修改前論文-2009級6班劉偉new

矩陣分解數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)學生劉偉指導教師劉軍摘要：矩陣是代數(shù)中一個應用廣泛的重要概念，是代數(shù)中的主要研究對象。隨著現(xiàn)代技術的發(fā)展，矩陣知識逐漸應用于工程技術等諸多領域中，把矩陣分解為形式比較簡單或性質(zhì)比較熟悉的一些矩陣的乘積，是在矩陣理論的研究與應用中，都是十分重要的。當某些矩陣滿足一些特定的條件時可以對其進行一定的分解。矩陣分解后的特殊形式，一方面能明顯地反應出原矩陣的某些數(shù)字特征；另一方面，分解的方法與過程往往提供了某些有效的數(shù)值計算方法和理論分析依據(jù)。矩陣分解方法在多個領域得到了很好的應用。關鍵詞：矩陣分解三角分解法QR分解法奇異值分解法MatrixDecompositionmathematicsandappliedmathematicsLiuweiTutorLiujunAbstract：Matrixisanimportantconceptwidelyusedinalgebra,isthemainresearchobjectinalgebra.Knowledgegraduallywiththedevelopmentofmoderntechnology,matrixusedinmanyfieldssuchasengineeringtechnology,thenatureoftheformofmatrixisdecomposedintosimpleormorefamiliarwithsomeofthematrixproduct,isintheresearchandapplicationofmatrixtheory,isveryimportant.Whencertainmatrixsatisfycertainconditionstoacertainnumberofdecomposition.Specialformafterthematrixdecomposition,ontheonehand,canclearlyreflectacertainNumbersoftheoriginalmatrixcharacteristic;Decomposition,ontheotherhand,oftenprovidessomeeffectivemethodsandprocessofnumericalcalculationandtheoreticalanalysisbasis.Matrixdecompositionmethodisappliedinmanyfields.Keywords:MatrixDecomposition；TriangularDecomposition；QRDecomposition；SingularValueDecompostion引言矩陣分解是研究矩陣性質(zhì)的主要方法，明確矩陣分解的具體定義，探討矩陣分解的三種常見方法，三角分解法、QR分解法、奇異值分解法。這些矩陣的分解方法可以解決高等代數(shù)中的許多問題。例如線性方程組的一些重要性質(zhì)就反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上，而且解線性方程組的過程也就是變換這種矩陣的過程。某些復雜的線性方程組就可以利用矩陣的三角分解法來求解。除此之外還有求矩陣的逆、行列式的值、矩陣特征值等這些問題，也都利用了矩陣分解的方法。從而可以看出矩陣分解在矩陣理論的研究中占有較為重要的地位。對矩陣的研究是對矩陣進行初等變換或進行分解以后進行研究，當矩陣滿足一些特定的條件時可以對其進行一定的分解，矩陣的分解方法是解決矩陣問題的重要方法之一,它的核心思想就是刪繁就簡,充分體現(xiàn)了解決數(shù)學問題的“轉(zhuǎn)化”思想。為高效率地處理存放于矩陣中的數(shù)據(jù)信息,采取將矩陣進行分解的方法。分解后,不但可將用于描述問題的原始陣的維數(shù)大大消減,同時也可以對原始矩陣中存放的大量數(shù)據(jù)進行壓縮和概括。非負矩陣分解（NMF）近年來快速發(fā)展,是目前國際上新的矩陣分解方法,并已初步成功地應用于一些領域中。如:圖像處理、生物醫(yī)學、文本聚類和語音信號處理等.因此,探索矩陣的分解方法一直是非常有意義的。1三種常見的矩陣分解矩陣分解是將矩陣拆解為數(shù)個矩陣的乘積，可分為三角分解、滿秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇異值）分解等，常見的有三種：1)三角分解法2)QR分解法，3)奇異值分解法。1．1三角分解法對于n階矩陣A，如果存在n階下三角矩陣L和n階上三角矩陣U，使得A=LU，則稱之為A的三角分解。這樣的分解法又稱為LU分解法。