2023年高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

2023高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)1

★高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)學(xué)問(wèn)點(diǎn)

一、早期導(dǎo)數(shù)概念————特別的形式大約在1629年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬討論了作曲線的切線和求函數(shù)極值的方法1637年左右他寫(xiě)一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時(shí)他構(gòu)造了差分f（A+E）—f（A），發(fā)覺(jué)的因子E就是我們所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)f（A）。

二、17世紀(jì)————廣泛使用的“流數(shù)術(shù)”17世紀(jì)生產(chǎn)力的進(jìn)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)展在前人制造性討論的根底上大數(shù)學(xué)家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開(kāi)頭系統(tǒng)地討論微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數(shù)術(shù)”他稱變量為流量稱變量的變化率為流數(shù)相當(dāng)于我們所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的計(jì)算法》和《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)》流數(shù)理論的實(shí)質(zhì)概括為他的重點(diǎn)在于一個(gè)變量的函數(shù)而不在于多變量的方程在于自變量的變化與函數(shù)的變化的比的構(gòu)成最在于打算這個(gè)比當(dāng)變化趨于零時(shí)的極限。

三、19世紀(jì)導(dǎo)數(shù)————漸漸成熟的理論1750年達(dá)朗貝爾在為法國(guó)科學(xué)家院出版的《百科全書(shū)》第五版寫(xiě)的“微分”條目中提出了關(guān)于導(dǎo)數(shù)的一種觀點(diǎn)可以用現(xiàn)代符號(hào)簡(jiǎn)潔表示{dy/dx）=lim（oy/ox）。1823年柯西在他的《無(wú)窮小分析概論》中定義導(dǎo)數(shù)假如函數(shù)y=f（x）在變量x的兩個(gè)給定的界限之間保持連續(xù)并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個(gè)包含在這兩個(gè)不同界限之間的值那么是使變量得到一個(gè)無(wú)窮小增量。19世紀(jì)60年月以后魏爾斯特拉斯制造了ε—δ語(yǔ)言對(duì)微積分中消失的各種類(lèi)型的極限重加表達(dá)導(dǎo)數(shù)的定義也就獲得了今日常見(jiàn)的形式。

四、實(shí)無(wú)限將異軍突起微積分其次輪初等化或成為可能微積分學(xué)理論根底大體可以分為兩個(gè)局部。一個(gè)是實(shí)無(wú)限理論即無(wú)限是一個(gè)詳細(xì)的東西一種真實(shí)的存在另一種是潛無(wú)限指一種意識(shí)形態(tài)上的過(guò)程比方無(wú)限接近。就歷史來(lái)看兩種理論都有肯定的道理。其中實(shí)無(wú)限用了150年后來(lái)極限論就是現(xiàn)在所使用的。光是電磁波還是粒子是一個(gè)物理學(xué)長(zhǎng)期爭(zhēng)辯的問(wèn)題后來(lái)由波粒二象性來(lái)統(tǒng)一。微積分無(wú)論是用現(xiàn)代極限論還是150年前的理論都不是最好的手段。

★高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)要點(diǎn)

1、求函數(shù)的單調(diào)性：

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的根本方法：設(shè)函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，（1）假如恒f（x）0，則函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）上為增函數(shù)；（2）假如恒f（x）0，則函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）上為減函數(shù)；（3）假如恒f（x）0，則函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）上為常數(shù)函數(shù)。

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的根本步驟：①求函數(shù)yf（x）的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f（x）；③解不等式f（x）0，解集在定義域內(nèi)的不連續(xù)區(qū)間為增區(qū)間；④解不等式f（x）0，解集在定義域內(nèi)的不連續(xù)區(qū)間為減區(qū)間。

反過(guò)來(lái)，也可以利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題（如確定參數(shù)的”取值范圍）：設(shè)函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，

（1）假如函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）上為增函數(shù)，則f（x）0（其中使f（x）0的x值不構(gòu)成區(qū)間）；

