全等三角形一線三等角模型的綜合應(yīng)用原卷版+解析版

專題一線三等角模型的綜合應(yīng)用原卷版

模型說(shuō)明

應(yīng)用：①通過(guò)證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題；

②與函數(shù)綜合應(yīng)用中有利于點(diǎn)的坐標(biāo)的求解。

題型精講

例1.（標(biāo)準(zhǔn)“K”型圖）在中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且月于。，8ELMN于E.

⑴當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：

①A加八4CEB；@DE=AD+BE-,

⑵當(dāng)直線MN燒點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE;

⑶當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)力E、AD,BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證

明.

例2.（做輔助線構(gòu)造“K”型圖）已知：中，ZACB=90°,AC=CB,D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接力D，在直

線力。右側(cè)作＞1E_L4D，S.AE=AD-

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EHJ.4C于H,連接DE.求證：EH=AC；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BE交Q4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求證：=

（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線庭上時(shí)，連接8E交直線力。于〃，若24c=5CM,請(qǐng)求出普絲■的值.

例3.（“K”型圖與函數(shù)綜合）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)B為y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以8為直

角頂點(diǎn)，＞18為直角邊在第一象限作等腰用AXBC.

⑴如圖1,若QF=3,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

⑵如圖2,若第=4,點(diǎn)D為Q4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以D為直角頂點(diǎn)，BD為直角邊在第一象限作等腰連接力E，

求證：AE1AB;

⑶如圖3,以8為直角頂點(diǎn)，OB為直角邊在第三象限作等腰放a。".連接斯，交V軸于點(diǎn)P，求線段現(xiàn)＞的長(zhǎng)度.

例4.（特殊“K”型圖）（1）如圖1,在△A8C中，zBAC=9O°,48=AC,直線〃i經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,8。_1_直線〃?，（?七，直

線“，垂足分別為點(diǎn)。、E.求證：AABD^△CAE；

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線〃7上，并且有NBD4=NAEC

=NBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論公△CAE是否成立？如成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

（3）拓展應(yīng)用：如圖3,D,E是。，A,E三點(diǎn)所在直線機(jī)上的兩動(dòng)點(diǎn)（D,A,E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為NBAC平

分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△AC尸均為等邊三角形，連接BD,CE,若NBD4=NAEC=ZBAC,求證：4DEF是等

邊三角形.

遷移應(yīng)用

1.在△ABC中，ZACB=90",AC^BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AQ_LMN于。，BELMN于E.

w

【感知】

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，易證AAOgACEB（不需要證明），進(jìn)而得到。E、AD.BE之間的數(shù)

量關(guān)系為.

【探究】

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，求證：DE=AD—BE.

（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，直接寫(xiě)出QE、AD.BE之間的數(shù)量關(guān)系.

2.探究：（1）如圖（1）,已知：在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC,直線〃?經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,BZ）J_直線〃?，CEJ■直線m,

垂足分別為點(diǎn)。、E.請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BO,DE,CE之間的數(shù)量關(guān)系是.

拓展：（2）如圖（2）,將探究中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線機(jī)上，并且有

ZBDA=AAEC=ABAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)探究中的結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

應(yīng)用：（3）如圖（3）,￡>、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線〃?上的兩動(dòng)點(diǎn)（。、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)尸為NB4C平分

線上的一點(diǎn)，且△AB尸和AACF均為等邊三角形，連接B。、CE,若NBD4=NAEC=NB4C,請(qǐng)直接寫(xiě)出AOE尸的形

3.（1）模型建立，如圖1,等腰直角三角形ABC中，NACB=90。，CB=CA,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,過(guò)A作于

D,過(guò)8作BEADED于E.求證：△BE6△CDAx

（2）模型應(yīng)用：

①已知直線），=；x+3與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于8點(diǎn)，將線段A8繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段BC,過(guò)點(diǎn)A,

C作直線，求直線AC的解析式；

②如圖3,矩形ABCO,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為（8,6）,4,C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)￡>

在第一象限，且是直線y=2r-5上的一點(diǎn)，若是不以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條

件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

4.（1）課本習(xí)題回放："如圖①，ZXC?=90°,AC=BC,ADLCE,BEICE,垂足分別為D，E，AD=2.5cm,

D￡=1.7cm.求BE的長(zhǎng)"，請(qǐng)直接寫(xiě)出此題答案：BE的長(zhǎng)為.

