ln[l+Gf+G$+?+Qk)]由于z<1,將上式展開，有所以，所以，lnz=lng+單位圓內(nèi)部g的解析函數(shù)。另外另外根據(jù)上述分析，弘⑵的各項(xiàng)都轉(zhuǎn)變?yōu)閱挝粓A內(nèi)g的單值解析函數(shù)。因此曲◎二-+遲）lnf+H少（◎+強(qiáng)（①譏◎二詈1（Z-遲）噸+（團(tuán)+心）少?+肌蛙）其中，nn&習(xí)，?。ā蚨陜癋*=1*=1討論邊界條件確定K-M函數(shù)弘⑵和屮肩）。根據(jù)面力邊界條件阮）七越+兩二L必+爲(wèi)）質(zhì)經(jīng)過(guò)保角變換后，可得在單位圓的圓周上，奈。所以上述面力邊界在單位圓的圓周上，奈。所以上述面力邊界條件可以表示為根據(jù)公式，則在邊界即單位圓周上將上述K-M函數(shù)的邊界值回代面力邊界條件，并且將已知函數(shù)與需要確定的未知函數(shù)分開，可得跖9)+跖‘㈢+乩=兀9)弘9)+專涪兔'9)+乩9)二托9)其中已知函數(shù)為因?yàn)橘?和屮(g)是單位圓內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)，它們是從z平面上Ir之外無(wú)窮區(qū)域0R的羅倫級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化而來(lái)的。因此對(duì)于公式%O)+'O)+肌9)=托9)%O)+'O)+肌9)=血(G冪級(jí)數(shù)求解時(shí)，由于方程兩邊都含有◎k=ei?的各個(gè)項(xiàng)(k由一g到g),比較各個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)，即可求得ak,b的值。不過(guò)這樣作太麻煩了，由于張⑵和屮(g)在單位圓內(nèi)是解析的，而且在0圓內(nèi)和圓周上是連續(xù)的，因此可以直接采用柯西積分計(jì)算。將邊界條件的第一式兩邊乘以2曲」F…，積分可得由于佻?在單位圓內(nèi)是解析的，因此公式的第一個(gè)積分即等于弘?,它是級(jí)數(shù)之和。對(duì)于公式第三