（2）假如函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）上為減函數(shù)，則f（x）0（其中使f（x）0的x值不構(gòu)成區(qū)間）；

（3）假如函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）上為常數(shù)函數(shù)，則f（x）0恒成立。

2、求函數(shù)的極值：

設(shè)函數(shù)yf（x）在x0及其四周有定義，假如對(duì)x0四周的全部的點(diǎn)都有f（x）f（x0）（或f（x）f（x0）），則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的微小值（或極大值）。

可導(dǎo)函數(shù)的極值，可通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性求得，根本步驟是：

（1）確定函數(shù)f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f（x）；（3）求方程f（x）0的全部實(shí)根，x1x2xn，順次將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，并列表：x變化時(shí)，f（x）和f（x）值的

變化狀況：

（4）檢查f（x）的符號(hào)并由表格推斷極值。

3、求函數(shù)的最大值與最小值：

假如函數(shù)f（x）在定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)任意的xI，總有f（x）f（x0），則稱f（x0）為函數(shù)在定義域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不肯定唯一，但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。

求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值的步驟：（1）求f（x）在區(qū)間（a，b）上的極值；

（2）將第一步中求得的極值與f（a），f（b）比擬，得到f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值。

4、解決不等式的有關(guān)問(wèn)題：

（1）不等式恒成立問(wèn)題（肯定不等式問(wèn)題）可考慮值域。

f（x）（xA）的值域是[a，b]時(shí)，

不等式f（x）0恒成立的充要條件是f（x）max0，即b0；

不等式f（x）0恒成立的充要條件是f（x）min0，即a0。

f（x）（xA）的值域是（a，b）時(shí)，

不等式f（x）0恒成立的充要條件是b0；不等式f（x）0恒成立的充要條件是a0。

（2）證明不等式f（x）0可轉(zhuǎn)化為證明f（x）max0，或利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為證明f（x）f（x0）0。

5、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用：

實(shí)際生活求解最大（小）值問(wèn)題，通常都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。在利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)最值時(shí)，肯定要留意，極值點(diǎn)唯一的單峰函數(shù)，極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，在解題時(shí)要加以說(shuō)明。

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一、求導(dǎo)數(shù)的方法

（1）根本求導(dǎo)公式

（2）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

（3）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y=在點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且即

二、關(guān)于極限

1、數(shù)列的極限：

粗略地說(shuō)，就是當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限趨向于A，這就是數(shù)列極限的描述性定義。記作：=A。如：

2、函數(shù)的極限：

當(dāng)自變量x無(wú)限趨近于常數(shù)時(shí)，假如函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，就說(shuō)當(dāng)x趨近于時(shí)，函數(shù)的極限是，記作

三、導(dǎo)數(shù)的概念

1、在處的導(dǎo)數(shù)。

2、在的導(dǎo)數(shù)。

3。函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，

即k=，相應(yīng)的切線方程是

注：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在時(shí)的函數(shù)值，就是在處的導(dǎo)數(shù)。

例、若=2，則=（）A—1B—2C1D

四、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用

（一）曲線的切線

函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=（x）在點(diǎn)處的切線的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程。詳細(xì)求法分兩步：

（1）求出函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f（x）在點(diǎn)處的切線的斜率k=

（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為x。

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（1）不等關(guān)系

感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景。

（2）一元二次不等式

①經(jīng)受從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過(guò)程。

②通過(guò)函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系。

③會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖。

（3）二元一次不等式組與簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃問(wèn)題

①?gòu)膶?shí)際情境中抽象出二元一次不等式組。

②了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組（參見(jiàn)例2）。

③從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)潔的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決（參見(jiàn)例3）。

