實用主義公共通識類高等數(shù)學(xué)

1設(shè)有一平面薄板(不計其厚度)占有xOy面上的閉區(qū)域D薄板上分布有密度為(x,y)的電荷且(x,y)D上連續(xù)試用二重積分表達(dá)該板上全部電荷Q(x,y)dD2I1(x2y2)3d其中D1{(xy)|x1I2(x2y2)3d其中D2{(xy)|0x1I1表示由曲面z(x2y2)3與平面x1y2以及z0圍成的立體V的體積I2表示由曲面z(x2y2)3與平面x0x1y0y2以及z0圍成的立體V1的體積顯然立體V關(guān)于yOz面、xOz面對稱因此V1是V位于第一卦限中的部分故V4V1即3利用二重積分的定義證明dD

證明由二重積分的定義可知nf(x,y)dlimfn 0f(xy)1,f()1,ndlimilimn 0 kf(x,y)dkf(x, 證明 0 0klimf(,)kf(x,y)d 0 D1和D2分別任意分為n1和n2個小閉區(qū)域i和i n1n2n, i2令各i和i的直徑中最大值分別為1和2,又max(12), 0 10i 20i 4根據(jù)二重積分的性質(zhì)比較下列積分大小(xy)2d與D

(xD

D為D{(xy)|0x0yxy1}因此當(dāng)(xy)D時有(xy)3(xy)2從(xy)3d(xy)2d (xy)2d與(xy)3d其中積分區(qū)域D是由圓周 所圍成解區(qū)域D如圖所示由于D位于直線xy1的上方所以當(dāng)(xy)D時從而(xy)3(xy)2(xy)2d(xy)3d ln(xy)d與(xy)3dD是三角形閉區(qū)域三角頂點分別為(1 (11),(2D如圖所示顯然當(dāng)(xy)D時1xy20ln(xy)1因 [ln(xy)]2dln(xy)d ln(xy)d與(xy)3dD{(xy)|3x5 D如圖所示Dxye的上方故當(dāng)(xy)D時因 ln(xy)d[ln(xy)]2d 5利用二重積分的性質(zhì)估計下列積分的值Ixy(xy)dD{(xy)|0x1DD0x10y10xy1,于 0dxy(xy)d2d 0xy(xy)d2DIsin2xsin2yd,D{(xy)|0xD0dsin2xsin2yd1d 0sin2xsin2yd2DI(xy1)d,D{(xy)|0x1DD上0x10y21xy14d(xy1)d4d 2(xy1)d8DI(x24y29)d,其中D{(xy)|x2y2DD上0x2y24于 9d(x24y29)d25d 922(x24y29)d2522D 36(x24y29)d100D1計算下列二重積分(1)(x2y2)dD{(xy)||x|1D

(x2y2)d (x2y2)dy[x2y1y3]1 D

1(2x21)dx[2x32x]18 (3x2y)dDxy2所圍成的閉區(qū)域D (3x2y)d2dx2x(3x2y)dy2[3xyy2 D2(42x2x2)dx[4xx22x3]220 D(x33x2yy2)dD{(xy)|0x1D1解 1 3(x3xyy

dy

3xyy)dx xyyx] D1

00 (yy)dy[ ]1 0

4 xcos(xy)dD是頂點分別為(00)(0)和()D域 xcos(xD

0xdx0cos(xy)dy0x[sin(xy)]0x(sin2xsinx)dxxd(1cos2xcos x(1cos2xcosx)|(1cos2xcosx)dx3 0 2畫出積分區(qū)域并計算下列二重積分xyd其中D是由兩條拋物線y D

解積分區(qū)域圖如并且D{(xy)|0x1x2y}于 12 12 2 xyddx2xydyx[y2]x2dx(x4 x)dx D

0 xy2d其中D是由圓周x2y24及y軸所圍成的右半閉區(qū)域D4解積分區(qū)域圖如并且D{(xy)|2y20x }4xy2d2 xy2dx2[1x2

4y2 D

2 2(2y21y4)dy[2y31y5]264 exydD{(xy)|Dexyd0exdxx1eydy D

0ex[ey]x1dx

0(e2x1e1)dx

yx1dy e[e

(x2y2x)dDy2yxy2x軸所圍成的閉區(qū)域D2D{(xy)|0y21yxy}23 21 123(xD

dyy(x2

xyx x]y222(19y33y2)dy130 3如果二重積分f(xy)dxdy的被積函數(shù)f(xy)是兩個函數(shù)f1(x)及f2(y)的乘積D即f(xy)f1(x)f2(y)積分區(qū)域D{(xy)|axbcyd}證明這個二重積分等于兩個單積分的乘積即 f1(x)f2(y)dxdy[

