排列組合經(jīng)典例題透析

組合典例透析類(lèi)型：組數(shù)公及其．計(jì)算：（）

思路點(diǎn)撥：可以直接依據(jù)組合數(shù)公式計(jì)算，也可以先利用性質(zhì)化簡(jiǎn)后再計(jì)算解析：（）方法一：；方法二：；（）方法一：；方法二：總結(jié)升華：

時(shí)，利用性質(zhì)

計(jì)算

比較簡(jiǎn)便．性達(dá)組合數(shù)的遞推性質(zhì)，它可用于計(jì)算求值，更重要的是用于恒等式的證明。舉一反三：【變式】計(jì)算：（）【答案】

（）

或（）（）【變式】計(jì)算：

或（）【答案】（）

…（）…【變式】求證：．證明：邊左邊．解方程：

解析：方程可化為

，整理得:解得經(jīng)檢驗(yàn)

，或（不合題意舍去是原方程的根．

總結(jié)升華：解含組合數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意組合數(shù)

中，

且

這些限制條件，要注意含組合數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；應(yīng)強(qiáng)調(diào)解組合數(shù)方程要驗(yàn)根。舉一反三：【變式】解方程：【答案】方程為∴＝＋或＝解得：＝或＝經(jīng)檢驗(yàn)＝，＝是原方程的根?！咀兪健恳阎?，求、【答案】題意得，

的值．整理得，解得：類(lèi)型二：合的應(yīng)用．平面內(nèi)有點(diǎn)，

（）以其中每點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？（）以其中每點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？思路點(diǎn)撥：線段不考慮線段兩個(gè)端點(diǎn)的順序，是組合問(wèn)題；有向線段考慮線段兩個(gè)端點(diǎn)的順序，是排列問(wèn)題．解析：（）以每點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是個(gè)不同元素中取個(gè)元素的組合數(shù)，即以其中個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有（）由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)，一個(gè)是終點(diǎn)，

（條）以個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是個(gè)不同元素中取個(gè)元素的排列數(shù)，即以其中個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共

()總結(jié)升華：一個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，在于取出的元素之間有沒(méi)有順序，交換其中兩個(gè)元素是否改變所得的結(jié)果．舉一反三：【變式】下面的問(wèn)題是排列問(wèn)題？還是組合問(wèn)題？并計(jì)算結(jié)果。（）從，，，中任取兩個(gè)數(shù)相加，可以得到多少個(gè)不同的和？（）從，，，中任取兩個(gè)數(shù)相除，可以得到多少個(gè)不同的商？（）個(gè)同學(xué)畢業(yè)后互相通了一次信，一共寫(xiě)了多少封信？（）個(gè)同學(xué)畢業(yè)后見(jiàn)面時(shí)，互相握了一次手，共握了多少次手？【答案】（）組合問(wèn)題，可以得到

個(gè)不同的和；

方法二：間接法抽出張中至少?gòu)埗泉?jiǎng)的抽法的種數(shù)，就是從張中抽張的抽法種數(shù)減張都是非二等獎(jiǎng)的抽法的種數(shù)，即總結(jié)升華：．組合問(wèn)題的解法，既要注意兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，還要恰當(dāng)?shù)剡x擇直接法或間接法．的問(wèn)題可以從正面用直接法來(lái)計(jì)算，也可以從反面用間接法計(jì)算。舉一反三：【變式】在件產(chǎn)品中，件合格品件次品．從這件產(chǎn)品中任意抽出件．（）一共有多少種不同的抽法？（）抽出的中恰好件是次品的抽法有多少種？（）抽出的中至少件是次品的抽法有多少種？【答案】（）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從件產(chǎn)品中取出件的組合數(shù)，為（）第一步從次品中抽件次品的抽法有

種，第二步從件合格品中抽出件合格品的抽法有因此抽出件中格是次品的抽法的種數(shù)是（）方法一：間接法

種．抽出件中至少件是次品的抽法的種數(shù)，就是從件中抽件的抽法種數(shù)減件都是合格品的抽法的種數(shù)，即方法二：直接法分兩類(lèi)：①恰有一件次品；②恰有兩件次品故共有（種【變式】某乒乓球隊(duì)有名隊(duì)員，其名是種子選手，現(xiàn)要挑選名隊(duì)員參加比賽，種子選手有且僅有一個(gè)在內(nèi)，那么不同的選法共有多少種？【答案】；分兩步完成：第一步，選種子選手有第二步，選非種子選手有