（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)8，C在的邊■、AN±.,月&=4C,點(diǎn)E，產(chǎn)在內(nèi)部的射線RD上，

且NBED=々CFD=ZBAC.求證：LABE^LCAF.

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在中，AB=AC,.點(diǎn)D在邊EC上，CD=2班，點(diǎn)E、F在線段RD上,

ZBED=^CFD=ZBAC.若毋出。的面積為15,則與ARDE的面積之和為.（直接填寫(xiě)結(jié)果，不需要

寫(xiě)解答過(guò)程）

5.如圖，線段AB=6,射線BGLAB,P為射線BG上一點(diǎn)，以4P為邊做正方形APCZ）,且點(diǎn)C、。與點(diǎn)8在AP兩側(cè),

在線段OP上取一點(diǎn)E,使得NE4P=NBAP,直線CE與線段AB相交于點(diǎn)尸（點(diǎn)尸與點(diǎn)A、B不重合），

（1）求證：AAE的△CEP；

（2）判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）△AEF的周長(zhǎng)是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.如圖，在AABC中，AB=4C=2,N8=40。，點(diǎn)力在線段BC上運(yùn)動(dòng)（。不與B,C重合），連接AO,作N4DE=

40。，Z）E交線段AC于E.

（1）當(dāng)NBOE=115。時(shí)，ZBAD=。，點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZBAZ）逐漸變（填"大"或"小"）；

(2)當(dāng)。C等于多少時(shí)，AASZ坦△DCE,請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AAOE的形狀也在改變，判斷當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，4AOE是等腰三角形.

(1)如圖①，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

CD

(2)如圖②，若X軸恰好平分/班C,8。交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作⑵lx軸于點(diǎn)D,求f的值；

AM

(3)如圖③，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為點(diǎn)8在V軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以。5、為邊在第一、第二象限中作

等腰尺AC0尸，等腰尺△四￡,連接廖交y軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)8在y軸上移動(dòng)時(shí)，陽(yáng)的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？若不變求用

的值；若變化，求明的取值范圍.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知/a。、5(0,b)分別在坐標(biāo)軸的正半軸上.

(1)如圖1,若4、6滿足9-4)?+環(huán)3=0，以8為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角AABC,則

點(diǎn)C的坐標(biāo)是()；

(2)如圖2,若a=b，點(diǎn)。是24的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以。為直角頂點(diǎn)，班為直角邊在第一象限作等腰直角ABDE，

連接力封，求證：ZABD=ZAED；

(3)如圖3,設(shè)4B=c,/四O的平分線過(guò)點(diǎn)D(2,-2),直接寫(xiě)出"b+c的值.

專題一線三等角模型的綜合應(yīng)用解析版

模型說(shuō)明

應(yīng)用：①通過(guò)證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題；

②與函數(shù)綜合應(yīng)用中有利于點(diǎn)的坐標(biāo)的求解。

題型精講

例1.（標(biāo)準(zhǔn)“K”型圖）在AAFC中，ZACB=90°,AC=BC,直線例N經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且月5_1_砂于O,郎_1_?于￡.

⑴當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：

①AM八△CM@DE=AD+BEi

（2）當(dāng)直線MN燒點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；

⑶當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)OE、A。、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證

明.

【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

（^）DE=BE-AD（或者對(duì)其恒等變形得到＜2?=EE-DE，BE=AD+DE））證明見(jiàn)解析

【解析】⑴解：BELMN^=90°=ZCE5,

：.ACAD+ZACD=9G0,4BCE+乙ACD=90。,:.ACAD=ZBCE,

'ZCAD=ZBCE

「在iMDC和ACSB中，NADC=ZCEB,LADC^LCEBCAAS）；

AC=BC

②"DCwACEB,:.CE=AD,CD=BE,DE=CE+CD=AD+BE

（2）證明：-.-ADLMN,:ZADC=NC￡B=N4CB=90。，:.^CAD=Z￡CE,

ZCAD=ZBCE

:在和ACO中，NADC=ZCEB,:."DCw&CEB^AAS）；:,CE=AD,CD=BE,

AC=BC

-DE=CE-CD=AD-BE-,

⑶證明：當(dāng)初過(guò)旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時(shí)，AD，DE，8E所滿足的等量關(guān)系是：DE=EE-RD或RD=即+DE或

