2021年和2020年全部高校強(qiáng)基計劃數(shù)學(xué)試題

2021年和2020年全部高校強(qiáng)基計劃數(shù)學(xué)試題（北大，清華，復(fù)旦，交大，中科大等）2021年北京大學(xué)強(qiáng)基計劃數(shù)學(xué)試題本試卷共20題，部分題目可能與實(shí)際考試有所出入，僅供參考..已知O為AABC的外心，AB、AC與AOBC的外接圓交于。、E.若DE=OA,貝（ZOBC=.方程）2+/4=/的正整數(shù)解（y/d）的組數(shù)為2021.若實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足+be+cd+da=1,則a2+2b2+3c2+4d2的最小值為2021.（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）已知丫=￡5,則y的個位數(shù)字是1=0.若平面上有100條二次曲線，則這些曲線可以把平面分成若干個連通區(qū)域，則連通區(qū)域數(shù)量最大值為..已知實(shí)數(shù)/e[0,1）.數(shù)列｛4｝滿足：若x”T<g,則當(dāng)=2天—若工丁若，則x?=2^-1（/?=1,2,...）.現(xiàn)知Xo=/ji,則可能的.”的個數(shù)為.

7.設(shè)L=1蘇3.若io9_“y“，貝的最小值為.已知〃、b、C是二個不全相等的實(shí)數(shù)且滿足a=aZ?+c、〃=bc+a、c=ca+b.貝l|a+Z?+c=?.如圖，為AABC中Z4的平分線.過A作AD的垂線A/7,過C作CE]/AD交AH于點(diǎn)E.若BE與AD交于點(diǎn)、F,且鉆=6,AC=8,BC=7.則.如果一個十位數(shù)尸的各位數(shù)字之和為81,則稱尸是一個“小猿數(shù)”.則小猿數(shù)的個數(shù)為..設(shè)%是與郎的差的絕對值最小的整數(shù)，4是與而的差的絕對值最小的整數(shù).記［目的前〃項和為s/門的前〃項和為7；.則27；00fo的IAJ值為..設(shè)正整數(shù)〃W2021,且〃5一5/+4〃+7是完全平方數(shù).則可能的〃的個數(shù)為..方程/-20+333-4x+5=0的整數(shù)解的組數(shù)為..現(xiàn)有7把鑰匙和7把鎖.用這些鑰匙隨機(jī)開鎖，則4,Q這三把鑰匙不能打開對應(yīng)的鎖的概率是..設(shè)正整數(shù)嗎〃均不大于2021,且，L＜忘＜絲里.則這樣的數(shù)組(〃?,〃)n+1 n個數(shù)為..(微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究)有三個給定的經(jīng)過原點(diǎn)的平面.過原點(diǎn)作第四個平面a,使之與給定的三個平面形成的三個二面角均相等.則這樣的a的個數(shù)是

.若a,b,c為非負(fù)實(shí)數(shù)，S-a2+b2+c2-ab-bc-ca=25,貝1]a+b+c的最小值為..已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,="+i=2%.數(shù)列也｝滿足乙=5,々+1=5%.若正整數(shù),〃滿足圖＞心,則,〃的最小值為..若X—為非負(fù)整數(shù)，則方程K+X[+???+U=X1X2"，X1的解有 組.20.已知〃也cer+20.已知〃也cer+且—=3,求（，+/+c4）最小值.2021年清華大學(xué)強(qiáng)基計劃數(shù)學(xué)試題部分題目可能與實(shí)際考試有所出入，僅供參考..甲乙丙丁四人共同參加4項體育比賽，每項比賽第一名到第四名的分?jǐn)?shù)依次為4、3、2、1分.比賽結(jié)束甲獲得14分第一名，乙獲得13分第二名，貝!!( ).A.第三名不超過9分B.第三名可能獲得其中一場比賽的第一名C.最后一名不超過6分D.第四名可能一項比賽拿到3分.定義％*)，=匹三，則(…((2*3)*4)…)*21=( ).9T.已知出=cos'+isinK,則（ ）.5 5X4+X3+―+%+1=（%一同卜一蘇）（工一￡）［一口9）x4-x3+x2-x+1=（x- -ty3-co^x-ce?^x4-x3-x2+x+1=（x-^y）（x-ty3-co^x-ce?^X，+X3+X2—“一1=（"助卜一叫卜一，）卜一TOC\o"1-5"\h\z.恰有一個實(shí)數(shù)X使得i-a.l=o成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（ ）.A.（一,0 B.卜，平） C.（乎） D.卜,平、.已知國為高斯函數(shù)，|j卜臥［卜解的組數(shù)為（ ）.A.30 B.40 C.50 D.60.已知加，〃最大公約數(shù)為10!,最小公倍數(shù)為50!,數(shù)對（孫〃）的組數(shù)）.