種，種，

共有

種?！咀兪健坑泄と?，其人只會(huì)當(dāng)鉗工，人只會(huì)當(dāng)車(chē)工，還有甲、乙人既會(huì)當(dāng)鉗工又會(huì)當(dāng)車(chē)工．現(xiàn)在要從人中選人當(dāng)鉗工，人當(dāng)車(chē)工，一共有多少種選法？【答案】分為以下三類(lèi)完成：第一類(lèi)：甲、乙都沒(méi)有被選在內(nèi)的方法有第二類(lèi)：甲、乙中恰有一人被選在內(nèi)

＝種．①甲、乙中有一人被選當(dāng)鉗工的方法有②甲、乙中有一人被選當(dāng)車(chē)工的方法有第三類(lèi)：甲、乙都被選在內(nèi)．

種．種．①甲、乙都被選當(dāng)鉗工的方法有②甲、乙都被選當(dāng)車(chē)工的方法有

種．種．③甲、乙中有一人當(dāng)鉗工，另一人當(dāng)車(chē)工的方法有所以一共有：類(lèi)型三：配問(wèn)題

種．種選法．教育局個(gè)夏令營(yíng)指標(biāo)分配所不同的學(xué)校，要求每校至少分個(gè)名額，共有多少種不同的分配結(jié)果？思路點(diǎn)撥：夏令營(yíng)指標(biāo)是相同的元素，分配的不同方法是指各校獲得的數(shù)量不同解析：方法一：由各校至少分到個(gè)名額，可先給每個(gè)名額，只需考慮余下個(gè)名額的分配方法有多少種不同情況。第一類(lèi)：將個(gè)余額分所不同的學(xué)校，共有第二類(lèi)：將個(gè)余額分所不同的學(xué)校，共有

種方法；種方法；第三類(lèi)：將個(gè)余額分所學(xué)校，共有

種方法，不同分配結(jié)果的總數(shù)為方法二：可將個(gè)名額分成非零份，學(xué)校看成是放置份名額的位置。個(gè)名額排一列，共有個(gè)空檔，去掉兩端的空檔，還有個(gè)空檔，從中任取個(gè)空檔，則個(gè)名額被取到的空檔分成份，每一份對(duì)應(yīng)地放在學(xué)校的位置上，即不同分配結(jié)果共有舉一反三：

【變式】電梯位乘客，層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法？【答案】步完成：第一步，先把位乘客分人，人，一人，一人四組，有

種；第二步，選擇中的四層下樓有【變式】有本不同的書(shū)按下列分配方式分配，問(wèn)各有多少種不同的分配方式？（）分成、本本三組分組）（）分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人本，一個(gè)人本，一個(gè)本；（）分成每組都是的三個(gè)組組）（）分給甲、乙、丙三人，每個(gè)人本?！敬鸢浮浚ǎ┫冗x出的方法有

種，再由剩下本中選的方法有

種，剩下本為一組有

種，依分步計(jì)數(shù)原理得分組的方法有

種。（）把上面分好的三組分給甲、乙、丙三人有

種。（）選為一組有

種，剩下本再本為另一組有

種，最后為一組有

種，又每

種分法只能算一種，所以不同的分法有（種（重復(fù)情況列舉如下：本書(shū)為、、、f以下種分法只能算一種：//；//；////；//；//（）把上面分好的三組分給甲、乙、丙三人有（或甲先選有種，接著乙選有，最后丙選有

種。共

種。

種經(jīng)典題透類(lèi)型：排數(shù)公．解不等式：．思路點(diǎn)撥：依據(jù)排列數(shù)公式

化簡(jiǎn)后解答。

解析：不等式等價(jià)于，因?yàn)樗裕?jiǎn)得：，解得

或，又∵，且，所以，原不等式的解集為總結(jié)升華：

．．當(dāng)