BE=AD+DS-

理由如下：;ADLMN,BELMN,ZADC=^CEB=ZXCB=90%:.Z.CAD=ZBCE,

ZCAD=ZBCE

丫在iMDC■和ACO中，ZADC=ZCEBLADC=LCEB（AAS）,：,CE=AD^CD=BE，

AC=BC

DE=CD-CE=BE-AD（或者對(duì)其恒等變形得到AD=BE+DE或BE=AD+DE）.

例2.（做輔助線構(gòu)造“K”型圖）已知：AXBC中，ZACB=90°,AC=CB,D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接力D，在直

線力。右側(cè)作力且力下=火￡）.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作￡H±4C于H,連接DE.求證：EH=AC；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接8E交G4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求證：BM=EM^

（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線CB上時(shí)，連接BE交直線RC于〃，若24c=5CM,請(qǐng)求出25■的值.

44

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）2或1

37

【詳解】證明（1）..FE_L火D，463=90。，

???Z￡4ff=90°-ZC4D,ZADC=90°-ZCAD,：,^EAH=ZADC,

（ZAHE=ZACB=90°

在6核與△1DG4中，\^EAH=ZADC,AAHE^ADC^AA^）,:.EH=AC；

[AE=AD

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)E作即_L47,交C4延長(zhǎng)線于N,

AELAD^ZACB=90°,

ZEW=900-ZCAD,ZADC=90°-Z.CAD,：,ZEAN=ZADC,

fZ^VE=Z2?C4=90°

在與△DG4中，\^ENA=ZACD,:.AANE^ADCA(AAS),：,EN=AC,

M=HD

又.；AC=BC,..加=EC,

[4即而=/BMC

又在?河與A5cM中，\ZN=ZBCA=90°A￡WA5O/(A45),則笈M=小;

\BN=BC

（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí),

.?.247=5CW,???可設(shè)力。=5i，CM=2a,

由(1)得：AAHE^ADCA,則4N=CD,EH=AC=BC=5a,

由丁ASBf=ZBJf=90°，乙的1C=乙的1H,--AMHE^AMCBCAAS),：.CM=HM,

即加=0^=2a，「.AH=AC—CH一冊(cè)=3a-2a-2a=a，:AM=AH+HM=3afCD=AH=a

c^-BDxAC]x4ax5aA

2*，=2________=2_________=2

EH=AC=5a,BD=BC-CD=4a,c113

2△曲-AMxEH±x3ax5a'

22

如圖，點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作雙14C,交工。延長(zhǎng)線于曾,

?「24C=5CM,???可設(shè)力。=5[，CM=2a,

???加J_4C，AEIAD^ZANE=/LEAD=AACB=90°，

Z￡4AT=90°-ZC4D,ZADC=90°-ZCAD,:.Z￡AN=ZADC1

fZAM?=ZDCA=90Q

在AJIWE與△DC4中，\zENA=XACD，:.AANE注△DCA(AAS)，：.EN=AC,AN=CD,

\AN=AD

義AC=BC,:.國(guó)=BC，

[4EMN=4BMC

又在&EiW與A5CM中，jZAf=Z5C4=90°,:.AENM^ABCM(AAS),..CM=NM=2a,

\EN=BC

NE=BC=AC=3a，AN=AC+CH+KN=，

S^-BDxAC；x4ax5a4

AM=AC+CM=la,A/f=CD=9a.BD=4a,=-^------------=j-----------=-

-AMxENLx7ax5a'

22

點(diǎn)D在&。延長(zhǎng)線上，由圖2得：AC<CM，,24c=5CW不可能，故舍去

S44

綜上：尹5■的值為：或2

$337

例3.(“K”型圖與函數(shù)綜合)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,。)，點(diǎn)8為V軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以8為直

角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限作等腰汝A的C.