bf1(x)f2(y)dxdyadxcf1(x)f2(y)dy[f1(x)f2(y baD cf1(x)f2(y)dyf1(x)cf2(y)dy

d由于cf2(y)dy的值是一常數(shù)因而可提到積分號的外面d f1(x)f2(y)dxdy[

D的兩個二次積分)D是解積分區(qū)域如圖所示D{(xy)|0x4,xy }D{(xy)|0y4,1y2xy4 2 4所以I0 f(x,y)dy或I0dyy2f(x,y)dx4解積分區(qū)域如圖所示或D{(xy)|0yrr所 I f(x,y)dy或I r x解積分區(qū)域如圖所示xD{(xy)|1y1,1x2{(xy)|1y2,yx2 所 I1dx1f(x,y)dy或I1dy1f(x,y)dx1dyyf(x, 環(huán)形閉區(qū)域{(xy)|解如圖所示用直線x1和x1可將積分區(qū)域D分成四部分分別記做D1D2D3D4 f(x, f11 1dx f(x,y)dy2 f(x,1 用直線y1和y1可將積分區(qū)域D分成四部分分別記做D1D2D3D如圖所示 f(x,y)dx1dy f2 2 f(x

f(x, 5f(xy)D上連續(xù)Dyxyaxb(b>a)圍成的閉區(qū)域 D{(xy)|axbayx}D{(xy)|ayb 于 f(x,y)d

f(xy)dy

因 adxaf(x,y)dyadyyf(x,y)dx6改換下列二次積分的積分次序y0dy0f(x,y)dx因為積分區(qū)域還可以表示為D{(xy)|0x1xy1}所以 20dyy2f(x,y)dxD{(xy)|0y2y2x2y}如圖

xy2

} 20dyy2f(x,y)dx02

1 1解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D{(x,y)|0y1, x1y2}如圖因為積分區(qū)域還可以表示為D{(x,y)|1x1,0y1x2} f(x, 2x21 f(x2x2解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D{(x,y)|1x2,2xy 2xx2}如圖因為積分區(qū)域還可以表示為D{(x,y)|0y1,2yx11y2}所以 ln f(x,y)dy因為積分區(qū)域還可以表示為D{(xy)|0y1eyxe}所以 f(x,y)dy0dyeyf(x, 20dxsinxf(xy)dy(22D{(x,y)|1y0,2arcsinyx{(x,y)|0y1,arcsinyxarcsin 所

f(x,y)dx 7設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線xy2yx和x軸所圍成(xy)x2y2求該薄片的質(zhì)量M(x,y)d(x2y2)d12y(x2 1 27 [(20

2y3y]dy38x0y0x1y1z0截得的立體的體積 V (62x3y)dxdydx(62x D 32 1

]dx 0

2x)dx29求由平面x0y0xy1所圍成的柱體被平面z0及拋物面x2y26z截得xOy面上的投影區(qū)域為D{(xy)|0x10y1x}所求立體的體積為以曲面z6x2y2為頂以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積即 V (6xyD

0

y)dy610求由曲面zx22y2及z62x2y2所圍成的立體的體積z62x2z62x2

消去z得x2+2y2=62x2y2即x2y2=2故立體在xOy的投影區(qū)域為x2y22因為積分區(qū)域關(guān)于x及y軸均對稱并且被積函數(shù)關(guān)于xy都是偶函數(shù)所以V[(62x2y2)(x2D

(63x2D

2

y2)dy

0

(2x2)3dx6211畫出積分區(qū)域把積分f(xy)dxdy表示為極坐標(biāo)形式的二次積分2D{(xy)| 2daf(cos,sin)d {(xD如圖D{(,)|02cos 22

{(xy)|a2x2y2b2} 2dbf(cos,sin)d {(xy)|0y1xD如圖D{(,)|0

2

1

2dcossinf(cos,sin)d 12化下列二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分 D如圖所示 所 40

f(cos,sin)d24

2

3xf(x2y2)dyD如圖所示 所 2

3xf(x2y2)dyf(x2y2)df 34

f()d1 1D如圖所示D{(,)|0 2cos所

11211

D如圖所示4所 4 f(cos,sin4 (xy)dy D如圖所示D{(,)|002acos2

y2)dy2D

2acos2

4342

2

x2y2dy D如圖所示D{(,)|00asec4 adx

D

d 4sec3d[2ln(2 3 2 dx2(xy)2dy D如圖所示D{(,)|00sectan4 2 dx2(xy)2dy 2 D 2d4sectand a (x2y2)dx D如圖所示D{(,)|00a2a (x

a42 2D14利用極坐標(biāo)計算下列各題Dex2y2d，其中D是由圓周x2y24所圍成的閉區(qū)域D{()|0202}所以Dex2y2de2 ln(1x2y2)d，其中D是由圓周x2y21D內(nèi)的閉區(qū)域2D

