第6章-統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

第6章統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布6.1統(tǒng)計(jì)量6.2關(guān)于分布的幾個(gè)概念6.3由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個(gè)重要分布

6.4樣本均值的分布與中心極限定理6.5樣本比例的抽樣分布6.6兩個(gè)樣本平均值之差的分布6.7關(guān)于樣本方差的分布

6.1

統(tǒng)計(jì)量6.1.1統(tǒng)計(jì)量的概念6.1.2常用統(tǒng)計(jì)量6.1.3次序統(tǒng)計(jì)量

6.1.4充分統(tǒng)計(jì)量

6.1.1統(tǒng)計(jì)量的概念(statistic)設(shè)X1,X2,…,Xn是從總體X中抽取的容量為n的一個(gè)樣本，假如由此樣本構(gòu)造一個(gè)函數(shù)T(X1,X2,…,Xn)，不依靠于任何未知參數(shù)，則稱函數(shù)T(X1,X2,…,Xn)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量樣本均值、樣本比例、樣本方差等都是統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量是樣本的一個(gè)函數(shù)統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)6.1.2常用統(tǒng)計(jì)量樣本均值樣本方差樣本變異系數(shù)樣本k階矩樣本k階中心矩樣本偏度樣本峰度駕馭一般了解6.1.3次序統(tǒng)計(jì)量一組樣本觀測(cè)值X1,X2,…,Xn由小到大的排序

X（1）≤X（2）≤…≤X（i）≤…≤X（n）后，稱X（1），X（2），…，X（n）為次序統(tǒng)計(jì)量中位數(shù)、分位數(shù)、四分位數(shù)等都是次序統(tǒng)計(jì)量6.1.4充分統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量加工過(guò)程中一點(diǎn)信息都不損失的統(tǒng)計(jì)量稱為充分統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)X＝(X1,X2,…,Xn)是來(lái)自正態(tài)分布總體N(m,s2)的一個(gè)樣本時(shí)，若m已知，則是s2

的充分統(tǒng)計(jì)量；若s2已知，則是m

的充分統(tǒng)計(jì)量。方差均值6.2

關(guān)于分布的幾個(gè)概念6.2.1抽樣分布6.2.2漸進(jìn)分布6.2.3隨機(jī)模擬獲得的近似分布

為什么要抽樣？ 為了收集必要的資料，對(duì)所探討對(duì)象（總體）的全部元素逐一進(jìn)行觀測(cè)，往往不很現(xiàn)實(shí)。抽樣緣由元素多，搜集數(shù)據(jù)費(fèi)時(shí)、費(fèi)用大，不剛好而使所得的數(shù)據(jù)無(wú)意義總體浩大,難以對(duì)總體的全部元素進(jìn)行探討檢查具有破壞性炮彈、燈管、磚等關(guān)于總體，知道得很少全部數(shù)據(jù)何種分布＋樣本數(shù)據(jù)已知總體特征總體特征想知道描述性統(tǒng)計(jì)，計(jì)算參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷為什么能抽樣？中國(guó)成語(yǔ)：“一葉知秋”出自《淮南子·說(shuō)山訓(xùn)》：“以小明大，見(jiàn)一葉落而知?dú)q之將暮，睹瓶中之冰而知天下之寒?！敝V語(yǔ)：“你不必吃完整頭牛，才知道肉是老的”從檢查一部分得知全體。復(fù)習(xí)抽樣方法簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣分層抽樣整群抽樣系統(tǒng)抽樣多階段抽樣概率抽樣方便抽樣判斷抽樣自愿樣本滾雪球抽樣配額抽樣非概率抽樣抽樣方式樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布，是一種理論分布在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由該統(tǒng)計(jì)量的全部可能取值形成的相對(duì)頻數(shù)分布隨機(jī)變量是樣本統(tǒng)計(jì)量樣本均值,樣本比例，樣本方差等結(jié)果來(lái)自容量相同的全部可能樣本供應(yīng)了樣本統(tǒng)計(jì)量長(zhǎng)遠(yuǎn)而穩(wěn)定的信息，是進(jìn)行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù) 6.2.1抽樣分布(samplingdistribution)抽樣分布的形成過(guò)程(samplingdistribution)總體計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量如：樣本均值、比例、方差樣本當(dāng)樣本量n無(wú)限增大時(shí)，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T(X1,X2,…,Xn)的極限分布，把極限分布作為抽樣分布的一種近似，這種極限分布就被稱為漸近分布。6.2.2漸近分布6.2.3隨機(jī)模擬獲得的近似分布

隨機(jī)模擬：大樣本時(shí)，樣本均值聽(tīng)從正態(tài)分布嗎？提示：EXCEL——數(shù)據(jù)分析——隨機(jī)數(shù)發(fā)生器思索幾種概率分布正態(tài)分布分布

