2010年高考理科數(shù)學新課標全國卷-逐題解析

高考真題（理科數(shù)學）第5頁—共5頁2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(新課標全國卷)理科數(shù)學本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合},,則A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2]D．{0,1,2}D【解析】，，故．應選D．2．已知復數(shù)，是z的共軛復數(shù)，則=A．B．C．1D．2A【解析】．應選A．另解：由可得．3．曲線在點處的切線方程為A．B．C．D．A【解析】由可得，，應選A．4．如圖，質點在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為，角速度為1，那么點到軸距離關于時間的函數(shù)圖像大致為ABCDC【解析】通過分析可知當時，點到軸距離為，于是可以排除答案A,D，再根據(jù)當時，可知點在軸上此時點到軸距離為0，排除答案B，應選C．5．已知命題：函數(shù)在R為增函數(shù)，：函數(shù)在R為減函數(shù)，則在命題：，：，：和：中，真命題是A．，B．，C．，D．，C【解析】：函數(shù)在R為增函數(shù)為真命題，而函數(shù)為偶函數(shù)，則在R不可能為減函數(shù)，：函數(shù)在R為減函數(shù)為假命題，則為假命題，為真命題，然后根據(jù)復合命題的判斷方法即可確定答案C．6．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為A．100B．200C．300D．400B【解析】由題意可知播種了1000粒，沒有發(fā)芽的種子數(shù)服從二項分布，即,而，則．應選B．7．如果執(zhí)行右面的框圖，輸入，則輸出的數(shù)等于A．B．C．D．D【解析】根據(jù)框圖所體現(xiàn)的算法可知此算法為求和：，，應選D．8．設偶函數(shù)滿足，則A．B．C．D．B【解析】當時，則，由偶函數(shù)滿足可得，，則=，，令，可解得．應選B．另解：由偶函數(shù)滿足可得，則，要使，只需，解得．應選B．9．若，是第三象限的角，則A． B． C．2 D．A【解析】由，是第三象限的角可得．，應選A．另解：由，是第三象限的角可得．，．10．設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．B【解析】根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長都為的正三棱柱，則其外接球的半徑為，球的表面積為，應選B．11．已知函數(shù)若互不相等，且則的取值范圍是A． B． C． D．C【解析】作出函數(shù)的圖象如圖，220不妨設，則則．應選C．12．已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過的直線與相交于，兩點，且的中點為,則的方程式為A． B． C． D．B【解析】由雙曲線的中心為原點，是的焦點可設雙曲線的方程為，設，即則，則，故的方程式為．應選B．第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第（13）題~第（21）題為必考題，每個試題考生都必須做答，第（22）題~第（24）題為選考題，考試根據(jù)要求做答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．設為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且恒有，可以用隨機模擬方法近似計算積分，先產生兩組（每組個）區(qū)間上的均勻隨機數(shù)和，由此得到個點，再數(shù)出其中滿足的點數(shù)，那么由隨機模擬方案可得積分的近似值為．【解析】：由題意可知得，故積分的近似值為．14．正視圖為一個三角形的幾何體可以是______（寫出三種）【解析】正視圖為一個三角形的幾何體可以是三棱錐、三棱柱、圓錐、四棱錐等等．15．過點的圓與直線相切于點，則圓的方程為____．【解析】設圓的方程為，則解得，故所求圓的方程為．16．在△中，為邊上一點，，=120°，=2，若△的面積為，則=_______．【解析】由△ADC的面積為可得解得,則．,則故．三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程和演算步驟．17．（本小題滿分12分）設數(shù)列滿足．(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)令，求數(shù)列的前n項和．【解析】(Ⅰ)由已知，當時，．而所以數(shù)列{}的通項公式為．(Ⅱ)由知①從而=②①-②得()=．即=．18．（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，垂足為，是四棱錐的高，為中點．(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)若，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】以為原點，分別為軸，線段的長為單位長，建立空間直角坐標系如圖，則(Ⅰ)設則,．可得=,=．因為，所以．(Ⅱ)由已知條件可得，，設為平面的法向量則，即．因此可以取，由，可得|<>|=，所以直線與平面所成角的正弦值為．19．(本小題12分)為調查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下：性別是否需要志愿男女需要4030不需要160270(Ⅰ)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(Ⅱ)能否有99％的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？(Ⅲ)根據(jù)（2）的結論，能否提供更好的調查方法來估計該地區(qū)老年人，需要志愿幫助的老年人的比例？說明理由．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】(Ⅰ)調查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為．(Ⅱ)．由于9．967>6．635,所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關。(Ⅲ)由(Ⅱ)的結論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣方法更好．20．（本小題滿分12分）設分別是橢圓的左、右焦點，過斜率為1的直線與相交于兩點，且成等差數(shù)列．(Ⅰ)求的離心率；(Ⅱ)設點滿足，求的方程．【解析】(Ⅰ)由橢圓定義知，又，得．的方程為，其中．設，，則A、B兩點坐標滿足方程組，化簡的．則．因為直線AB斜率為1，所以得故，所以E的離心率．(Ⅱ)設AB的中點為，由(I)知，．由，得，即，得，從而，故橢圓E的方程為．21．（本小題滿分12分）設函數(shù)．(Ⅰ)若，求的單調區(qū)間；(Ⅱ)若當時，求的取值范圍．【解析】(Ⅰ)時，，．當時，；當時，．故在單調減少，在單調增加．(Ⅱ)，由(Ⅰ)知，當且僅當時等號成立．故，從而當，即時，，而，于是當時，．由可得．從而當時，，故當時，，而，于是當時，．綜合得的取值范圍為．請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，已知圓上的弧，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：(Ⅰ)=；(Ⅱ)=BE×CD．【解析】(Ⅰ)因為,所以．又因為與圓相切于點，故，所以．(Ⅱ)因為,所以∽，故，即．23．（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程已知直線：為參數(shù)，圓（為參數(shù)）．(Ⅰ)當=時，求與的交點坐標；(Ⅱ)過坐標原點做的垂線，垂足為、為的中點，當變化時，求點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．【解析】(Ⅰ)當時，的普通方程為，的普通方程為．聯(lián)立方程組，解得與的交點為(1,0)，．(Ⅱ)的普通方程為．A點坐標為，故當變化時，P點軌