第五講 動(dòng)點(diǎn)問題

2121第五講動(dòng)問題例1(2000年)圖1,在半徑6,圓角為90的扇形OAB的AB上有一個(gè)動(dòng)P,PH⊥足為H,△OPH重心為(1)當(dāng)在運(yùn)動(dòng)時(shí)線段GO、GP、GH中,無長(zhǎng)度保持不變的線段果有,指出這樣的線段求出相應(yīng)的長(zhǎng)度.(2)PH

,于x的函數(shù)解析式，并寫函數(shù)的定義域(自變量x的取值范圍).(3)如△是等腰三角形,試求出線段PH的長(zhǎng)解:(1)點(diǎn)在弧上動(dòng)時(shí)OP保持不變,是線段、、中長(zhǎng)度保持不變的線段，這條線段是GH=

22NH=OP=2.332

B(2)在Rt△POH

中,

OHOP

,∴

POH

.

N

G

x在RtMPH中,

O

M

H

APH

1x362

.

圖1∴

=GP=MP=3

36x

(0<<6).(3)△等腰三角形有三種可能情況①GP=PH,

13

36x

2

x,得經(jīng)檢驗(yàn),x

是原方程的根

,且符合題意.②GP=GH,

13

36x2得.經(jīng)檢驗(yàn),是原方程的根,不符合題意.③PH=GH,

x

.綜上所述,果△PGH是等腰三角形么線段PH長(zhǎng)為二、應(yīng)用例式建立函數(shù)解析式

或例22006年·山東）如圖在ABC,AB=AC=1,D,E在直線BC上運(yùn)動(dòng).設(shè)BD=,之間的數(shù)解析式；(1)如果∠°,∠DAE=105°確定

.(2)如果∠的度數(shù)的度數(shù)為足怎樣的關(guān)系式時(shí),(1)

與x之間的函數(shù)解析式還成立?試說明理由.解:(1)△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°∴∠ABC=ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°∵∠BAC=30,∠DAE=105,∴∠DAB+CAE=75°,又∠DAB+ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB∽△EAC,∴,CE

D

A

E∴

xy

,∴

y

1x

.

B圖

5●5●(2)由∠DAB+CAE=

,∠DAB+∠ADB=∠ABC=

90

2

,函數(shù)關(guān)系式成立∴

90

2

=

,

整理得

2

90

.

2

90

時(shí),函數(shù)解析式

y

1x

成立.例3(2005年上海)圖3(1),△ABC,∠ABC=90,AB=4,BC=3.點(diǎn)邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)O為圓心作圓,與邊切于點(diǎn)D,交線段OC于點(diǎn)E.作EP⊥ED,射線AB于P,交射CB點(diǎn)F.(1)求:eq\o\ac(△,x)∽△AEP.(2)OA=,AP=y,關(guān)于函數(shù)解析式,寫出它的定義域.(3)當(dāng)BF=1時(shí)線段AP的.解:(1)結(jié)OD.根據(jù)題意,OD⊥AB,∴∠°∠∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠∠∠AEP,∴△△AEP.(2)∵ABC=90°,AB=4,BC=3,∴AC=5.∵∠ABC=∠ADO=90°∴OD∥BC,∴

xADx,355

,(

0

3∴OD=x,AD=.∴AE=xx=x.55584xxAD∵△ADE△AEP,∴,∴AE8x525x).8

.∴

y

x

C

P

F

B3(2)

EO

D

A(3)BF=1，①若EP線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,圖3(1)，則CF=4.∵∠AEP,∴PEC.FBP=DEP=90,∠FPB=∠DPE,∴∠F=PDE,∴∠F=∠FEC,∴CF=CE.8=4,得x.求得y2,AP=2.∴5-58

B

F②若EP交段CB于點(diǎn)F,如圖3(2),則CF=2.類似①,得CF=CE.

P815∴5-=2,得x.58可求得yAP=6.