均為已知時(shí)，公式

常用來(lái)求值；公式

常用來(lái)證明或化簡(jiǎn)；．解含排列數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意排列數(shù)

中，

且

這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍。舉一反三：【變式】計(jì)算：（）【答案】（）＝＝；（）＝＝；（）＝＝【變式】（）若，則

，

（）若【答案】（），（）若

用排列數(shù)符號(hào)表示為．；則．

【變式】計(jì)算：

；

．【答案】（）原式

；（）原式．【變式】解方程：

．【答案】排列數(shù)公式得：，∵，∴，即，解得

或，∵，且，∴原方程的解為．【變式】求證：證明：類(lèi)型二：用．（）有不同的書(shū)，從中本送名同學(xué)，每人各本，共有多少種不同的送法？（）有不同的書(shū)，要本送同學(xué)，每人各本，共有多少種不同的送法？解析：（）從不同的書(shū)中選本分別送名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于個(gè)元素中任個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是：，

所以，共有種不同的送法（）由于有不同的書(shū)，送給每個(gè)同學(xué)本書(shū)都種不同的選購(gòu)方法，因此送名同學(xué)，每人本書(shū)的不同方法種數(shù)是：所以，共有種不同的送法

，總結(jié)升華：例題兩小題的區(qū)別在于元素是否可以重復(fù)，第）小題是不同的書(shū)中選出分送位同學(xué)，各人得到的書(shū)不同，其中的元素不能重復(fù)，屬于求排列數(shù)問(wèn)題；而第（）小題中，給每人的書(shū)均可以從種不同的書(shū)中任種，其中的元素可以重復(fù)，只能用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算。舉一反三：【變式】從【答案】；

這五個(gè)數(shù)字中，任取個(gè)數(shù)字組成分?jǐn)?shù)，不同值的分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？問(wèn)題可以看作個(gè)元素中任個(gè)元素的一個(gè)排列

；【變式】站成一排照相，共有多少種不同的站法？【答案】問(wèn)題可以看作個(gè)元素的全排列；【變式】某年全國(guó)足球甲級(jí)（A組）聯(lián)賽共有隊(duì)參加，每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主客場(chǎng)分別比次，共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【答案】問(wèn)題可以看作元素中任個(gè)元素的一個(gè)排列

【變式】同學(xué)站成兩排（后種不同的排法？【答案】；方法一：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：；方法二：?jiǎn)栴}可以看作個(gè)元素的全排列?！咀兪健磕承盘?hào)兵用紅、黃、旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任意面面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？【答案】；分：第一類(lèi)面旗表示的信號(hào)有

種；第二類(lèi)用面旗表示的信號(hào)有第三類(lèi)用面旗表示的信號(hào)有

種；種，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，所求的信號(hào)種數(shù)是：。類(lèi)型三：限制條件的列應(yīng)用題．有隊(duì)員排成一列進(jìn)行操練，其中隊(duì)員甲不能站排頭，也不能站排尾，有多少種不同的站法？思路點(diǎn)撥：“隊(duì)員甲不能站排頭，也不能站排尾”中可以?xún)?yōu)先考慮特殊的元素：隊(duì)員甲，也可以?xún)?yōu)先考慮特殊的位置：頭與尾，還可以從事件的對(duì)立面解決。解法一：殊元素優(yōu)先考慮

第一步：要使甲不在排頭和排尾，可先讓甲在中間個(gè)位置中任位置，有

種站法；第二步：對(duì)其人在另位置上作全排列有根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有站法解法二：殊位置優(yōu)先考慮

種站法。（種第一步：由于甲不站排頭和排這兩個(gè)位置只能在其余個(gè)人人站，有

種站法；第二步：對(duì)于中間的四個(gè)位置個(gè)人有根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有站法解法三：立面

種站法．（種若對(duì)甲沒(méi)有限制條件，共有

種站法，其中包含三種情況：甲在排頭；甲在排尾；甲不排頭，也不排尾．對(duì)立面：甲在排頭有

種站法；甲在排尾有

種站法，這都不符合題設(shè)條件，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)即得所求的站法數(shù)，共有：