A.29B.215A.29B.215C.221D.21S.設(shè)。為常數(shù)，/(0)=-1,f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x>)9則().A./(?)=1 B.=g恒成立C.f(x+y)=2f(x)f(y) D.滿足條件的〃x)不止一個TOC\o"1-5"\h\z.已知四面體ABC中，AC=BC=AD=BD=l,則ABC體積的最大值為（ ）.A.速B.9 C.馬叵 D.五27 8 27 18.在/\ABC中，。為8c的中點(diǎn)，ZCAD=15°,則Z4HC的最大值為（ ）.A.120° B.105° C.90° D.60°

.已知非負(fù)實(shí)數(shù)a,〃，。滿足a+b+c=l,則/（b-c）+/（c-a）+c2（a叫TOC\o"1-5"\h\z的最大值為（ ）..已知4,4,…小。十等分圓周，則在其中取四點(diǎn)構(gòu)成凸四邊形為梯形個數(shù)為（ ）.設(shè)/⑴的最大值為M，A.60 B.45 C.40 D.設(shè)/⑴的最大值為M，.已知f(x)=sina-cosx+sinx+—cosx\o"CurrentDocument"最小值為機(jī)，則（ ）.A.B.〃=|C.A.B.〃=|C.725D.*.已知集合。={0,1,2,…,2021},S「U,且S中任意兩項相加不是5的倍數(shù)，求S的元素個數(shù)最大值..將函數(shù)y="+6x-X2-2（x￡[0,6]）的圖象逆時針方向旋轉(zhuǎn)e（owewa），得到曲線c.若對于每一個旋轉(zhuǎn)角夕，曲線C都是一個函數(shù)的圖像,則a的最大值為（ ）.

A.aictaii—2A.aictaii—2B.aictaii-.（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）在平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A, 8滿足|。力卜代目=。1O”2,則點(diǎn)集{P|0戶=〃?/+〃。反岡+“歸,九"假}所表示的區(qū)域的面積是（）B.472B.472C.273.已知/=4x,過A（-2,3）做拋物線兩條切線，交），軸于8,C兩點(diǎn),則2BC外接圓方程為（ ）.A.(x+i)2+A.(x+i)2+3)y--.2)(x+1)-+(yT)-=ix+—2).橢圓9+y2=l,A（-2,0）,過P（l,o）作直線/交橢圓于M、N,AM、/W交％=1于8、C,下面正確的有（ ）A.附+|pq定值B.|P卦|pq為定值c.附+附|可能為2D.|p外|pq可能為2

—10—.如圖，四邊形AEBC為圓。外接四邊形，BC//DE,8c為直徑：若龐=12,DE=DC=14,貝I」AEBD=.Y=mm1max,max{x.,Z}},則.%,x2Y=mm1max,max{x.,Z}},則列，X=max{min{%，菁J,minN，/}}，x>y的概率是.（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）有〃個質(zhì)點(diǎn)，每個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為外，則質(zhì)心位置X=注士；對于一桿，長3m,放于;ve[-l,2]間，且線密度TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"滿足夕=2+x,則質(zhì)心位于（ ）.A.A B?2 C?2 D.-15 5 5 5.有限項等差數(shù)列公差為4,第二項起各項的和加首項的平方小于100,則該數(shù)列最多可有項.2021復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計劃數(shù)學(xué)試題L（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）命題〃「'△/此的內(nèi)心與外心重合”是命題g：“△ABC是正三角形”的什么條件？

-12-.已知/(x)周期為1,則命題〃：“/(x)+/(x+>/T)=2”是命題夕："/(x)恒為1”的什么條件？.AD是AABC的角平分線，AB=3,AC=8,BC=7,求AD的長..求卜+!+/+31的常數(shù)項.町.y).已知0&《18,19/774-n=20212022,則〃=點(diǎn)A,滿足幽=8A.A8的中點(diǎn)為〃，則下列兩.已知E，鳥分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，8點(diǎn)A,滿足幽=8A.A8的中點(diǎn)為〃，則下列兩個結(jié)論是否正確:結(jié)論1:AFJBH;結(jié)論2:8〃為橢圓的切線..若g(x)=%+兇+2 +N2],/(A)=log2x,解不等式0<g(/(x))<l.8?方程18x+4y+9z=2021的正整數(shù)解有多少組？-13-.確定曲線k+jhzgsf+b_6》的類型..求由曲線同+上區(qū)迎，爐+）二》2圍成的面積..