(2)如圖2,若第=4,點(diǎn)D為Q4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以D為直角頂點(diǎn)，即為直角邊在第一象限作等腰MABDE，連接力E，

求證：AE1AB;

⑶如圖3,以8為直角頂點(diǎn)，0B為直角邊在第三象限作等腰R/aQBF.連接斯，交V軸于點(diǎn)P，求線段的長(zhǎng)度.

【答案】⑴點(diǎn)C(3,7)；(2)證明見(jiàn)詳解過(guò)程；⑶2.

【解析】⑴如圖1,過(guò)點(diǎn)C作CH±y軸于H,

ZCHB=4A8C=NAOB=90°,：.ZBCH+4HBC=90°=NHBC+ZABO,：.ZA80=NBCH,

(ZCffB=ZAOB

在AABO和ABCH中，\ZBCH=ZABO,：.AABO^BCH(AAS),CH=OB=3,BH=AO=4,

[BC=AB

；.0H=7,；.點(diǎn)C(3,7),答案為：(3,7)；

(2)過(guò)點(diǎn)E作軸于F,

ZEFD=ZBDE=4800=90°,，ZBDO+AEDF=90°=ZBDO+NDBO,：.ZDB0=AEDF,

(ZB0D=^EFD

在△BOO和△OFE中，\ZDBO=ZEDF,BOD^△DFE(AAS),；.8O=Z)F=4,0D=EF,

[BD=ED

?.,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),，0A=0B=4,.1NBAO=45°,

O4=DF=4,0AAF=EF,：.ZEAF=NAEF^45°,/.ZR4E=90°,，BA±AE；

(3)過(guò)點(diǎn)C作CGJLy軸G,

圖3

由（1）可知：4AB8△BCG,：.BO=GC,AO=8G=4,

BF=BO,NOBF=90。，：.BF=GC,NCGP=NFBP=90。,

又丫ZCPG=NFPB,：.ACPG^△FPB（AAS）,/.BP=GP,：.BP弓BG=2.

例4.（特殊“K”型圖）（1）如圖1,在△ABC中，ZBAC^90°,AB=AC,直線機(jī)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,8O_L直線機(jī)，。日_1_直

線機(jī)，垂足分別為點(diǎn)。、E.求證：AABZ坦△CAE；

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有NBD4=NAEC

=ZBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論△AB8△C4E是否成立？如成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

（3）拓展應(yīng)用：如圖3,D,E是D,A,E三點(diǎn)所在直線機(jī)上的兩動(dòng)點(diǎn)（D,A,E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)尸為NBAC平

分線上的一點(diǎn)，且△A8F和△ACF均為等邊三角形，連接80,CE,若N8OA=NAEC=N2AC,求證：△￡>￡：下是等

邊三角形.

c

圖1圖2圖3

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）成立，理由見(jiàn)詳解；（3）見(jiàn)詳解

【詳解】（1）證明：TBDJ.直線加，CgJ_直線次，:/血l=NCEA=90°,

■.■ZBAC=90°,NBAD+NCAE=90°,

-,-ZBAD+ZABD=90°.:.Z.CAE=ZABD,

（ZABD=^CAE

在LADB和ACE4中，jZBDA=NCEA,LADB^KCEAAA^）■

[AB=AC

解：（2）成立，理由如下：-.■ZBDA=ZBAC=a,

ND歷1+ZBAD=ABAD+NC4E=180。-a，:乙CAE=ZABD,

（ZABD=^CAE

「在AADB和ACE4中，ixBDA=ZCEA,

\AB=AC

（3）證明：??,AABF和△ACF均為等邊三角形，

BF=AF=AB=AC,ZABF=ZBAF=ZFAC=60<>,.-.zBDA=Z.AEC=^BAC=12O",

/皈+?0=血10+/例=180。-120。，，NCAE=ZABD,

LADB^b,C&AiAAS）,/.AE=BD>

ZFBD=/.FBA+Z.ABD,Z.FAE=Z.FAC+ZCAE,:.Z_KBD=Z.FAE>

ADBF絲A￡4F（SAS）,；.FD=FE/BFD=ZAFE,

Z5E4=ZSFD+Z.DFA=^AFE+Z.DFA=Z.DFE=60°,

…DFE是等邊三角形.

