畢業(yè)論文-剛體轉動慣量的計算方法

生畢業(yè)設計（論文）PAGEPAGE1剛體轉動慣量的計算方法摘要：本文從轉動定律入手引出轉動慣量，然后介紹了轉動慣量的物理意義幾種計算方法。分別用定義法、疊加法、平行軸定理、垂直軸定理計算剛體的轉動慣量,利用慣量張量計算剛體的轉動慣量。關鍵詞：轉動慣量；定義法；平行軸定理；垂直軸定理；慣量張量TheCalculationofRigidBodyMomentofInertiaAbstract:Thispaperdescribedtherotationlawofinertia,andthenintroducedthemomentofinertiaofthephysicalmeaningofsomecalculation.Therigidbodymomentofinertiawascalculatedrespectivelyusingdefinedmethod,superpositionmethod,theparallelaxistheoremandtheverticalaxistheorem.Thisarticlealsocalculatedtherigidbodymomentofinertiausingtheinertiatensor.Keywords:momentofinertia；definitionoflaw；parallelaxistheorem；verticalaxistheorem;inertiatensor引言：隨著科學技術的迅猛發(fā)展，轉動慣量作為一個重要的工程參數(shù)，在越來越多的領域受到重視，如何更方便，快捷，準確的計算轉動慣量成為了一個迫切需要解決的問題。轉動慣量等于剛體中每個質元的質量與這一質元到轉軸的垂直距離的平方的乘積的和，而與質元的運動速度無關。與質點的平動動能比較而言，轉動慣量相當于平動時的質量。物體轉動時轉動慣量是表示物體在轉動中慣性大小的量度。關于轉動慣量的研究由來已久，現(xiàn)在所取得的成果就是前人一點一滴積累來的。本文將在此基礎上，本著循序漸進的原則，對轉動慣量及多種計算方法進行探討。近年來伴隨著高新技術的日新月異，對物體轉動慣量，尤其是對非均質不規(guī)則物體早點過來的深入性研究，已經(jīng)對未來的航空、航天、軍事及精密儀器制造等高精尖行業(yè)產(chǎn)生了深遠的影響。1轉動慣量的引入為引入轉動慣量，我們討論轉動定律。圖1如圖1所示，剛體可看成是由個質點組成，此剛體可繞固定軸轉動

，于是剛體上每一質點都繞圖1如圖1所示，剛體可看成是由個質點組成，此剛體可繞固定軸轉動

，于是剛體上每一質點都繞軸作圓周運動。在剛體上取質點，其質量為，

繞軸作半徑為的圓周運動。設質點受兩個力作用，一個是外力，另一個是剛體中其它質點作用的內力，并設外力和內力均在與軸相垂直的同一平面內。由牛頓第二定律，質點的運動方程為（1）如以和分別表示外力和內力在切向的分力，那么質點的切向運動方程為（2）為質點的切向加速度。切向加速度與角加速度之間的關系。所以上式為（3）上式兩邊各乘以得（4）式中和分別是外力和內力切向分力的力矩?？紤]到外力和內力在法向的分力和均通過轉軸，所以其力矩為零。故上式左邊也可理解為作用在質點上的外力矩與內力矩之和。若遍及所有質點，可得（5）由于剛體內各質點間的內力對轉軸的合內力矩為零，即。故上式為（6)而則為剛體內所有質點所受的外力對轉軸的力矩的代數(shù)和，即合外力矩，用表示，有。這樣上式為（7）式中的與剛體的形狀、質量分布以及轉軸的位置有關，也就是說，它只與繞定軸轉動的剛體本身的性質和轉軸的位置有關，叫轉動慣量。對于繞定軸轉動的剛體，它為一恒量，以表示，即（8)這樣，就有（9)剛體繞定軸轉動時，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比，這個關系叫做定軸轉動時剛體的轉動定律，簡稱轉動定律。把式（9）與描述質點運動的牛頓第二定律的數(shù)學表達式相對比可以看出，它們的形式很相似：外力矩和外力相對應，角加速度與加速度相對應，轉動慣量與質量相對應。轉動慣量的物理意義也可以這樣理解：當以相同的力矩分別作用于兩個繞定軸轉動的不同剛體時，它們所獲得的角加速度一般是不一樣的。轉動慣量大的剛體所獲得的角加速度小，即角速度改變得慢，也就是保持原有轉動狀態(tài)的慣性大；反之，轉動慣量小的剛體所獲得的角加速度大，即角速度改變得快，也就是保持原有的轉動狀態(tài)的慣性小。因此我們說，轉動慣量是描述剛體在轉動中的慣性大小的物理量。2轉動慣量的計算方法2.1定義法由可以看出，轉動慣量等于剛體上各質點的質量與各質點到轉軸的距離平方的乘積之和。如果剛體上的質點是連續(xù)分布的，則其轉動慣量可以用積分進行計算，即

（10）在國際單位制中，轉動慣量的單位是。下面計算兩種簡單形狀剛體的轉動慣量。例1

一質量為、長為的均勻細長棒，如圖2所示，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量。

解

設細棒的線密度為。如圖所示，取一距離轉軸為處的質量元，可得

圖2由于轉軸通過棒的中心，有圖2

如以通過棒的端點且平行于的軸為轉軸，用同樣的方法?？捎嬎愠霭魧Υ宿D軸的轉動慣量為。它比轉軸為時的轉動慣量要大。例2

一質量為、半徑為的均勻圓盤，求通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉動慣量。

解

設盤的質量面密度為。如圖3所示，在圓盤上取一半徑為、寬度為的圓環(huán)。圓環(huán)的面積為。此圓環(huán)質量元。那么可以求得通過盤面中心垂直盤面的軸的轉動慣量為