（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）求極坐標(biāo)的曲線軌跡..若數(shù)列｛〃〃｝滿足4聯(lián)+4“限-12x4%=0,求lim%.I]313.求展開式（三313.求展開式（三中的常數(shù)項.—14—2021上海交大強(qiáng)基計劃數(shù)學(xué)試題.已知△ABC中，tanC=-3tanA,求tanB最大值..求邊長為1的正五邊形的對角線長..實(shí)數(shù)a,b>l,滿足lg(a+6)=lga+lg〃,求lg("l)+lg(6-l)的值..2個拋物線最多分平面為7份，3個最多分16份，求4個拋物線最多分平面為幾份？.（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）求方程卜五二7的實(shí)根個數(shù).-15-2021年中科大強(qiáng)基計劃數(shù)學(xué)試題.已知正實(shí)數(shù)〃，二次函數(shù)= 若任意長度為1的區(qū)間上,存在兩點(diǎn)函數(shù)值之差的絕對值不小于1,貝心的最小值為.已知正實(shí)數(shù)沖滿足§+上=1,則歷F的最小值為 .Xy.（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）已知正實(shí)數(shù)〃，gc滿足a+〃+c=l,則a-+b2+c2+2abc的取值范圍為..拋物線,=/上有A,8兩點(diǎn)，AB=2,則AB中點(diǎn)的軌跡方程為.拋擲一個均勻的骰子（各面1-6）"次，記該過程中出現(xiàn)的最大數(shù)字為X,貝（lE（x）=.—16—.有邊長為]的正3。，D在邊加上，E在邊AC上，DEHBC,沿de折起AABC,求四棱錐AOEBC體積的最大值..已知CJ=（4+2"）”的整數(shù)部分，證明：*l（C]+l）.乙 （兀、、l>Wn%+3cos.J2cos%+3su蔓的范圍..已知加士向，水4sufa+5cW萬4cos%+5shTPQ/(x)g(x)“X)為實(shí)系數(shù)多項式，且兩兩互素，V3T+O)了巾⑺「證明：〃=1或2?-17-2021年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計劃數(shù)學(xué)試題(廣東)一、填空題2020 1?水〉Sill = .62021.設(shè)拋物線y=/與* +1相切，則〃=..寫出一個函數(shù)/3=,使得/卜-/3)=/(/(切+2.礦()，)+/(+1對于任意的x,yeR恒成立..(微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究)設(shè)空間區(qū)域｛(y/)，+)，2+/@0。｝中存在四個點(diǎn)兩兩距離都是d,則d的是大值為.-18-.設(shè)k個人進(jìn)行互相傳球游戲，每個拿球的人等可能地把球傳給其他人中的任何一位，心3.若初始時球彳王甲手中，則第〃次傳球之后，球又回到甲手中的概率為.二、解答題.求函數(shù)f(x)=5+6cosx-3cos2x-4cos3x+(sin當(dāng)?shù)娜≈捣秶?.設(shè)a,〃，c是正整數(shù)，〃是素數(shù)，且〃整除4虧+〃丁+0丁，證明：〃整除abc.-19-.設(shè)數(shù)列｛“〃｝滿足q=3,且對任意正整數(shù),〃，〃均有/〃，+〃= +4“+2m2+4mn?求金的通項公式..設(shè)“”是〃次實(shí)系數(shù)多項式，其中磋1,g*)=/(x)-/⑴,證明：若/⑴的〃個根都是實(shí)數(shù)，則g(x)的”個根也都是實(shí)數(shù).-20-2021年南京大學(xué)強(qiáng)基計劃數(shù)學(xué)試題及其解析.求M=Mj+[汨+.??+~2021]..已知OKa+b,b+cyc+a<l求M=_〈+Jb-c|+J|c_aj的最值.-21-2020年北京大學(xué)強(qiáng)基計劃數(shù)學(xué)試題共20道選擇題，在每題的四個選項中，只有一個選項符合題目要求，選對得5分，選錯或不選得0分.1.(微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究)已知均為正實(shí)數(shù)，且滿足TOC\o"1-5"\h\zxNyNw和x+y42(z+w),則上+二的最小值等于( )xyA.-B.-C.1D.前三個答案都不對4 8.在(2019x2020)””的全體正因數(shù)中選出若干個，使得其中任意兩個的乘積都不是平方數(shù)，則最多可選因數(shù)的個數(shù)為( ).A.16B.31C.32D.前三個答案都不對.已知整數(shù)列{4}(〃21)滿足q=1,%=4,且對任意心2有-22-TOC\o"1-5"\h\z片一%+一,1=21，則G”的個位數(shù)字是（ ）?A.8B.4C.2D.前三個答案都不對.設(shè)a,b,c,d是方程Y*+2爐+3/+4x+5=0的4個復(fù)根，貝（］0+竺1+匕1+上1的值為（ ）.a+2b+2c+2d+2A.--B.--C.-D.前三個答案都不對3 3 3.