遷移應(yīng)用

1.在△ABC中，ZACB=30°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且A￡>J_MN于。，BELMN于E.

用①圖②圖③

【感知】

(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，易證△AO8ACEB(不需要證明)，進(jìn)而得到OE、AD,3E之間的數(shù)

量關(guān)系為?

【探究】

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，求證：DE-AD-BE.

(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，直接寫(xiě)出。E、AD,8E之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)DE=AD+BE；(2)見(jiàn)解析；(3)DE=BE-AD{^AD=BE-DE,BE=AO+￡)E等)

【詳解】解：(1)證明：,.,43_LDE,BEJ.DE,ZADC=ZBEC=90",

???ZACB=90",：.ZACD+ABCE=90°,DAC+AACD=90°,：.^DAC=ABCE,

(ZCDA=ZBEC

在△AZ)C和中，\ZDAC=ZECB,ADC^ACEB(AAS),AD^CE,CD=BE,

[AC=BC

;DC+CE=DE,DE=AD+BE.

(2)證明：BELMN,

?/N4DC=NCEB=90。,

又「ZACB=90°,ZCAD+zACD=90°,ZACD+zBCE=90°.：.ZCAD=ABCE.

???4C=BC,△A￡)8△CEB.?.CE=AD,CD=BE,..DE=CE-CD=AD-BE；

(3)DE=BE-AD,理由：/BE±ECfAD±CE,

：.Z4QC=NBEC=90°,

/.ZEBC+ZECB=90°,

??.ZACB=90°,

??NECB+NACE=90°,

ZACD=NEBC,

在△AQC和△CEB中，

fZACD=ZCBE

ixADC=ZBEC,

[AC=BC

△ADC^△CEB(A4S),

AD=CEfCD二BE,

/.DE=CD-CE=BE-AD(或AD=BE—DE,8E=AO+QE等).

2.探究：(1)如圖(1),已知：在△A5C中，ZBAC=90°fAB=ACf直線歷經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,8。_1直線機(jī)，直線機(jī)，

垂足分別為點(diǎn)。、E.請(qǐng)直接寫(xiě)出線段2。，DE,CE之間的數(shù)量關(guān)系是.

拓展：(2)如圖(2),將探究中的條件改為：在AABC中，AB=AC,。、A、E三點(diǎn)都在直線機(jī)上，并且有

ZBDA=^AEC=ZBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)探究中的結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

應(yīng)用：（3）如圖（3）,。、E是￡＞、A、E三點(diǎn)所在直線機(jī)上的兩動(dòng)點(diǎn)（。、4、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為N5AC平分

線上的一點(diǎn)，且△ABF和AAC尸均為等邊三角形，連接8￡）、CE,若NBD4=NAEC=NB4C,請(qǐng)直接寫(xiě)出ADE尸的形

狀是_________________.

△CEF是等邊三角形

【詳解】（1）解：如圖1,

圖1

8。_1直線m,CE_L宜線m,：.zBDA=Z.CEA=90

ZBAC=90°,zBAD+^CAE=90Q

NBAD+Z.480=90°,ZCAE=ZABD,

f^BDA=ZCEA

在AADB和ACEA中，\zCAE=ZABD,

[AB=AC

△ADB^△CEA(/LAS),：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CEi故答案為：DE=BD+CE

(2)解：如圖2,

圖2

ZBDA=4BAC=a,；.ZDBA+NBAD=4BAD+ZCAE=180°-a,，ZDBA=ZCAE,

卜BDA=NCEA

在AAOB和ACEA中，izCAE=XABD,

\AB=AC

AADB^ACEA(AAS),：.AE=BD,AD^CE,：.DE^AE+AD=BD+CE^

（3）證明:如圖3,

?；AABF和△ACF均為等邊三角形，J.NABF=NCAF=60。，BF=AF,

ZDBA+Z.ABF—Z.CAE+Z.CAF,ZDBF=Z.FAE,

\BD=AE

■：在408尸和△E4尸中，\^DBF=ZFAE,：.△DB0△EAF(SAS),

[BF=AF

DF=EF,ZBFD=/AFE,：.ZDFE=tDFA+AAFE=^力物+NBFD=60°,

iOE尸為等邊三角形.