由于圓盤的半徑為，有圖3圖3必須指出，實際上只有對于幾何形狀簡單、質量連續(xù)且均勻分布的剛體才能用積分的方法算出它們的轉動慣量。對于任意剛體的轉動慣量，通常是用實驗的方法測定出來的。

如以代表剛體的體密度，為質量元的體積元，于是轉動慣量可寫成?？梢钥闯?，剛體的轉動慣量與以下三個因素有關。

（1）與剛體的密度有關（幾何形狀簡單的剛體，則與質量有關）。如半徑相同、厚薄相同的兩個圓盤，鐵質的轉動慣量比木質的大。

（2）與剛體的幾何形狀（及體密度的分布）有關，不同形狀的剛體，即使質量相同，它們的轉動慣量也是不同的。質量分布得離軸越遠，物體的轉動慣量越大。

（3）剛體的轉動慣量還與轉軸的位置有關。如表中細棒對通過它中心點的軸和通過它一端的軸的轉動慣量是不同的。2.2疊加法利用轉動慣量的代數(shù)可加性計算。如物體由1，2兩部分組成，以表示1加2對軸的轉動慣量，以表示1部分對軸的轉動慣量，以表示2部分對軸的轉動慣量。那么可得物體的轉動慣量為（11）如果及均很容易計算就可以通過上式計算，不必對2區(qū)域作積分，以避免復雜的計算。2.3平行軸定理如圖4所示，設通過剛體質心的軸線為軸，剛體相對這個軸線的轉動慣量為。如果有另一軸線與通過質心的軸線相平行，可以證明，剛體對通過軸的轉動慣量為

（12）圖4式中為剛體的質量，為兩平行軸之間的距離。上述關系叫做轉動慣量的平行軸定理。平行軸定理有助于計算轉動慣量，對研究剛體的滾動是很有幫助的?，F(xiàn)證明如下圖4上圖中，與軸與紙面垂直，帶撇坐標系表示質心坐標系剛體對軸的轉動慣量為（13）用表示剛體總質量。根據(jù)質心坐標式，有，，和分別在質心坐標中的坐標，因這一坐標原點正在質心，故，上式中兩項消失，即剛體對軸的轉動慣量，而，于是得（11）式，由定理知，在剛體對各平行軸的不同轉動慣量中，對質心的轉動慣量最小。2.4垂直軸定理設剛體為厚度無窮小的薄板，建立坐標系，軸與薄板垂直，坐標面在薄板平面內，剛體對軸的轉動慣量為（14）等號右方兩部分順次表示剛體對y和x軸的轉動慣量，即（15）因此，無窮小厚度的薄板對一與它垂直的坐標軸的轉動慣量，等于薄板對板面內另二直角坐標軸的轉動慣量之和，稱垂直軸定理，注意：本定理對與有限厚度的板不成立。2.5慣量張量法2.5.1慣量張量由理論力學知識知道物體在一般情況下的慣量張量為（17）并且把它叫做對O點而言的慣量張量，而這一慣量矩陣的每一個元素（軸轉動慣量和慣量積）則叫做慣量張量，也叫慣量系數(shù)。其中（18）（19）（20）及（21）（22）（23）對質量均勻分布，且形狀規(guī)則的剛體，我們可把上兩式改寫成積分形式，即（24）（24）（25）（26）及（27）（27）（28）（29）故，，就叫做剛體對x軸，y軸，z軸的軸轉動慣量，至于，，則因含有兩個坐標的相乘項，所以叫做慣量積。2.5.2轉動慣量容易得到一般剛體的轉動慣量,由慣量張量計算轉動慣量的計算公式（30）式中為任一轉動瞬軸相對于坐標軸的方向余弦，三個轉動慣量和六個慣量積（由于對稱關系，實際上也只有三個是相互獨立的）作為統(tǒng)一的一個物理量，來代表剛體轉動時慣性的量度。2.5.3應用例3均勻長方形的邊長為與，質量為，求此長方形薄片繞其對角線轉動時的轉動慣量？用公式（16）來計算（取長方形的兩邊為坐標軸，如圖5所用公式（16）來計算（取長方形的兩邊為坐標軸，如圖5所示）。繞軸轉動的方向角為，，圖5圖53轉動慣量的討論在剛體對定軸的角動量的定義中出現(xiàn)一個新的物理量：轉動慣量。轉動慣量定義為。它取決于剛體對軸的質量分布。對通常質量密度均勻的剛體，它取決于剛體的質量、形狀和轉軸位置三個因素。轉動慣量的定義表明，一個質點對定軸的轉動慣量是，而剛體的轉動慣量就是剛體中的所有質點轉動慣量之和。這也意味著一個剛體整體的轉動慣量應等于其各部分的轉動慣量之和。4結論通過對剛體轉動慣量的概念、平行軸定理、垂直軸定理及慣性張量的綜合應用，本文對比了幾種計算轉動慣量的方法。顯然，適當選取質量元，使用均質直桿，均質圓環(huán)，球殼等特殊形狀物體的轉動慣量的已知結論，再合理的轉換坐標系，運用平行軸定理或垂直軸定理可以大大簡化計算難度，使物理意義更明確，讓質量分布規(guī)律性較強的剛體的轉動慣量計算過程更清晰，步驟更簡潔。參考文獻：[1]馬文蔚.物理學