設(shè)等邊△MC的邊長為1,過點(diǎn)C作以Ab為直徑的圓的切線，交A6的延長線于點(diǎn)。，AD>BD,則△6CD的面積為（ ）.A.°五-3事b.拽三叵C.逑3叵D.前三個答案都不對16 16 16.設(shè)x,y,z均不為；兀，其中A為整數(shù)，已知sin（y+z-x）,sm（x+z-y）,sm（x+y-z）成等差數(shù)列，則依然成等差數(shù)列的是（ ）.A.suix,siny,sinz B.cosx,cosy,coszC.taiix,tany,taiiz D.前三個答案都不對7.（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）方程19x+93y=4.的整數(shù)解個數(shù)為（ ）.A.4B.8C.16D.前三個答案都不對

-23-8.從圓片+卡=4上的點(diǎn)向橢圓C：J+y2=l引切線，兩個切點(diǎn)間的乙線段稱為切點(diǎn)弦，則橢圓C內(nèi)不與任何切點(diǎn)弦相交的區(qū)域面積為（）.A.IB.-C.-D.前三個答案都不對TOC\o"1-5"\h\z2 3 49.使得5x+12jH（a（x+y）對所有正實(shí)數(shù)x,y都成立的實(shí)數(shù)。的最小值為（ ）.A.8B.9C.10D.前三個答案都不對.（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）設(shè)P為單位立方體的面對角線上的一點(diǎn)，則P4+PG的最小值為（ ）.A."2+企B."2+2VI C.2D.前三個答案都不對.設(shè)數(shù)列｛qJ“、“滿足q=1,%=9,且對任意01有an+2=4a”*-3alt-20,其前〃項和為S“，則S”的最大值等于（ ）?A.28B.A.28B.35C.47D.前三個答案都不對—24—.設(shè)直線y=3x+m與橢圓營+裔=1交于A,5兩點(diǎn)，。坐標(biāo)原點(diǎn),則△045面積的最大值為（ ）.A.8B.10C.12D.前三個答案都不對.正整數(shù)傳3稱為理想的，若存在正整數(shù)令-1使得CLC：,C產(chǎn)構(gòu)成等差數(shù)列，其中Ci/"一為組合數(shù),則不超過2020的理想數(shù)k\（n-k）\個數(shù)為（ ）.A.40B.41C.42D.前三個答案都不對.在5c中，Z4=150°,2, …，D。、。依次為邊6c上的點(diǎn)，且BDi=D[D、=D,D3=."D。""。,。=Do，°C.設(shè)ABAD,=a,,NQ/a=a2, …, ZD2019AD2020=a2Q2Q,ZD2020AC=a2021,則的值為（sin%siii%???siiia202lsina2sin%…siiia的值為（A.1010B.2020C.2021D.前三個答案都不對A.1010B.2020C.2021D.前三個答案都不對-25-.函數(shù)f(0)=73+2>/3cos0+cos20+>/5—Z^cosd+cos?d+4sind的最大值為( ).A.72+V3B.2>/2+>/3C.V2+2>/3D.前三個答案都不對16.（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）16.（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）方程Jx+5-4jx+l+Jx+2-2jx+l=1的實(shí)根個數(shù)為（A.1B.2C.3D.前三個答案都不對.凸五邊形ABCDE的對角線CE分別與對角線5。和A3交于點(diǎn)尸和G,已知6/：尸。=5:4,AG:GD=l:l,CF:FG:GE=2:2:3,S、“°和S的分別為和△AB七的面積，貝lJSqw：S△聞等于（）.A.8：15B.2：3C.11：23D.前三個答案都不對.設(shè)〃，q均為不超過100的正整數(shù)，則有有理根的多項式=f+px+q的個數(shù)為（ ）.A.99B.A.99B.133C.150D.前三個答案都不對-26—.滿足對任意〃況有心|=2〃-3牝且嚴(yán)格遞增的數(shù)列｛qjg的個數(shù)為().A.0B.1C.無窮個D.前三個答案都不對20.設(shè)函數(shù)/(x,)，,z)=」一+上+工，其中x,),,z均為正實(shí)數(shù),x+yy+zZ+x則有( ).A./既有最大值也有最小值B./有最大值但無最小值C./有最小值但無最大值D.前三個答案都不對2020年清華大學(xué)強(qiáng)基計劃數(shù)學(xué)試題共35道選擇題，為不定項選擇題.-21-1.若＜+）飛1,則寸+旬-）/的取值范圍是（).A?一乎,*B?[-tl] C.一與，與D?[-2,2]2.設(shè)a,/?,c為正實(shí)數(shù)，若一元二次方程ox，+瓜+c=0有實(shí)根，則（ ）A.inax{。也c}2；(4+〃+c)B.inax{a,b,c}22(a+〃+c)C.mm{4,/?,c}W；(a+〃+c)D.min{。也c}wg?+〃+c)3.在非等邊△ABC中,8C=4C,若。和尸分別為△A5C的外心和內(nèi)心,。