3.(1)模型建立，如圖1,等腰直角三角形A8C中，NACB=90。，CB=CA,直線EQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,過(guò)A作A￡>_LE￡>于

D,過(guò)8作BELED于E.求證：△BE8△CDA；

(2)模型應(yīng)用：

①已知直線y=,x+3與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于B點(diǎn)，將線段A8繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段8C,過(guò)點(diǎn)A,

C作直線，求直線AC的解析式；

②如圖3,矩形ABC。，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為(8,6),A,C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段8C上動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)。

在第一象限，且是直線y=2t-5上的一點(diǎn)，若△AP。是不以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接'

件的點(diǎn)D的坐標(biāo).

、，▲尸2r?5/

匕cD

圖1圖2圖3

=-1x+3⑶⑴)或(9J3)或弓，爭(zhēng)

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)7=；

【詳解】解：(1)由題意可得^ACB=￡ADC=￡BEC=^,

乙EBC+NBCE=NBCE+NACD=9丫，：.NEBC=ZACD,

ZEBC=ZACD

在△砒1c和ACZM中NE=ND一?.⑷S)；

BC=AC

（2）過(guò)點(diǎn)C作⑵J_x軸于點(diǎn)D，如圖2,

令x=0可求得J=3,ACW=3.8=4

同（1）可證得&?！陞栔餉BQ/1,

CD=BO=4,班=40=3,r?8=4+3=7,C(-7,4)且力(0,3),

設(shè)直線AC解析式為『=h+3,把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可得_7工+3=4,解得上=_；,

???直線AC解析式為丁=-；1+3；

過(guò)點(diǎn)D作DE_L。力于E，過(guò)點(diǎn)〃作3_LBC于F,

同理可得：△HED組△DFP

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為,則HE=25b=6-(2r-5)=ll-2x,

?-DE+DF=EF=BC,即ll-2x+x=8,解得x=3,

可得D點(diǎn)坐標(biāo)（3,1）：

如圖3,當(dāng)NAPQ=90。時(shí)，AP=PD，

過(guò)點(diǎn)尸作EE1Q4于E,過(guò)點(diǎn)。作D9_LPE于F，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為曲m）,同理可得：AAPE^PDF,

PF=AE=6-m,Db=PE=8,，。點(diǎn)坐標(biāo)為+..m+8=2Q4-nj)-5,得加=5,

二。點(diǎn)坐標(biāo)(9J3)；如圖4,當(dāng)N"*=90。時(shí)，力D=PD時(shí)，同理可得△兒DE9ZkD印，

設(shè)久乩25-5),則"=郎=*05=2M-5,AE=DF，則DF=4E=2"一5-6=2n-ll,

io2310,

DE+DF=EF=OC=Z,A?+2M-11=8,解得n=手，2n-5=丁，二D點(diǎn)坐標(biāo)(可，二

圖4

綜上可知滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為(3,1)或(9J3)或?).

4.(1)課本習(xí)題回放："如圖①，ZXC?=90°,AC=BC,AD1CE,BEICE,垂足分別為D，E，＞lD=2.5an,

DE=1.7cm.求8月的長(zhǎng)"，請(qǐng)直接寫(xiě)出此題答案：8E的長(zhǎng)為.

(2)探索證明：如圖②，點(diǎn)R,C在的邊兒M、AN上,點(diǎn)E，F(xiàn)在NMW內(nèi)部的射線力D上，

且/BED=/CFD=ZBAC.求證：LABE^LCAF.

(3)拓展應(yīng)用：如圖③，在A4B。中，AB=AC,點(diǎn)D在邊上，CD=2ED,點(diǎn)E、產(chǎn)在線段rD上,

Z5￡D=ZC5D=Z￡4C.若A4B。的面積為15,則AA4與ABDE的面積之和為.(直接填寫(xiě)結(jié)果，不需要

寫(xiě)解答過(guò)程)

【答案】（1）O.Stvn；（2）見(jiàn)解析（3）5

【詳解】解：(1)BEJ.CE,ADX.CE,：.Z￡=ZADC=90°,/.ZEBC+ABCE=9Oa.