（4）根本不等式

①探究并了解根本不等式的證明過(guò)程。

②會(huì)用根本不等式解決簡(jiǎn)潔的（?。┲祮?wèn)題。

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空間幾何體外表積體積公式：

1、圓柱體：外表積：2πRr+2πRh體積：πR2h（R為圓柱體上下底圓半徑，h為圓柱體高）。

2、圓錐體：外表積：πR2+πR[（h2+R2）的]體積：πR2h/3（r為圓錐體低圓半徑，h為其高。

3、a—邊長(zhǎng)，S=6a2，V=a3。

4、長(zhǎng)方體a—長(zhǎng)，b—寬，c—高S=2（ab+ac+bc）V=abc。

5、棱柱S—h—高V=Sh。

6、棱錐S—h—高V=Sh/3。

7、S1和S2—上、下h—高V=h[S1+S2+（S1S2）^1/2]/3。

8、S1—上底面積，S2—下底面積，S0—中h—高，V=h（S1+S2+4S0）/6。

9、圓柱r—底半徑，h—高，C—底面周長(zhǎng)S底—底面積，S側(cè)—，S表—外表積C=2πrS底=πr2，S側(cè)=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h。

10、空心圓柱R—外圓半徑，r—內(nèi)圓半徑h—高V=πh（R^2—r^2）。

11、r—底半徑h—高V=πr^2h/3。

12、r—上底半徑，R—下底半徑，h—高V=πh（R2+Rr+r2）/313、球r—半徑d—直徑V=4/3πr^3=πd^3/6。

14、球缺h—球缺高，r—球半徑，a—球缺底半徑V=πh（3a2+h2）/6=πh2（3r—h）/3。

15、球臺(tái)r1和r2—球臺(tái)上、下底半徑h—高V=πh[3（r12+r22）+h2]/6。

16、圓環(huán)體R—環(huán)體半徑D—環(huán)體直徑r—環(huán)體截面半徑d—環(huán)體截面直徑V=2π2Rr2=π2Dd2/4。

17、桶狀體D—桶腹直徑d—桶底直徑h—桶高V=πh（2D2+d2）/12，（母線是圓弧形，圓心是桶的中心）V=πh（2D2+Dd+3d2/4）/15（母線是拋物線形）。

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軌跡，包含兩個(gè)方面的問(wèn)題：凡在軌跡上的點(diǎn)都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性（也叫做必要性）；凡不在軌跡上的點(diǎn)都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點(diǎn)必在軌跡上，這叫做軌跡的完備性（也叫做充分性）。

一、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的根本步驟。

1、建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

2、寫(xiě)出點(diǎn)M的集合；

3、列出方程=0；

4、化簡(jiǎn)方程為最簡(jiǎn)形式；

5、檢驗(yàn)。

二、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法和交軌法等。

1、直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

2、定義法：假如能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿意某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫(xiě)出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

3、相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)x，y表示相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)x0、y0，然后代入點(diǎn)P的坐標(biāo)（x0，y0）所滿意的曲線方程，整理化簡(jiǎn)便得到動(dòng)點(diǎn)Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法。

4、參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先查找x、y與某一變數(shù)t的關(guān)系，得再消去參變數(shù)t，得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。

5、交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：

①建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；

②設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P（x，y）；

③列式——列出動(dòng)點(diǎn)p所滿意的關(guān)系式；

④代換——依條件的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于X，Y的方程式，并化簡(jiǎn)；

⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。

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有界性

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間X上有定義，假如存在M>0，對(duì)于一切屬于區(qū)間X上的x，恒有|f（x）|≤M，則稱f（x）在區(qū)間X上有界，否則稱f（x）在區(qū)間上無(wú)界.

單調(diào)性

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間I包含于D.假如對(duì)于區(qū)間上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的.單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

奇偶性

設(shè)為一個(gè)實(shí)變量實(shí)值函數(shù)，若有f（—x）=—f（x），則f（x）為奇函數(shù).

幾何上，一個(gè)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，亦即其圖像在繞原點(diǎn)做180度旋轉(zhuǎn)后不會(huì)轉(zhuǎn)變.

奇函數(shù)的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）.

設(shè)f（x）為