在線段5c上，且滿足8J_5P,則下列選項正確的是（ ）.A.5,。，O,尸四點(diǎn)共圓B.OD//ACC.OD//AB D.PD//AC4.已知集合A8,C={L2,3,…,2020},且AqBqC,則有序集合組(40C)的個數(shù)是( ).A.22020 B.3Mo c.42020 D.5Mo5.已知數(shù)列{〃“}滿足g=0,|4+J=n+l|(i￡N),則4=￡&?的值可能Jl=l-28-是( ).A.0B.2是( ).A.0B.2C.10D.12TOC\o"1-5"\h\z.(微信公眾號:樂思數(shù)學(xué)研究)已知點(diǎn)尸在橢圓［+?=l上，A(LO),4 35(1,1),則陷+閥的最大值是( ).A.4 B.4+73C.4+小D.6.已知P為雙曲線叁-寸=1上一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，A(-2,0),8(2,0),令4PAB=a,ZPBA=fl,下列表達(dá)式為定值的是( ).< naPA.tanatailp 15.tan—tanyC?s?姐儂】(0+々) D.S△嘰cot(a+/?)8.甲、乙、丙三位同學(xué)討論同一道數(shù)學(xué)競賽題，甲說：“我做錯了乙說：“甲做對了丙說：“我做錯了老師看過他們的答案并聽了他們的上述對話后說：“你們僅有一人做對且僅有一人說謊了”，則根據(jù)以上信息可以推斷( ).A.甲做對了B.乙做對了C.丙做對了 D.無法確定誰做對了-29-9.在RtZ\A5c中，ZABC=-2ab=GBC=l,PAPBPC網(wǎng)+網(wǎng)+同j則下列說法正確的是（).A.ZAPB= B.ZBPC=—C.PC=2PBD.PA=2PC10.求值:(〃 2limVaictan—t4占 k-).B-TC.D.11.從0到9這十個數(shù)中任取五個數(shù)組成一個五位數(shù)時（〃可以等于0）,貝|396次正的概率為).A-費(fèi)B-擊C-315D.121012.隨機(jī)變量X（=l,2,3,…），y（=0』,2）,滿足尸（X=k）=j,r=x(mod3),貝(E(y)=().B?ID.167-30-.已知向量〃，b,c滿足\b\^l,\a+2b+c\=\a-2b\,則下列說法正確的是（ ）.A.|c|的最大值為4& B.同最大值為26C.|c|的最小值為0 D.|c|的最小值為2\o"CurrentDocument".若存在x,ygN*,使得M+心與）/+丘均為完全平方數(shù)，則正整數(shù)&可能取值為（ ）.5 D.6）.走 D.12A.2B.C.15.smarctan1+arccos—+aicsm上|=(I 回A.0B.-C.16.已知正四棱錐中，相鄰兩側(cè)面構(gòu)成的二面角為。，側(cè)棱與底面夾角為夕，則（ ）.A.cosa+tan2p=\ B.seca+tan2p=-1C.cosa+2tan2/=1 D.seca+2tan2p=-\-31-.已知函數(shù)/'(x)=【——+sinx(XG[-2,2]),則/(x)的最大值與最小eIe值的和是( ).A.2 B.e C.3 D.4（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）.已知函數(shù)“X）的圖像如圖所示，/"）的圖像與直線片。,X=f（4<f<c）,X軸圍成圖形的面積為S⑺，則下列說法正確的是().A.S(t)vcf3) B.S'(f)守(。)c.s'⑺守㈤D.S'⑺7(c).我們稱數(shù)列｛4｝為“好數(shù)列”，若對任意〃sN,存在msN*,使得狐=與，其中S.=%,則下列說法正確的是（ ）.1=19A.若?！?［；二=：］2,則數(shù)列也｝為“好數(shù)列”B.若。血（A為常數(shù)），則數(shù)列也｝為“好數(shù)列”C.若也｝,匕｝均為“好數(shù)列"，則％="+如為等差數(shù)列D.對任意等差數(shù)列的｝,存在“好數(shù)列”也｝,￡｝,使

-32-TOC\o"1-5"\h\z.（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）廣外、&=（ ）.Josmx+cosxA.兀 B.&兀 C.27i D.6i.在A4BC中，AC=1,BC=3,AB=2,設(shè)M為45中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CM折起，使得四面體8-ACM的體積為走，則折起后45的長度可能12為（ ）A.1 B.VI C.喬 D.222.設(shè)復(fù)數(shù)q,無在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為乙，/，。為坐標(biāo)原點(diǎn),若I&|=l，5z：+z；-2z心=0,則ZkOZZ的面積為（ ）A.1 B.73 C.2 D.2班23.使得〃sinl>l+5cosl成立的最小正整數(shù)〃等于（ ）34563456-33-24.已知實(shí)數(shù)x,yA.（x,y,z）24.已知實(shí)數(shù)x,yA.