F分布

t分布6.3由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個(gè)重要分布6.3.12分布(2

distribution)設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，且，則聽(tīng)從自由度為n的2分布。當(dāng)總體，從中抽取容量為n的樣本，則由阿貝(Abbe)

于1863年首先給出，后來(lái)由海爾墨特(Hermert)和卡·皮爾遜(K·Pearson)

分別于1875年和1900年推導(dǎo)出來(lái)。&&6.3.12分布(2

distribution)2分布的概率密度函數(shù)分布的變量值始終為正分布的形態(tài)取決于其自由度n的大小，通常為不對(duì)稱的正偏分布，但隨著自由度的增大漸漸趨于對(duì)稱期望為：E(2)=n，方差為：D(2)=2n(n為自由度)可加性：若U和V為兩個(gè)獨(dú)立的2分布隨機(jī)變量，U~2(n1)，V~2(n2),則U+V這一隨機(jī)變量聽(tīng)從自由度為n1+n2的2分布n→∞時(shí)，2分布的極限分布是正態(tài)分布。2分布(性質(zhì)和特點(diǎn))c2分布(圖示)不同容量樣本的抽樣分布c2n=1n=4n=10n=20例題設(shè)隨機(jī)變量，求中的。解：，查表：即臨界值6.3.2t分布(t

distribution)高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以“Student”(學(xué)生)為筆名的論文中首次提出。設(shè)隨機(jī)變量，，且X與Y獨(dú)立，則，稱為t分布，記為t(n)，n為自由度。6.3.2

t分布(t

distribution)t分布的概率密度函數(shù)t分布數(shù)學(xué)期望與方差n≥2時(shí)，t分布期望為：E(t)=0，n≥3時(shí)，t分布方差為：D(t)=n/n-2(n為自由度)

t分布圖示xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)zt分布是類(lèi)似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散一個(gè)特定的分布依靠于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也漸漸趨于正態(tài)分布例題由統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)希爾(R.A.Fisher)提出的，以其姓氏的第一個(gè)字母來(lái)命名設(shè)若U為聽(tīng)從自由度為n1的2分布，即U~2(n1)，V為聽(tīng)從自由度為n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互獨(dú)立，則稱F為聽(tīng)從自由度n1和n2的F分布，記為6.3.3

F分布(F

distribution)F分布的概率密度函數(shù)為:6.3.3

F分布(F

distribution)X～F（m,n），則

n>2時(shí)，期望為：E(X)=n/n-2

n>4時(shí)，方差為：F分布(圖示)

不同自由度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)6.3.3

F分布(F

distribution)F分布與t分布關(guān)系假如隨機(jī)變量X～t（n），，則X2～F（1,n）。例題6.4樣本均值的分布與中心極限定理樣本均值的抽樣分布在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由樣本均值的全部可能取值形成的相對(duì)頻數(shù)分布一種理論概率分布推斷總體均值的理論基礎(chǔ) 樣本均值的抽樣分布(例題分析)【例】設(shè)一個(gè)總體含有4個(gè)個(gè)體，分別為X1=1、X2=2、X3=3、X4=4?？傮w的均值、方差及分布如下?？傮w均值和方差總體的頻數(shù)分布14230.1.2.3樣本均值的抽樣分布現(xiàn)從總體中抽取n＝2的簡(jiǎn)潔隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個(gè)樣本。全部樣本的結(jié)果如下表.3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值所有可能的n

=2的樣本（共16個(gè)）樣本均值的抽樣分布

各樣本的均值如下表，并給出樣本均值的抽樣分布x樣本均值的抽樣分布1.00.1.2.3P(x)1.53.04.03.52.02.53.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值16個(gè)樣本的均值（x）全部樣本均值的均值和方差1.樣本均值的均值（數(shù)學(xué)期望）等于總體均值2.樣本均值的方差等于總體方差的1/nM為樣本數(shù)目樣本均值的抽樣分布與總體分布的比較=2.5σ2=1.25總體分布14230.1.2.3抽樣分布樣本均值的抽樣分布1.00.1.2.3P(x)1.53.04.03.52.02.5構(gòu)造樣本統(tǒng)計(jì)量抽樣分布的步驟1、從容量為N的有限總體中隨機(jī)選取容量為n的全部可能樣本；2、計(jì)算出每個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)量值；3、將來(lái)自不同樣本的不同統(tǒng)計(jì)量值分組排列，把對(duì)應(yīng)于每個(gè)數(shù)值的相對(duì)出現(xiàn)頻數(shù)排成另一列，由此，全部可能的樣本統(tǒng)計(jì)量值形成了一個(gè)概率分布，這個(gè)分布就是我們想要得到的抽樣分布。樣本均值的抽樣分布