（種）總結(jié)升華：一般地，對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題，可以有兩種不同的計(jì)算方法：．直接計(jì)算法：排列問(wèn)題的限制條件一般表現(xiàn)為：某些元素不能在某個(gè)（或某些）位置、某個(gè)（或某些）位置只能放某些元素，因此進(jìn)行算法設(shè)計(jì)時(shí)，常優(yōu)先處理這些特殊要求。可以?xún)?yōu)先處理特殊元素或優(yōu)先處理特殊位置，這些統(tǒng)稱(chēng)為“特殊元素（位置）優(yōu)先考慮法法一就是先處理特殊“隊(duì)員甲則是先處理特殊位置“排頭．間接計(jì)算法：先不考慮限制條件，把所有的排列種數(shù)算出，再?gòu)闹袦p去全部不符合條件的排列數(shù)，間接得出符合條件的排列種數(shù)．這種方法也稱(chēng)為“去雜法，特別注意要不重復(fù)，不遺漏（去盡對(duì)于“在”與“不在”的問(wèn)題，常常使用“直接法”或“排除法對(duì)某些特殊元素可以?xún)?yōu)先考慮。舉一反三：【變式】同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？【答案】甲站的位置已經(jīng)固定，余下的個(gè)元素有排法

，故共有方法種?！咀兪健客瑢W(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？【答案】分二步完成：第一步甲、乙站在兩端有

種；第二步余下的名同學(xué)進(jìn)行全排列有

種，

所以，共有

種方法?！咀兪健客瑢W(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？【答案】；方法一：直接法第一步從（除去甲、乙）其余的位同學(xué)中位同學(xué)站在排頭和排尾有

種；第二步從余下的位同學(xué)中位進(jìn)行排列（全排列）有

種，所以共有方法二：排除法若甲站在排頭有若乙站在排尾有

＝方法。種方法；種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有

種方法，所以，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有－＋種。．個(gè)人站成一排：（）其中甲、乙兩人必須相鄰有多少種不同的排法？（）其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？解析：（）；分二步完成：第一步將甲、乙二人“捆綁”在一起，有

種“捆綁”方法；第二步的甲、乙視為一個(gè)元素與其他人有

種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種排法。（）；方法一：分二步完成：種排法，第一步將甲、乙兩人外的其余人有第二步將甲、乙排在已人排列的空檔位置，有所以共有種排法；種，甲、乙相鄰的排法有方法二：人的總排法有故共有種。

種排法，

種，

總結(jié)升華：一般地，對(duì)于相鄰問(wèn)題的排列應(yīng)用題，多用捆綁法；對(duì)于不相鄰問(wèn)題的排列應(yīng)用題，常用插空法。舉一反三：【變式】求下列不同的排法種數(shù)：男女排成一排女相鄰；男女排成一排女不能相鄰；男女排成一排女都不能相鄰【答案】綁法：女“捆綁”在一起看成一組，男共組，組外排列為，女生組內(nèi)排列為，因此排法種數(shù)為

一：從總體排法數(shù)中除女相鄰的排法，即不相鄰的排法法二：插空法

種男先排實(shí)位，再個(gè)空位中，共有空法：男先排實(shí)位，再個(gè)空位中，共有類(lèi)型四：字問(wèn)題的排應(yīng)用題

種排法種排法．用這個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？思路點(diǎn)撥：由于組成的是三位數(shù)，其百位數(shù)字就不能，這就是題中內(nèi)隱的限制條件，可以按照特殊元素（位置）分類(lèi)（分布）解決，也可以從事件的對(duì)立面解決。解法一：分步計(jì)數(shù)原理所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：。解法二：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理符合條件的三位數(shù)可以分成三類(lèi)：每一位數(shù)字都不是的三位數(shù)有

個(gè)，個(gè)位數(shù)字是的三位數(shù)有十位數(shù)字是的三位數(shù)有

個(gè)，個(gè)，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：．

解法三：除法從這個(gè)數(shù)字中任個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為，其中以為排頭的排列數(shù)為，因此符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是

總結(jié)升華：．解決排列應(yīng)用題，常用的思考方法有直接法和間接法。直