（x,y,z）有1組滿足1 3 1， ,9X-^y-y=[^V3-1z2-2=1,貝（I（ ）9, 31 3 1 . .—Z--X"-x=19 3B.E），,z）有4組C.X,y,z均為有理數(shù)C.X,y,z均為有理數(shù)D.4，），，z均為無理數(shù).設(shè)實(shí)數(shù)公孫…因滿足O4W1（L2,…,21）,則引的最大值為（）A.110 B.120 C.220 D.240.（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，且所有頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形.若一個格點(diǎn)多邊形的內(nèi)部有8個格點(diǎn)，邊界上有10個格點(diǎn)，則這個格點(diǎn)多邊形的面積為（ ）A.10B.11A.10B.11C.12D.13—34—TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足區(qū)-萬1=3,則二^的（ ）\o"CurrentDocument"A.最大值為號B.最大值為工C.最小值為士D.最小值為23 3 3 3.設(shè)P為銳角，且cos（c+p）=^^,則tana的最大值為（ ）A.叵 B.9 C.1 D.VI4 3.已知函數(shù)f（x）=ex+a（x-l）+b在區(qū)間［1,3］上存在零點(diǎn)，則a2+b2的最\o"CurrentDocument"小值為（ ）A.- B.e C.匚 D.e22 2.設(shè)A,8分別是x軸，），軸上的動點(diǎn)，若以鉆為直徑的圓C與直線\o"CurrentDocument"2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為（ ）

-35-.(微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究)已知實(shí)數(shù)a,b滿足/+//+3"=1,設(shè)的所有可能值構(gòu)成的集合為"，則( )A.M為單元素集A.M為單元素集M為有限集，但不是單元素集c."為無限集，且有下界 D.M為無限集，且無下界.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和S“=(-l)"q+￡+3,且實(shí)數(shù)，滿足(z-an)(r-?n+1)<o,則/的取值范圍是( )~4>_311\~4>.(微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究)《紅樓夢》，《三國演義》，《水滸傳》和《西游記》四部書分列在四層架子的書柜的不同層上.小趙，小錢，小孫，小李分別借閱了四部書中的一部.現(xiàn)已知：小錢借閱了第一層

—36—的書籍，小趙借閱了第二層的書籍，小孫借閱的是《紅樓夢》，《三國演義》在第四層.則（ ）A.《水滸傳》一定陳列在第二層B.《西游記》一定陳列在第一層C.小孫借閱的一定是第三層的書籍D.小李借閱的一定是第四層的書籍.設(shè)多項式的各項系數(shù)都是非負(fù)實(shí)數(shù)，且/（i）=/（i）=則〃%）的常數(shù)項的最小值為（ ）1-1-2A.1-4C..已知/卜）=嚴(yán)+4+；卜+3卜則（ ）A.〃z）=o存在實(shí)數(shù)解 B.〃z）=o共有20個不同的復(fù)數(shù)解C./⑶=。復(fù)數(shù)解的模長均為1D.〃z）=。存在模長大于1的復(fù)數(shù)解-37-2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計劃數(shù)學(xué)試題.設(shè)拋物線y?=2px,過焦點(diǎn)/作直線，交拋物線于A,5兩點(diǎn)，滿足A尸=3萬.過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足記為點(diǎn)兒，準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)C,若%4=126,則〃=..（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）已知實(shí)數(shù)1,），,滿足/+2外=1,求V+9的最小值..已知/（X）=4Sin（27E￥）+Z?COS（27E￥）+CSin（47L￥）+dcOS（47E￥）,若fg+“+/（x）=/（2x）,則在〃，b,c,d中能確定的參數(shù)是-38-.若三次方程x3+ox2+4x+5=0有一個根是純虛數(shù)，則a=.在卜+；+）戶+（1的展開式中，常數(shù)項為〃-+?1乂42x5 〃（〃+3）,.點(diǎn)（4,5）繞點(diǎn)（L1）按順時針方向旋轉(zhuǎn)60度，所得的點(diǎn)的坐標(biāo)為.方程5pcosd=40+3pcos20（pN））所表示的曲線形狀是.「I 3 （ 3兀）、幾 兀兀"x+COSx+———2a=0,..設(shè) ，右彳I2） 貝I」cos（x+2y）=[4y3+sinycosy+a=0,.