與中心極限定理=50

=10X總體分布n=4抽樣分布xn=16當(dāng)總體聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ,σ2)時(shí)，來(lái)自該總體的全部容量為n的樣本的均值x也聽(tīng)從正態(tài)分布，x的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)抽樣分布的特征與總體分布的均值和方差有關(guān)。例:設(shè)從一個(gè)均值為10、標(biāo)準(zhǔn)差為0.6的總體中隨機(jī)選取容量為36的樣本。假定該總體不是很偏的，要求：（1）計(jì)算樣本均值小于9.9的近似概率。（2）計(jì)算樣本均值超過(guò)9.9的近似概率。（3）計(jì)算樣本均值在總體均值10旁邊0.1范圍內(nèi)的近似概率。中心極限定理(centrallimittheorem)當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布從均值為，方差為2的一個(gè)隨意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似聽(tīng)從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個(gè)任意分布的總體x中心極限定理

(centrallimittheorem)x的分布趨于正態(tài)分布的過(guò)程樣本均值的抽樣分布與總體分布的關(guān)系總體分布正態(tài)分布非正態(tài)分布大樣本小樣本正態(tài)分布正態(tài)分布非正態(tài)分布總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數(shù)之比不同性別的人與全部人數(shù)之比合格品(或不合格品)與全部產(chǎn)品總數(shù)之比總體比例可表示為樣本比例可表示為

6.5樣本比例(proportion)的抽樣分布在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由樣本比例的全部可能取值形成的相對(duì)頻數(shù)分布一種理論概率分布當(dāng)樣本容量很大時(shí)，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似推斷總體比例的理論基礎(chǔ) 樣本比例的抽樣分布樣本比例的數(shù)學(xué)期望樣本比例的方差重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣樣本比例的抽樣分布

(數(shù)學(xué)期望與方差)有限總體校正系數(shù)

FinitePopulationCorrectionFactor留意：不重復(fù)抽樣時(shí)樣本均值的方差等于重復(fù)抽樣時(shí)的方差乘以有限總體校正系數(shù)：

當(dāng)n/N<0.05時(shí)可以忽視有限總體校正系數(shù)。數(shù)學(xué)期望和方差的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)假如X是一隨機(jī)變量，C是一常數(shù)，則CX與X有相同的分布形態(tài)。設(shè)E(X)＝m，D(X)＝s2，則若C是一常數(shù)，則E(CX)＝CE(X)=Cm，D(CX)＝C2s2。補(bǔ)充：對(duì)于隨意兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y，有E(X+Y)＝E(X)＋E(Y)若兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，則E(XY)＝E(X)E(Y)若兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，則D(X+Y)＝D(X)＋D(Y)例題例：設(shè)X～N（9,4），試描述10X的抽樣分布。解：E(10X)＝10E(X)=90D(10X)＝102s2＝400所以，10X～N（90,400）。例：假定某統(tǒng)計(jì)人員在其填寫(xiě)的報(bào)表中有2％至少會(huì)有一處錯(cuò)誤，假如我們檢查了一個(gè)由600份報(bào)表組成的隨機(jī)樣本，其中至少有一處錯(cuò)誤的報(bào)表所占的比例在0.025~0.070之間的概率有多大？6.7關(guān)于樣本方差的分布6.7.1樣本方差的分布

6.7.1樣本方差的分布在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由樣本方差的全部可能取值形成的相對(duì)頻數(shù)分布對(duì)于來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)潔隨機(jī)樣本，則比值的抽樣分布聽(tīng)從自由度為(n-1)的2分布，即例題調(diào)整一個(gè)裝瓶機(jī)使其對(duì)每個(gè)瓶子的灌裝量均值為m盎司，通過(guò)視察這臺(tái)裝瓶機(jī)對(duì)每個(gè)瓶子的灌裝量聽(tīng)從標(biāo)準(zhǔn)差s=1盎司的正態(tài)分布。隨機(jī)抽取由這臺(tái)機(jī)器灌裝的10個(gè)瓶子形成一個(gè)樣本，并測(cè)定每個(gè)瓶子的灌裝量，計(jì)算出樣本方差，試確定一個(gè)合適范圍，使得樣本方差落入其中的概率為90%。第6章小結(jié)統(tǒng)計(jì)量及其分布由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個(gè)重要分布樣本均值的分布與中心極限定理樣本比例的抽樣分布關(guān)于樣本方差的分布第6章課堂練習(xí)1.抽樣調(diào)查的主要目的是（）。

A．用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)推斷總體參數(shù)B．對(duì)調(diào)查單位作深化探討C．計(jì)算和限制抽樣誤差D．廣泛運(yùn)用數(shù)學(xué)方法

2.抽樣分布是指（）。A．一個(gè)樣本各觀測(cè)值的分布B．總體中各觀測(cè)值的分布C．樣本統(tǒng)計(jì)量的分布D．樣本數(shù)量的分布AC3．從聽(tīng)從正態(tài)分布的無(wú)限總體中分別抽取容量為4，16，36的樣本，當(dāng)樣本容量增大時(shí)，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差（）。A．保持不變B．增加C．減小D．無(wú)法確定4.假設(shè)總體比例為0.55，從今總體中抽取容量為100的樣