C

3(1)

●EO

D

A綜上所述,當(dāng)BF=1時(shí)段AP的長(zhǎng)為2或6.4、?郴州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（，）和（，），P是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、重合），坐標(biāo)為（m，﹣m）（m為常數(shù)）．（1）求經(jīng)過、P、三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）當(dāng)P點(diǎn)線段上移動(dòng)時(shí)，過O、、B三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸是否會(huì)隨著P的移動(dòng)而改變；（3）當(dāng)P動(dòng)到點(diǎn)（）時(shí)，請(qǐng)你在過O、P、三點(diǎn)的拋物線上至少找出兩點(diǎn)，使每個(gè)點(diǎn)都能與、兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，并求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：（1設(shè)出拋物線的解析式，根據(jù)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，B點(diǎn)，P點(diǎn)可列出方程求出a，的值確定解析式；（2）求出拋物線的稱軸，可知是個(gè)定值，故不變；（3）可作出對(duì)稱軸x軸的交點(diǎn)為K，過K點(diǎn)作PB的垂直平分線，交拋物線于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)就符合要求．解答：解：（）設(shè)拋物線的解析式為+bx+c，因?yàn)閽佄锞€過原點(diǎn)O（，）．所以c=0．，．所以﹣x

+

x；（2拋物線的對(duì)稱軸是﹣=．所以它不會(huì)隨的移動(dòng)而改變；（3點(diǎn)0滿足設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸于K，過作PB的垂直平分線交拋物線于QQ點(diǎn)則△QPB△PB是腰三角形．因?yàn)镻點(diǎn)的坐標(biāo)是（，）．所以QQ的解析式是y=x，拋物線的解析式為y=﹣2x+2x．所以直線和拋物線的交點(diǎn)Q，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)是（），（，﹣）．

，

5（2011湘西州）如圖．拋物線y=x﹣與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)和點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）求直線AC的解析式．（3）設(shè)點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，且=6求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（4）若點(diǎn)P在線上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從動(dòng)（不與BA重合），同時(shí)，點(diǎn)Q在射線AC上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從A向C運(yùn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，請(qǐng)求出△APQ面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并出當(dāng)t何值時(shí)，△APQ的面積最大，最大面積是多少？考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。專題：綜合題。分析：（1令y=0求得拋物線與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令x=0求得圖象與軸的點(diǎn)坐標(biāo)即可．（2）利用已知的兩的坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式即可．（3）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，﹣x﹣2x+3），然后表示出其面積

=6，解得即可．（4）證明BNP∽△BEO，由已知令y=0出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用線段比求NPBE的長(zhǎng)．求S與t的函數(shù)關(guān)系式后用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．解答（1令x﹣2x+3=0（（﹣1）=0x=，x=1A﹣3，0）B（，0），C03）；（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，由題意，得，解之得，；（3）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣﹣），AB=4，因?yàn)樵诘诙笙?，所以﹣?x+3＞，所以=6，解之，得=0x=﹣，

∵AO=3CO=3，∴△是等腰直角三角形，，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為tS=∵，∴當(dāng)t=2時(shí)，△最大，最大面積是．

（＜t＜）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，（不合題意）當(dāng)﹣2時(shí)，y=3．所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，3）；（4）由題意，得，PB=4﹣，點(diǎn)評(píng)本題是二次函數(shù)的綜合題型其中涉及的到大知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．6（2011山東菏澤20，12分）如圖，拋物線y=（1）求拋物線的解式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）判斷ABC形狀，證明你的結(jié)論；

x+﹣2與x軸交于A，B點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)且（﹣10）．

OM（3）點(diǎn)M，）是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)+的值最小時(shí)，求m值．OM考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）把A的坐標(biāo)代入拋物線解析式，求b值，即可的出拋物線的解析式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)直角三角的性質(zhì)，推出AC+OC=5BCOC+

=20，即AC+BC=25=AB，即可確△ABC是直角三角形；（3）作出點(diǎn)關(guān)于x的對(duì)稱點(diǎn)C′，′（，2，OC連接C'D交x軸于點(diǎn)M，根軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+的值最小．首先確定最小值，然后根據(jù)三角形相似的有關(guān)性質(zhì)定理，求m值解答：解：（）把點(diǎn)A（﹣1）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=

x+bx﹣，整理后解得b，所以拋物線的解析式為

322

．頂點(diǎn)D

25

；（2=5AC

=+OC=5

=+OB=20∴AC+=，∴△ABC是直角三