實(shí)數(shù)x,y*兩足廠+廠=1,若|x+2y—4+a+6—x—2y|的值與x,y無關(guān)，貝!1〃的取值范圍是.-39-.在△A5C中，cos/5AC=J,若。為△45C的內(nèi)心，且滿足3AO=xAB+yAC,則x+y的最大值為..已知直線〃？：y=xcos。和〃：3x+y=c,則有( ).A.加與〃可能重合B.加與〃不可能垂直C.直線陽上存在一點(diǎn)尸，使得直線〃以P為中心旋轉(zhuǎn)后與/〃重合D.以上都不對cta32.如圖15-2所示，拋物線3y?=x的焦點(diǎn)為尸，4在拋物線上，A點(diǎn)處的切線與4戶夾角為30度，則A點(diǎn)橫坐標(biāo)為..已知P為直線；)[6=0上一點(diǎn)，且P到4(2,5)和5(4.3)的胡%夕n相同，則P點(diǎn)坐標(biāo)為.—40—.已知x,ye{1,2,3,4,5,6,7,8,9}且yw。,連接原點(diǎn)O和A(x,y),5(y㈤兩點(diǎn)，則ZAO5=2aicta/的概率為3TOC\o"1-5"\h\z1a.>/14+35/2 .3b?aicsin +arcsin-= ?8 4.已知三棱錐產(chǎn)-46c的體積為10.5,且AB=6,AC=BC=4,AP=BP=IO,貝《CP的長度為..在△A6C中，AB=9,BC=6,CA=79貝!18c邊上中線的長..若/(耳=9—1,則〃/(x))的圖象大致為.(微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究).定義/= 匕令M?N={x|九⑴八。)=一1},已知I一人,人2/葭,A=lx\x<y/2-x\,5={x|x(x+3)(x-3)>o},貝③6=.—41—.方程3x+4y+12z=2020的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為.已知刑,〃eZ,且。令(1，若滿足228。+3”"12m+〃，則〃=.若四邊形A5CO是凸四邊形，貝！。是NZMC=/T)BC的 條件..設(shè)函數(shù)/(耳=3、-3-、的反函數(shù)為"尸⑴，則g(x)=L(xT)+l在[-3,5]上的最大值和最小值的和為..若Q4,(微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究)直線區(qū)-2y-2k+8=0與2x+k，-4G-4=0和坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積的取值范圍是..已知A,B,C,。四點(diǎn)共圓，且回=1,CD=2,AD=4,BC=5,P為AD,8c的交點(diǎn)，則尸A的長度為..給定5個函數(shù)，其中3個奇函數(shù)，2個偶函數(shù)，在這5個函數(shù)中任意取3個，其中既有奇函數(shù)，又有偶函數(shù)的概率為.—42—.下列不等式恒成立的是（ ）.A.x2+-^-^x+-B.|x-y|+—!—^2x-x x-yC.-y\ >2D.卜一），閆x_z|+|y_zx~y.向量數(shù)列｛《J滿足％]=%+d,且滿足囤=3,aYd=-1,令,則當(dāng)S“取最大值時，〃的值為.某公司安排甲、乙、丙等7人完成7天的值班任務(wù)，每人負(fù)責(zé)天已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相鄰兩天，則不同的安排方式有種..直線乙，《交于。點(diǎn)，M為平面上任意一點(diǎn)，（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）若P，q分別為M點(diǎn)到直線乙，《的距離，則稱（PM）為點(diǎn)M的距離坐標(biāo).已知非負(fù)常數(shù)p,q,下列三個命題正確的個數(shù)是（1）若p=q=0,則距離坐標(biāo)為（0,0）的點(diǎn)有且僅有1個.（2）若pq=0,且p+qwO,則距離坐標(biāo)為（0,0）的點(diǎn)有且僅有1個.-43-(3)若#0,則距離坐標(biāo)為(p,q)的點(diǎn)有且僅有4個..GiventwosetsA={1,2,3,4,5}and5={3,4,5,6,7},thentheintersectionsetofAandBis( )?A.{1,2}B.{3,4,5}C.{123,4,5,6,7}D.{6,7}.Whichnumberofthatnumber5isthecubicrootof?A.3B.5C.25D.1252020年上海交通大學(xué)強(qiáng)基計劃數(shù)學(xué)試題.已知函數(shù)/(x)的定義域為(0,1),若則函數(shù)g(x)=/(x+c)+/(x-c)的定義域為—44—.已知方程2、-smx=l,則下列判斷:（1）方程沒有正數(shù)解；（2）方程有數(shù)多個解；（3）方程有一個正數(shù)解；（4）方程的實(shí)根小于1.其中錯誤的判斷有..（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）在小于1000的正整數(shù)中，既不是5的倍數(shù)也不是7的倍數(shù)的整數(shù)有個..