（浙江專用）2023版高考數(shù)學大一輪復習第八章立體幾何8.4直線、平面平行的判定與性質教師用書

PAGEPAGE20〔浙江專用〕2022版高考數(shù)學大一輪復習第八章立體幾何8.4直線、平面平行的判定與性質教師用書1．線面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行〞)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質定理一條直線與一個平面平行，那么過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行〞)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b2.面面平行的判定定理和性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行〞)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b【知識拓展】重要結論：(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即假設a⊥α，a⊥β，那么α∥β；(2)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即假設a⊥α，b⊥α，那么a∥b；(3)平行于同一個平面的兩個平面平行，即假設α∥β，β∥γ，那么α∥γ.【思考辨析】判斷以下結論是否正確(請在括號中打“√〞或“×〞)(1)假設一條直線平行于一個平面內的一條直線，那么這條直線平行于這個平面．(×)(2)假設一條直線平行于一個平面，那么這條直線平行于這個平面內的任一條直線．(×)(3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(×)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面．(√)(5)假設直線a與平面α內無數(shù)條直線平行，那么a∥α.(×)(6)假設α∥β，直線a∥α，那么a∥β.(×)1．(教材改編)以下命題中正確的選項是()A．假設a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．假設直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個平面平行D．假設直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α答案D解析A中，a可以在過b的平面內；B中，a與α內的直線可能異面；C中，兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知，b∥α，正確．2．(2022·煙臺模擬)假設平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，那么在平面β內且過B點的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線答案A解析當直線a在平面β內且過B點時，不存在與a平行的直線，應選A.3．過三棱柱ABC－A1B1C1任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條．答案6解析各中點連線如圖，只有平面EFGH與平面ABB1A1平行，在四邊形EFGH中有6條符合題意．4.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，那么四邊形EFGH的形狀為________．答案平行四邊形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．題型一直線與平面平行的判定與性質命題點1直線與平面平行的判定例1如圖，四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點．(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.證明(1)連接EC，∵AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，∴BC綊AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點．又∵F是PC的中點，∴FO∥AP，F(xiàn)O?平面BEF，AP?平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中點，H是CD的中點，∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD.命題點2直線與平面平行的性質例2(2022·長沙模擬)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2eq\r(17).點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)證明：GH∥EF；(2)假設EB＝2，求四邊形GEFH的面積．(1)證明因為BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK.因為PA＝PC，O是AC的中點，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面內，所以PO⊥底面ABCD.又因為平面GEFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因為平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，從而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，從而KB＝eq\f(1,4)DB＝eq\f(1,2)OB，即K為OB的中點．再由PO∥GK得GK＝eq\f(1,2)PO，即G是PB的中點，且GH＝eq\f(1,2)BC＝4.由可得OB＝4eq\r(2)，PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(68－32)＝6，所以GK＝3.故四邊形GEFH的面積S＝eq\f(GH＋EF,2)·GK＝eq\f(4＋8,2)×3＝18.思維升華判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．如下圖，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求證：四邊形EFGH是矩形．證明∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∵CD∥EF.同理HG∥CD，且HE∥AB，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四邊形EFGH為平行四邊形．∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF為異面直線CD和AB所成的角〔或補角〕．又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四邊形EFGH為矩形．題型二平面與平面平行的判定與性質例3如下圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面．(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1．在本例條件下，假設D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA.證明如下圖，連接HD，A1B，∵D為BC1的中點，H為A1C1的中點，∴HD∥A1B，又HD?平面A1B1BA，A1B?平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2．在本例條件下，假設D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明如下圖，連接A1C交AC1于點M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點，連接MD，∵D為BC的中點，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質知，D1C1綊BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1?平面AC1D，DM?平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思維升華證明面面平行的方法(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；(5)利用“線線平行〞、“線面平行〞、“面面平行〞的相互轉化．(2022·西安模擬)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的體積．(1)證明由題設知，BB1綊DD1，∴四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)解∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．又AO＝eq\f(1,2)AC＝1，AA1＝eq\r(2)，∴A1O＝eq\r(AA\o\al(2,1)－OA2)＝1.又S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，∴＝S△ABD·A1O＝1.題型三平行關系的綜合應用例4(2022·鹽城模擬)如下圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？假設存在，請確定點E的位置；假設不存在，請說明理由．解方法一存在點E，且E為AB的中點時，DE∥平面AB1C1.下面給出證明：如圖，取BB1的中點F，連接DF，那么DF∥B1C1，∵AB的中點為E，連接EF，ED，那么EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.方法二假設在棱AB上存在點E，使得DE∥平面AB1C1，如圖，取BB1的中點F，連接DF，EF，ED，那么DF∥B1C1，又DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF?平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF?平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵點F是BB1的中點，∴點E是AB的中點．即當點E是AB的中點時，DE∥平面AB1C1.思維升華利用線面平行的性質，可以實現(xiàn)與線線平行的轉化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對于最值問題，常用函數(shù)思想來解決．如下圖，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對棱AB和CD，試問截面在什么位置時其截面面積最大？解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG，EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可證EF∥GH，∴截面EFGH是平行四邊形．設AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即為異面直線AB和CD所成的角或其補角)．又設FG＝x，GH＝y(tǒng)，那么由平面幾何知識可得eq\f(x,a)＝eq\f(CG,BC)，eq\f(y,b)＝eq\f(BG,BC)，兩式相加得eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即y＝eq\f(b,a)(a－x)，∴S?EFGH＝FG·GH·sinα＝x·eq\f(b,a)·(a－x)·sinα＝eq\f(bsinα,a)x(a－x)．∵x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a為定值，∴eq\f(bsinα,a)x(a－x)≤eq\f(absinα,4)，當且僅當x＝a－x時等號成立．此時x＝eq\f(a,2)，y＝eq\f(b,2).即當截面EFGH的頂點E、F、G、H分別為棱AD、AC、BC、BD的中點時截面面積最大．6．立體幾何中的探索性問題典例(14分)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝eq\f(2,3).(1)求四棱錐S－ABCD的體積；(2)在棱SD上找一點E，使CE∥平面SAB，并證明．標準解答解(1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝eq\f(2,3)，SA＝2，∴AD＝3. [4分]由題意知四棱錐S－ABCD的底面為直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2， [6分]VS－ABCD＝eq\f(1,3)·SA·eq\f(1,2)·(BC＋AD)·AB＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×(2＋3)×2＝eq\f(10,3). [8分](2)當點E位于棱SD上靠近D的三等分點處時，可使CE∥平面SAB.[10分]證明如下：取SD上靠近D的三等分點為E，取SA上靠近A的三等分點為F，連接CE，EF，BF，那么EF綊eq\f(2,3)AD，BC綊eq\f(2,3)AD，∴BC綊EF，∴CE∥BF. [12分]又∵BF?平面SAB，CE?平面SAB，∴CE∥平面SAB. [14分]解決立體幾何中的探索性問題的步驟第一步：寫出探求的最后結論；第二步：證明探求結論的正確性；第三步：給出明確答案；第四步：反思回憶，查看關鍵點、易錯點和答題標準．1．(2022·金華模擬)有以下命題：①假設直線l平行于平面α內的無數(shù)條直線，那么直線l∥α；②假設直線a在平面α外，那么a∥α；③假設直線a∥b，b∥α，那么a∥α；④假設直線a∥b，b∥α，那么a平行于平面α內的無數(shù)條直線．其中真命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案A解析命題①：l可以在平面α內，不正確；命題②：直線a與平面α可以是相交關系，不正確；命題③：a可以在平面α內，不正確；命題④正確．應選A.2．(2022·余姚模擬)m，n，l1，l2表示直線，α，β表示平面．假設m?α，n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M，那么α∥β的一個充分條件是()A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2答案D解析由定理“如果一個平面內有兩條相交直線分別與另一個平面平行，那么這兩個平面平行〞可得，由選項D可推知α∥β.應選D.3．(2022·嘉興月考)對于空間中的兩條直線m，n和一個平面α，以下命題中的真命題是()A．假設m∥α，n∥α，那么m∥nB．假設m∥α，n?α，那么m∥nC．假設m∥α，n⊥α，那么m∥nD．假設m⊥α，n⊥α，那么m∥n答案D解析對A，直線m，n可能平行、異面或相交，故A錯誤；對B，直線m與n可能平行，也可能異面，故B錯誤；對C，m與n垂直而非平行，故C錯誤；對D，垂直于同一平面的兩直線平行，故D正確．4．以下四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案B解析①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如圖)．④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.5．平面α∥平面β，P是α，β外一點，過點P的直線m與α，β分別交于A，C兩點，過點P的直線n與α，β分別交于B，D兩點，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，那么BD的長為()A．16 B．24或eq\f(24,5)C．14 D．20答案B解析由α∥β得AB∥CD.分兩種情況：假設點P在α，β的同側，那么eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，∴PB＝eq\f(16,5)，∴BD＝eq\f(24,5)；假設點P在α，β之間，那么eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，∴PB＝16，∴BD＝24.6．(2022·全國甲卷)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有以下四個命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m?α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號)答案②③④解析當m⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面的位置關系不確定，故①錯誤，經(jīng)判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④.7．設α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，那么m∥n〞中的橫線處填入以下三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有________．答案①或③解析由面面平行的性質定理可知，①正確；當n∥β，m?γ時，n和m在同一平面內，且沒有公共點，所以平行，③正確．8．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，那么點Q滿足條件________時，有平面D1BQ∥平面PAO.答案Q為CC1的中點解析假設Q為CC1的中點．因為P為DD1的中點，所以QB∥PA.連接DB，因為O是底面ABCD的中心，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，且PA∩PO于P，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB于B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故點Q滿足條件，Q為CC1的中點時，有平面D1BQ∥平面PAO.9．在四面體A－BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，那么四面體的四個面中與MN平行的是________．答案平面ABD與平面ABC解析如圖，取CD的中點E，連接AE，BE.那么EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.*10.在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F(xiàn)，H.D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為________．答案eq\f(45,2)解析如圖，取AC的中點G，連接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因為SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，那么SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分別為AB，BC的中點，那么H，F(xiàn)也為AS，SC的中點，從而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝(eq\f(1,2)AC)·(eq\f(1,2)SB)＝eq\f(45,2).11.如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點．求證：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.證明(1)取B1D1的中點O，連接GO，OB，易證四邊形BEGO為平行四邊形，故OB∥GE，由線面平行的判定定理即可證EG∥平面BB1D1D.(2)由題意可知BD∥B1D1.如圖，連接HB、D1F，易證四邊形HBFD1是平行四邊形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.12．(2022·貴州興義八中月考)在如下圖的多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，且∠DAB＝60°，DF＝2BE＝2a，DF∥BE，DF⊥平面ABCD.