利用泰勒級數(shù)計算無理數(shù)和以及其他任意無理數(shù)的近似值

利用泰勒級數(shù)計算無理數(shù)兀和。以及其他任意無理數(shù)的近似值適用章節(jié)：第十二章第四、五節(jié)幕級數(shù)，泰勒級數(shù)(同濟大學數(shù)學系《高等數(shù)學(第六版)》)一、問題提出：丸和e是兩個常用的無理數(shù)。丸是一個在數(shù)學及物理學普遍存在的數(shù)學常數(shù)，其定義為圓形之周長與直徑之比，是精確計算圓周長、圓面積、球體積等量的關(guān)鍵值，丸的近似值是3.141592654。e是高等數(shù)學中常用的無理數(shù)，e的值約為2.718282。它們是怎樣計算出來的，大家可能不是很清楚，我們將利用幕級數(shù)以及泰勒級數(shù)展開法借助數(shù)學軟件Mathmatica來計算它們的近似值。問：計算丸的近似值。計算e的近似值。怎樣利用余項判斷近似值的誤差?？紤]一下其它無理數(shù)的計算，比如＜2^3等。二、涉及知識點幕級數(shù)，泰勒級數(shù)三、所使用的軟件和關(guān)鍵語句軟件：Mathmatica5關(guān)鍵語句：Series[f{x,%,n}]%將函數(shù)f在x=%處展開到n階幕級數(shù)。四、實現(xiàn)的過程和結(jié)果提示：兀=4arctan1=4arctanx|，e=f(1)=ex|。實驗過程：(1)計算丸的近似值在Mathmatica5工作頁面輸入如下命令：n=20Series[ArcTan[x],{x,0,n}]%arctanx在x=0展開到n=20階f[x_]=4Normal[%]NumberForm[f[1.],10]%去掉幕級數(shù)余項且乘4倍%令x=1得丸的近似值，輸出10位有效數(shù)字wucha=N[1/(2n+3),10]%誤差精度，小于該數(shù)值，輸出10位數(shù)字(結(jié)果與上面程序每一行對應(yīng)，其中ArcTan[x]表示arctanx函數(shù)，Series[]級數(shù)展開函數(shù))f[x_]=4Normal[%]NumberForm[f[1.],10]x3x55x77x99xiix13x15x17x1919x3111315174x3xx5x7x9xiix13x15x173579111315173.0418396190.02325581395%精確到整數(shù)位計算結(jié)果不太精確，我們增大〃的階數(shù)，如下n=100；Series[ArcTan[x],{x,0,n}];%展開到100階f[x_]=4Normal[%];NumberForm[f[1.],10]wucha=N[1/(2n+3),10]輸出結(jié)果：3.121590.004926108374%精確到小數(shù)點后一位n=1000；Series[ArcTan[x],{x,0,n}];%展開到1000階f[x_]=4Normal[%];NumberForm[f[1.],10]wucha=N[1/(2n+3),10]輸出結(jié)果：3.1395926560.0004992511233%精確到小數(shù)點后一位n=10000；Series[ArcTan[x],{x,0,n}];%展開到10000階f[x_]=4Normal[%];NumberForm[f[1.],10]wucha=N[1/(2n+3),10]輸出結(jié)果：3.1413926540.00004999250112%精確到小數(shù)點后3位n=100000；Series[ArcTan[x],{x,0,n}];%展開到100000階f[x_]=4Normal[%];NumberForm[f[1.],10]wucha=N[1/(2n+3),10]輸出結(jié)果:3.1415726544.9999250%精確到小數(shù)點后4位(2)計算e的近似值。在Mathmatica5工作頁面輸入如下命令:n=5;Series[Exp[x],{x,0,n}]%展開到5階f[x_]=Normal[%]NumberForm[f[1.],10]wucha=N[3/(n+1)!,5]輸出結(jié)果:X2X3X4X52624120X2X3X2624xx%精確到小數(shù)點后1位2.7166666670.0041667n=20;Series[Exp[x],{x,0,n}]；%展開到20階f[x_]=Normal[%]；NumberForm[f[1.],20]wucha=N[3/(n+1)!,10]輸出結(jié)果:2.7182818284590465.87188231通過上面兩個例子，我們借助計算機通過幕級數(shù)展開計算出了無理數(shù)和e近似值，我們明顯可以看到在計算e時利用幕級數(shù)展開在階數(shù)比較低的情況下結(jié)果較為精確，而計算丸的近似值結(jié)果在比較高的階數(shù)情況下才較為準確，這里主要是因為在計