并不是任何一個n階矩陣A都能進行三角分解，如當A是可逆矩陣時，A可以進行三角分解的充要條件是A的n個順序主子陣均可逆。不過要注意這種分解法所得到的上下三角形矩陣并非唯一，還可找到數(shù)個不同的一對上下三角形矩陣，此兩三角形矩陣相乘也會得到原矩陣。LU分解常用于計算行列式的值，解方程組和求矩陣的逆。當矩陣Ａ的各階順序主子式不為零，且不接近零時，LU分解可以通過順序高斯消去法得到。例如把方程組寫成矩陣形式Ax=b.第一步消元等價于用初等矩陣左乘增廣矩陣（A，b),直到矩陣A變?yōu)樯先蔷仃?，因此將現(xiàn)在的增廣矩陣記為（U，）則,于是有據(jù)此得這里是單位下三角矩陣，U是上三角陣。(1)計算行列式的值：由于LU分解A=LU，則由行列式性質(zhì)推出(2)解方程組：由LU分解，則解方程組等價于解令Ux=y,則歸結(jié)為解兩個三角形方程組(3)求矩陣的逆：考慮n階方陣A.設存在，即記得第i列為,則記的第i列為,則于是即這是以A為系數(shù)陣，為右端項的線性代數(shù)方程組，它的解恰好是的第i列元。據(jù)此分析得求A的步驟：首先作三角分解.然后對i=1,2,...,n分別解三角形方程組,求出（i=1,2,...,n)后，把裝配起來得到例1用LU分解求解下列問題：計算行列式解方程組,其中求逆矩陣解用Gauss消去法可得A的三角分解1)2)先解,得再解,得先解,得再解,得同樣可求出所以1.2QR分解法對于n階復（或?qū)崳┚仃嘇，如果存在n階酉矩陣（或正交矩陣）Q和n階上三角矩陣R，使得，則稱之為A的QR分解，也稱之為酉-三角分解（或正交三角分解）。方陣A的QR分解總是存在的。矩陣的QR分解是一種特殊的三角分解，在解決矩陣特征值的計算、最小二乘法等問題中起到重要的作用，而且得到他們的精確解非常重要，但其計算一直是很繁瑣的數(shù)學問題。特別是當矩陣的階數(shù)較高時，計算量非常大，且不易求其精確解，故在工程技術上用QR分解可以得到其在某一精度水平上的近似解。特別地，當矩陣A可逆時，也可以采用Schmidt正交化方法進行QR分解。定理若是可逆矩陣，則存在n階酉矩陣Q和非奇異上三角矩陣，使得A=QR，且這一表示式是唯一的。證明令,其中是A的第i個列向量，由A可逆知它們線性無關。用Schmidt正交化方法將其正交化，即其中.再對P,P,...,P單位化：,,...,代入上式得于是有令則Q是酉矩陣，R是上三角矩陣，且。再證惟一性，設A有兩個分解式,其中Q和Q是酉矩陣，R和是上三角矩陣，則有上式表明是酉矩陣，又它是上三角矩陣，易知上式表明，從而，即分解式是惟一的。例2利用Schmidt正交化方法求矩陣的QR分解。解將正交化得再單位化得于是故1.3奇異值分解法（SVD）奇異值分解法是線性代數(shù)和矩陣論中一種重要的矩陣分解法，該方法的理論基礎的誕生已有百余年的歷史，而被應用到技術領域還是隨著計算機的發(fā)展以及信息工程的需要，于20世紀70年代初開始廣泛應用于處理矩陣的有關秩的問題之中。并且，在許多領域展現(xiàn)了其魅力，如：信號處理、系統(tǒng)辨認、實驗數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計學等等。定義設，稱矩陣的n個特征值（i=1,2,...,n)的算術平方根為A的奇異值。對于秩為r(r>0)的矩陣A，存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，使得其中，而為A的全部非零奇異值，稱上式為A的奇異值分解。證明：設矩陣A的奇異值分解為則U的列向量是的特征向量，V的列向量是的特征向量。證由于，于是令,,代入上式可得（j=1,2,,r）(j=r+1,,m)(j=1,2,,r)(j=r+1,,n)可見是的特征向量，是的特征向量。例3已知。求A的奇異值分解。解，所以的特征值，A的奇異值，的特征值的單位特征向量因此又的零特征值所對應的次酉矩陣的零特征值所對應的次酉矩陣于是的酉矩陣U與的酉矩陣Ｖ分別為且2矩陣分解的應用研究2．1基于矩陣分解的數(shù)字圖像分存技術隨著現(xiàn)代通訊技術的飛速發(fā)展和廣泛應用，我們可以預見將會有大量的國家、企業(yè)和個人的信息在國際互聯(lián)網(wǎng)和各種不同類型的局域網(wǎng)上傳輸。然而，由于網(wǎng)絡開放性的特點，使得每一個人都可以在網(wǎng)絡上自由地獲得他感興趣的信息，而且也可以很方便地對信息進行編輯、修改和復制，甚至可以惡意對某些信息進行破壞。這就使得我們對信息的安全性更加關注。而圖像信息的安全性就是其中一個特別重要的研究領域。任何一幅數(shù)字圖像都可以看作一個矩陣，矩陣元素所在的行與列，就是圖像顯示在計算機屏幕像素點的坐標，元素的數(shù)值就是像素的灰度（或色彩值）。利用矩陣分解的結(jié)論，可以把表示圖像的矩陣分解為兩個矩陣的和的形式，從而可以實現(xiàn)圖像的分存。