(ZE=^ADC

N8C￡+N4C￡>=90°,，NE8C=NOCA.在△CEB和△ADC中，jZEBC=ZDCA

[BC=AC

ACEBWAADC(AAS),BE=DC,CE=AD=2.5cni.

DC—CE-DE,DE=1.7cm,DC—2.5-1.7=0.8cm,BE=0.8cm,答案為：0.8c7〃；

(2)證明：=Z8E4=N4FC.

?1,Z1=ZABE+Z.3,Z3+z4=ZBAC,Z1=ZBAC,

r.NBAC=NA8E+N3,，N4=NABE.

???ZAE8=NAFC,ZABE=Z4,AB=AC,△ABE^△CAF(.AAS).

M

A

(3)ZBED=^CFD=ZBAC

ZABE+NBAE=NFAC+ABAE=NfAC+ZACF,：.ZABE=NCAF,ZBAE=NACF

又月B=4C,△ABE^△CAF,冬版"Sq.

也4b'與加KDE的面積之和等于AWE與ABDE的面積之和，即為△A8。的面積,

CD=2BD,△AB力與△AC力的高相同，則皿=；品加「=5

故也4c了與的面積之和為5,故答案為：5.

B

BC

D

5.如圖，線段4B=6,射線BG_LA8,P為射線BG上一點(diǎn)，以AP為邊做正方形APC。，且點(diǎn)C、力與點(diǎn)B在AP兩側(cè),

在線段QP上取一點(diǎn)E,使得NE4P=NBAP,直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F（點(diǎn)尸與點(diǎn)A、B不重合），

（1）求證："E和△CEP；

（2）判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）zUE尸的周長(zhǎng)是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）CFJ.AB,理由見(jiàn)解析；（3）是，為16.

【詳解】解：（1）證明：??,四邊形APCD正方形，，OP平分NAPC,PC=PA,N4PC=90。,

?.ZAPE=NCP￡'=45",

fAP=CP

在△△《「與^CEP中,\zAPE=^CPE,AAEP^△CEP(SAS)；

[PE=PE

(2)CFS.AB,理由如下：I，△AEP^△CEP,：.ZEAP=4ECP,

■：ZEAP=ZBAP,---ZBAP=^FCP,：ZAPC=90°,：.ZFCP+ZCMP=90°,

???ZAMF=ACMP,ZAMF+APAB=90Q,：.ZAFM=90°,CFrAB-

(3)過(guò)點(diǎn)C作CNLPB.

???CFJ.AB,BG±AB,：.ZPNC=N8=90°,FCWBN,

ZCPN=ZPCFMEAP=APAB,

XAP=CP,APC冶AAPB(A4S),CN=PB=BF,PN=AB,

'：AAEP^ACEP,AE=CE,

：.AAEF的周長(zhǎng)=AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=16.

故AAEF的周長(zhǎng)是否為定值，為16.

6.如圖，在AABC中，AB=AC=2,N8=40。，點(diǎn)。在線段8c上運(yùn)動(dòng)(。不與8,C重合)，連接AO,作NA￡>E=

40°,OE交線段AC于E.

(1)當(dāng)NBOE=115。時(shí)，ZBAD=。，點(diǎn)。從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，NBA。逐漸變(填"大"或"小")；

(2)當(dāng)。C等于多少時(shí)，AABD^△DCE,請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△4OE的形狀也在改變，判斷當(dāng)NBA。等于多少時(shí)，AACE是等腰三角形.

【答案】（1）65°，大；（2）DC=2；（3）30?；?0°.

【詳解】解：（1）?.2班次=115。，ZADE=40°,

ZBDA=ZBDE-^ADE=115°-40°=75°,

ABAD=180°-ZB-ABDA=180°-75°-40°=65°,

當(dāng)點(diǎn)。從8向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，NBA。逐漸變大.

故答案為：65。，大：

（2）當(dāng)PC=2時(shí)，4ABD空&DCE,

理由如下：

AB=AC=2,N8=40°

:.4=N8=40。，

ZADE=40。，

又,,,ZB+ZBM=NQC=NADff+Z￡￡C,

:2BAD=ZEDC，

在△月即和AZX花中,

f^BAD=ZEDC

\AB=DC,

ZB=ZC

.-.A力班WADCE(ASA)；

(3)當(dāng)乙皿得度數(shù)為3011或60。時(shí)，AJIDE是等腰三角形.