已知邊長為。的正三角形A5C,D,￡?分別在邊Ab, 上，滿足AD=BE=-a,連接AE,CD,則AE與CO的夾角為3.已知△A6C的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4（3,4）,5（6,0）,C（-5-2）,則角A的平分線所在的直線方程為..從2個紅球，3個黑球，5個白球（同色球完全相同）中任意取6-45-個，有種不同的取法.（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）.已知曲線了=公+〃工+。過點(diǎn)A（-3,4）,B（5,4）,則2a+〃=.過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸作直線〃?，交拋物線于A,3兩點(diǎn),若A,5橫坐標(biāo)之和為5,則直線川的條數(shù)為..用同樣大小的正〃邊形平鋪整個平面（沒有重疊），若要將平面鋪滿，貝心的值為..若三條直線a：x-2y+2=0,/2:x=2,4：x+Ay=O將平面劃分成6個部分，貝也可能的取值情況是（ ）.A.只有唯一值B.有兩個不同的值C有三個不同的值D.無數(shù)個值.已知非零實(shí)數(shù)。，b,c,若史，色，弛成等差數(shù)列，則下列不abc

—46-等式一定成立的是().—46-等式一定成立的是().A.\b\^\ac\B.口區(qū)@二團(tuán) C.怵》㈤D.a2^b\c2212.(微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究)函數(shù)/(x)的定義域為。，若對于任意的都存在唯的使得/(x)+〃y)=4,則稱/(X)在。上的和為4,給出下列函數(shù)：(1)/(x)=lnx,xg-,e5;(2)/(x)=x2-1,xe[-l,6]；e/(x)=—,x<l;(4)/(x)=xev.其中和為4的有個..若集合M中任意兩個元素的和、差、積、商(除數(shù)不為0)的運(yùn)算結(jié)果都在M中，則稱M是封閉集合，下列集合：(1)R;(2)Q;(3)[Q；(4)[x=/"+〃"團(tuán),〃eZ}.其中封閉集合的序號為?.方程x(x+l)+l=)2的正整數(shù)解有..若。，b<0,且滿足9+4=’,貝(3= aba-bb—47—.（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）若四面體的各個頂點(diǎn)到平面a的距離都相等，則稱平面。為該四面體的中位面，則一個四面體的中位面的個數(shù)為..設(shè)〃7（4）是函數(shù)/（工人卜?-4在區(qū)間［-1,1］上的最大值，則的最小值為..在正方體8個頂點(diǎn)任意2個頂點(diǎn)所在的直線中，異面直線共有 對..若空間三條直線a,3c兩兩異面，則與三條直線都相交的直線有條..用平面截一個單位正方體，若截面是六邊形則此六邊形周長的最小值為..（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）已知矩形ABC。的邊=&，過6,

—48—。作直線AC的垂線，垂足分別為E,F,且石，尸分別為AC的三等分點(diǎn)，沿著AC將矩形翻折，使得二面角6-AC-。成直角，則8。的長度為..（微信公眾號：樂思數(shù)學(xué)研究）平面上給定五個點(diǎn)，任意三個點(diǎn)不共線，過任意兩個點(diǎn)作直線，已知任意兩條直線既不平行也不垂直,過五個點(diǎn)中任意一個點(diǎn)向另外四個點(diǎn)的連線作垂線，則所有這些垂線的交點(diǎn)（不包括已知的五點(diǎn)）個數(shù)至多有個.60.若實(shí)數(shù)4"滿足（〃+8）59=一1,（〃一〃）6。=1,貝U之（。"+/）=〃=1.甲、乙、丙三人的職業(yè)分別是A,B,C,乙的年齡比C大，丙的年齡和6不同，5比甲的年齡小，則甲、乙、丙的職業(yè)分別是（）.'兀3兀<"4'T的最小值是'兀3兀<"4'T的最小值是.函數(shù)y= ，xesinx+cosx—49—2020年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試題.若z+z=i，則"1卜卜-收1的取值范圍是..若|5x+6)，|+|9x+lly|<l,則其圍成圖形的面積S=./(])=；=+!的離心率是 .5/3X.若《=1,d=3,a=一曰+q,貝！1?！?.若/-y2=4//，/，y為正整數(shù)，〃為素數(shù)，貝I-50-.若4=2020"”，b=,2019?叫2021,c=i(2O192021+2O212019),則a,b,c的大小順序是..若/(無)=(%一1丫+K,且a,b,ce[0,l],/(?),f(b),/(c)為三角形的三邊，貝心的取值范圍是..已知q,生,…M”為1,2,…,”的排列，若i<J?且4<4/,則(q.嗎)為順序?qū)?，設(shè)X為仆生，…4的順序?qū)Φ膫€數(shù)，則石(力=.求y=3sm2x-2sui2a+2siiix-cosx的取值范圍..(微信公眾號：