這種矩陣分解的方式可以無限迭代，由此可以把一幅圖像分解為任意多個子圖像的和的形式，達到隱蔽傳輸圖像的目的。數(shù)字圖像分存技術把一幅秘密的數(shù)字圖像分解成幾幅無意義或者雜亂無章的圖像或者偽裝到幾幅有意義的圖像中進行存儲或傳輸。它可以避免由于少數(shù)圖像信息的丟失而造成嚴重的事故，同時在通信中個別圖像信息的泄露不會引起整個圖像信息的丟失。2．2矩陣分解算法在生物信息學中的應用研究以芯片技術為代表的高通量技術的誕生,標志著基因組研究進入了新的水平。芯片實驗能夠同時測量成千上萬個基因的表達水平,利用這一技術,研究者可以獲得細胞在生理、發(fā)育過程中各個基因表達水平的動態(tài)變化信息,也可以監(jiān)控外部環(huán)境變化時細胞內(nèi)部各個基因表達水平的變化狀況,這就提供了一種量化細胞活動過程的有效途徑。因此,芯片技術在生命科學的研究中得到了廣泛應用,產(chǎn)生了海量的基因表達數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)中蘊藏著生命活動的基本規(guī)律,深入分析這些數(shù)據(jù),有助于進一步認識和理解紛繁多樣的表現(xiàn)型下隱藏的調(diào)控機理、作用機制,有助于人們研究各種疾病的病變機理、確定藥物的作用靶、輔助新藥的研制等,最終幫助人們理解生命的奧秘。針對這些海量的基因表達數(shù)據(jù)設計新的算法,識別蘊藏的各種特征,并給出合理解釋,是當前生物信息學研究的主題,來自不同學科的研究者提出了各種各樣的計算方法。數(shù)學上,芯片實驗產(chǎn)生的數(shù)據(jù)一般表現(xiàn)為的矩陣,其中N表示基因數(shù)目,M表示樣本數(shù)目(如基于時間順序的采樣點、不同的實驗條件、組織類型等),M<<N,即樣本的數(shù)目遠遠小于基因數(shù)目。針對這一特點,奇異值分解(SVD)及各種成分分析技術先后被用于芯片實驗數(shù)據(jù)的分析和處理,這些方法能夠有效地降低表達數(shù)據(jù)的維數(shù),識別數(shù)據(jù)中蘊含的全局特征,但卻難以識別細胞活動過程中特定條件下存在的局部特征。而非負矩陣分解算法(NMF)最大優(yōu)點是能夠在一定程度上識別數(shù)據(jù)的局部特征,定量地刻畫局部與整體之間潛在的、可加的非線性組合關系。近年來,非負矩陣分解算法已經(jīng)被廣泛地應用于圖像處理、人臉識別、文本信息處理、音頻處理等多個領域,產(chǎn)生了大量快速實用的有效算法,這就使得非負矩陣分解算法特別適合于分析大規(guī)模的基因芯片數(shù)據(jù)。許多研究者利用非負矩陣分解算法能夠分析和處理生物信息學領域的多種問題,包括基因表達數(shù)據(jù)聚類、調(diào)控模式及功能模塊識別、生物醫(yī)學文本挖掘、序列模式與基因功能分析等,取得了諸多有意義的研究成果。2.3矩陣分解解決線性代數(shù)問題的應用線性代數(shù)中將一個矩陣分解為若干個矩陣的和或乘積,是解決某些線性代數(shù)問題的重要方法,其技巧性、靈活性以及實用性都很強,通過例題從以下幾方面說明矩陣分解的簡單應用。1.“無”中生“E”分解的應用例1若A滿足,證明E-A非奇異,并求。證明:由方程兩端同時加一單位陣E，即非奇異，且。例2已知A、B、A+B都為n階可逆陣,求證也可逆并求其逆。證明:因為又因為A、B、A+B都可逆，則、也可逆，因此可逆。故為可逆矩陣，并且=。2.矩陣乘積分解的應用若一矩陣A可分解為兩個矩陣的乘積(如矩陣A的秩為1),或可以相似對角化(如A有n個線性無關的特征向量),則可以利用分解式計算A的冪次。例1設矩陣求。解:因為r(A)=1,顯然，令，，故3小結(jié)與展望本文首先介紹了矩陣分解的三種常見方法，矩陣的三角分解法又稱LU分解，可以利用這種分解方法求解矩陣的逆、方程組的解、行列式的值。矩陣的QR分解又稱為酉-三角分解，這種分解法解決矩陣特征值的計算、最小二乘法等問題中起到重要的作用。了解三種方法的具體定義，探究它們的分解過程，并用具體的例子加以說明。然后介紹了矩陣分解在數(shù)字圖像分存技術、生物信息學中的應用研究，還介紹了矩陣分解為解決某些線性代數(shù)問題提供的方法。由于近代數(shù)學、工程技術、經(jīng)濟理論管理科學等諸多領域中，大量涉及到了矩陣理論知識。因此，矩陣理論自然就是學習和研究上述學科必不可少的基礎之一。然而矩陣分解是解決矩陣問題的重要方法之一,分解的方法與過程提供了某些有效的數(shù)值計算方法和理論分析依據(jù)。這些分解在數(shù)值代數(shù)和最優(yōu)化問題的解決中都有著十分重要的角色以及在其他領域方面也起著必不可少的作用。非負矩陣分解（NMF）近年來快速發(fā)展,是目前國際上新的矩陣分解方法,并已初步成功地應用于一些領域中.如:圖像處理、生物醫(yī)學、文本聚類和語音信號處理等.因此,探索矩陣的分解方法一直是非常有意