理由如下：

■,-ZC=Z5=40°,AZBAC=180°-(ZC+ZB)=100°,

???/g￡=/。=40°,ZA￡D>ZC,

"DE為等腰三角形時(shí)，只能是RD=DE或?yàn)镋=DE，

當(dāng)4D=DE時(shí)，ZIWE=ZD￡4=l(180o-40o)=70o,

ZBAD=ZBAC-Zm(7=100°-70°=30°,

當(dāng)￡4=ED時(shí)，ZADE=ZDA￡=40°,..ZA￡D=180o-40o-40o=100°,

ZBAD=ZBAC-ADAC=100°-40°=60°,

綜上所述，當(dāng)NEXT得度數(shù)為30。或60。時(shí)，AME是等腰三角形.

（1）如圖①，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

（2）如圖②，若X軸恰好平分NR4C,8。交X軸于點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)C作⑵lx軸于點(diǎn)3,求K的值；

（3）如圖③，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,0）,點(diǎn)8在V軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別以08、再8為邊在第一、第二象限中作

等腰尺A湖，等腰尺△陽(yáng)￡,連接E9交y軸于點(diǎn)p,當(dāng)點(diǎn)8在y軸上移動(dòng)時(shí)，陽(yáng)的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？若不變求用

的值；若變化，求用的取值范圍.

【答案】（1）（0,5）（2）9（3）不變，等于2.

【詳解】解：（1）如圖1,作CO_L8O于。，

NCBO+N480=90°,NABO+NBAO=90°,...NCBO=N8A。,

fZBOA=ZBDC=90°

在△48。和△BCD中，ixCBD=ZBAO,△ABO^BCD(A4S),

\AB=BC

，C￡）=B0=5,r.8點(diǎn)坐標(biāo)（0,5）；

則4c=/a,「AM(即x軸)平分N84C,:.也=空=也,

(2)設(shè)A8=8C=m即MC=^BM,

MCAC1

??-8c=8M+MC=a,

-1

解得8M=(72)“，MC=(2-五)a,則AM=＜加+琢1fl=44-2尤°，

???ZA8M=NCDM=90°,azAM8=NCMD,：.RmABM-Rt4CDM,

CDa-Q-&)ai

些二組,即。=絲色

CDCMAM二吟

（3）陽(yáng)的長(zhǎng)度不變，理由如下：如圖3,作EG_Ly軸于G,

圖3

?「N840+/084=90°,NOBA+，EBG=90°,；.NBAO=NEBG,

fZXOB=ZBG5=900

在△和A中，△△：

BAOEBG\ZBAO=ZEBG,/.BAO^EBG(AAS)9.BG=AO,EG=OB,

\AB=BE

?1,OB=BF,/.BF=EG,

\ZEPG=ZFPB

在4￡GP^AF5P中，jz5GF=Z^P=90o,△EGP^△FBP(A45),

\EG=BF

:.PB=PG,：.PB=1-BG=^-AO=2.

22

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知如6、5（08）分別在坐標(biāo)軸的正半軸上.

（1）如圖1,若〃、人滿足（a-4）?+廊壽=0，以8為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角AASC,則

點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）；

（2）如圖2,若a=b，點(diǎn)。是。4的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以。為直角頂點(diǎn)，叨為直角邊在第一象限作等腰直角ABDE，

連接火E，求證：ZABD=ZAEDi

（3）如圖3,設(shè)月E=c,乙15。的平分線過(guò)點(diǎn)D（2,-2）,直接寫(xiě)出"匕+c的值.

【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3,7）；（2）見(jiàn)解析；（3）a-b+c=4

【詳解】解：（1）I,（a-4）?+=

r.a=4,2?=3,Q4=4,OB=3,

過(guò)點(diǎn)C作⑵1『軸于點(diǎn)D，

???AX5c為等腰直角三角形,

BA=BC,ZABC=90°,

^CBD+ZABO=90°,

ZABO+ZBAO=900,

匕C