角的相關計算和證明學案

角的相關計算和證明學案知識梳理：在證明的過程中，由平行想到同位角、內錯角、同旁內角；由垂直想到直角三角形兩銳角互余，同角或等角的余角相等；由外角想到三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．例：已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，AE⊥BC于點E．若∠ADE=80°，∠EAC=20°，則∠B=_______．思路分析①讀題標注：②梳理思路：從條件出發(fā)，看到AE⊥BC想到直角三角形兩銳角互余，再結合已知的角度可求出∠DAE=10°，∠C=70°；由AD平分∠BAC可知∠BAC=60°；把∠B當作△ABC的一個內角，則∠B=180°-60°-70°=50°．（思路不唯一，也可將∠B作為△ABD的一個內角，則∠ADE是△ABD的一個外角，利用三角形的外角定理進行求解．）練習題如圖，AB∥EF∥CD，∠ABC=45°，∠CEF=155°，則∠BCE=_________．如圖，在正方形ABCD中，∠ADC=∠DCB=90°，G是BC邊上一點，連接DG，AE⊥DG于點E，CF⊥DG于點F．若∠DAE=25°，則∠GCF=_________．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，在Rt△AFG中，∠G=90°，∠FAG=45°，∠CAG=20°，則∠AEB=_______，∠ADC=________．如圖，點F是△ABC邊BC延長線上一點，EF∥AC，過點E作ED⊥AB于點D，交AC于點G．若∠A=35°，則∠DEF=______．如圖，在△ABC中，∠B=60°，P為BC上一點，且∠1=∠2，則∠APD=________．已知：如圖，直線BD交CF于點D，交AE于點B，連接AD，BC，∠1+∠2=180°，∠A=∠C．求證：DA∥CB．證明：如圖，∵∠1+∠2=180° （__________________________）∠2+∠CDB=180° （__________________________）∴_______=_______ （__________________________）∴______∥________ （__________________________）∴∠A+∠CDA=180° （__________________________）∵∠A=∠C （__________________________）∴______+______=180° （__________________________）∴DA∥CB （__________________________）已知：如圖，E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EC⊥AF，垂足為點O，∠1+∠C=90°，∠2=∠D．求證：AB∥CD．如圖，在△ABC中，∠B=35°，∠C=75°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，求∠EAD的度數(shù)．已知：如圖，點E是△ABC邊BC延長線上一點，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE．求證：∠A=2∠P．證明：如圖，設∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC （_____________________）∴∠ABC=2∠PBC=2α （_____________________）∵CP平分∠ACE （_____________________）∴∠ACE=______=_______ （_____________________）∵∠ACE是△ABC的一個外角（_____________________）∴∠ACE=∠ABC+∠A （_____________________）∴2β=2α+∠A （_____________________）∴∠A=2(βα)（_____________________）∵∠PCE是△BCP的一個外角（_____________________）∴∠PCE=∠PBC+∠P （_____________________）∴β=______+_______ （_____________________）∴∠P=βα （_____________________）∴∠A=2∠P （_____________________）已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB，垂足D．求證：∠A=2∠BCD．已知：如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，則∠FDE的度數(shù)是_______．已知：如圖，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠F=130°．求證：EF∥AB．證明：如圖，已知：如圖，AB⊥BD于點B，ED⊥BD于點D，C是線段BD上一點．若AC⊥CE，∠A=30°，則∠E=______．第13題圖第14題圖已知：如圖，△ABC為直角三角形，∠C=90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2=____________．已知：如圖，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，則∠DFE=（）A．120° B．115° C．110° D．105°第15題圖第16題圖已知：如圖，在△ABC中，∠A:∠B=1:2，DE⊥AB于E，且∠FCD=60°，則∠D=（）A．50° B．60° C．70° D．80°已知：如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．求證：．證明：如圖，設∠DBC=α，∠DCB=β∵BD平分∠ABC （__________________________）∴∠ABC=2∠DBC=2α （__________________________）∵CD平分∠ACB （__________________________）∴∠ACB=______=_____（__________________________）∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（________________________）∴2α+2β+∠A=180° （等量代換）∴α+β=_______________（等式性質）∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°（_______________________）∴____________________（__________________________）∴α+β=______________ （__________________________）∴（等量代換）∴ （等式性質）已知：如圖，AB∥DE，∠1=∠ACB，AC平分∠BAD．求證：AD∥BC．已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于點P，交BC的延長線于點M．已知∠ACB=70°，∠B=40°，求∠M的度數(shù)．【參考答案】20°25°65°，70°125°60°已知，平角的定義，∠1，∠CDB；同角的補角相等AB，CD；同位角相等，兩直線平行，兩直線平行，同旁內角互補已知，∠C，∠CDA；等量代換，同旁內角互補，兩直線平行證明：如圖，∵EC⊥AF （已知）∴∠COF=90° （垂直的定義）∴∠C+∠2=90° （直角三角形兩銳角互余）∵∠1+∠C=90 （已知）∴∠1=∠2 （同角的余角相等）∵∠2=∠D （已知）∴∠1=∠D （等量代換）∴AB∥CD （內錯角相等，兩直線平行）解：如圖，在△ABC中，∠B=35°，∠C=75° （已知）∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-75°=70° （三角形的內角和等于180°）∵AE平分∠BAC （已知）∴∠BAE=∠BAC=×70°=35° （角平分線的定義）∵∠AED是△ABE的一個外角（外角的定義）∴∠AED=∠B+∠BAE=35°+35°=70° （三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）∵AD⊥BC （已知）∴∠ADE=90° （垂直的定義）∴∠EAD=90°-∠AED=90°-70°=20° （直角三角形兩銳角互余）已知，角平分線的定義，已知2∠PCE，2β；角平分線的定義，外角的定義三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，等量代換等式性質，外角的定義三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，α，∠P；等量代換等式性質，等量代換證明：如圖，設∠B=∠ACB=α，在△ABC中，∠B=∠ACB=α（已知）∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-2α（三角形的內角和等于180°）∵CD⊥AB（已知）∴∠BDC=90°（垂直的定義）∴∠B+∠BCD=90°（直角三角形兩銳角互余）∴∠BCD=90°-∠B=90°-α（等式的性質）∴∠A=2∠BCD（等量代換）20°證明：如圖，∵CD∥AB （已知）∴∠DCB=∠ABC（兩直線平行，內錯角相等）∵∠DCB=70° （已知）∴∠ABC=70° （等量代換）∵∠CBF=20°（已知）∴∠FBA=∠ABC-∠CBF=70°-20°=50°（等式的性質）∵∠F=130° （已知）∴∠FBA+∠F=50°+130°=180°（等式的性質）∴EF∥AB （同旁內角互補，兩直線平行）60°270°BA已知，角平分線的定義，已知，2∠DCB，2β；角平分線的定義三角形的內角和等于180°，，三角形的內角和等于180°α+β+∠D=180°，等量代換，180°∠D，等式性質證明：如圖，∵AB∥DE （已知）∴∠1=∠BAC （兩直線平行，同位角相等）∵AC平分∠BAD （已知）∴∠DAC=∠BAC （角平分線的定義）∴∠1=∠DAC （等量代換）∵∠1=∠ACB （已知）∴∠DAC=∠ACB （等量代換）∴AD∥BC （內錯角相等，兩直線平行）解：如圖，在△ABC中，∠ACB=70°，∠B=40° （已知）∴∠BAC=180°∠ACB∠B=180°70°40°=70°（三角形的內角和等于180°）∵AD平分∠BAC（已知）∴∠D