2dln(1)d (2ln21) 2

d其中D是由圓周xy4xy1及直線y0yx一象限內(nèi)的閉區(qū)域4yy

4dd4dd 15選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算下列各題xxx 2 x y2dxdy1xdx1y2dy1(xx)dx4DD

1x2y2d 其中D是由圓周x2y21內(nèi)的閉區(qū)域

d

dd

11 2d 1x

0 (x2y2)d其中D是由直線yxyxayay3a(a>0)所圍成的閉區(qū)域D(x2y2)d DDD

x2y2d其中D是圓環(huán)形閉區(qū)域{(xy)|x2y2d2dbr2dr2(b3a3) D16設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由螺線2上一段弧02

)與直線2所圍成它的面密度為(xy)x2y2求這薄片的質(zhì)量222 D R2x2y2dxdy d VD

18計算以xOy平面上圓域x2y2ax圍成的閉區(qū)域為底而以曲面zx2y2為頂xOy面上的投影區(qū)域為D{(xD{(,)|0acos

a4 V (xy)dxdy2

d42cosd

a

x2y2 1計算下列二重積分(1)(x2y2)dD{(xy)||x|1D

(x2y2)d (x2y2)dy[x2y1y3]1 D

1(2x21)dx[2x32x]18 (3x2y)dDxy2所圍成的閉區(qū)域D (3x2y)d2dx2x(3x2y)dy2[3xyy2 D2(42x2x2)dx[4xx22x3]220 D(x33x2yy2)dD{(xy)|0x1D1解 1 3(x3xyy

dy

3xyy)dx xyyx] D1

00 (yy)dy[ ]1 0

4 xcos(xy)dD是頂點分別為(00)(0)和()D域 xcos(xD

0xdx0cos(xy)dy0x[sin(xy)]0x(sin2xsinx)dxxd(1cos2xcos x(1cos2xcosx)|(1cos2xcosx)dx3 0 2畫出積分區(qū)域并計算下列二重積分xyd其中D是由兩條拋物線y D

解積分區(qū)域圖如并且D{(xy)|0x1x2y}于 12 12 2 xyddx2xydyx[y2]x2dx(x4 x)dx D

0 xy2d其中D是由圓周x2y24及y軸所圍成的右半閉區(qū)域D4解積分區(qū)域圖如并且D{(xy)|2y20x }4xy2d2 xy2dx2[1x2

4y2 D

2 2(2y21y4)dy[2y31y5]264 exydD{(xy)|Dexyd0exdxx1eydy D

0ex[ey]x1dx

0(e2x1e1)dx

yx1dy e[e

(x2y2x)dDy2yxy2x軸所圍成的閉區(qū)域D2D{(xy)|0y21yxy}23 21 123(xD

dyy(x2

xyx x]y222(19y33y2)dy130 3如果二重積分f(xy)dxdy的被積函數(shù)f(xy)是兩個函數(shù)f1(x)及f2(y)的乘積D即f(xy)f1(x)f2(y)積分區(qū)域D{(xy)|axbcyd}證明這個二重積分等于兩個單積分的乘積即 f1(x)f2(y)dxdy[

bf1(x)f2(y)dxdyadxcf1(x)f2(y)dy[f1(x)f2(y baD cf1(x)f2(y)dyf1(x)cf2(y)dy

d由于cf2(y)dy的值是一常數(shù)因而可提到積分號的外面d f1(x)f2(y)dxdy[

D的兩個二次積分)D是解積分區(qū)域如圖所示D{(xy)|0x4,xy }D{(xy)|0y4,1y2xy4 2 4所以I0 f(x,y)dy或I0dyy2f(x,y)dx4解積分區(qū)域如圖所示或D{(xy)|0yrr所 I f(x,y)dy或I r x解積分區(qū)域如圖所示xD{(xy)|1y1,1x2{(xy)|1y2,yx2 所 I1dx1f(x,y)dy或I1dy1f(x,y)dx1dyyf(x, 環(huán)形閉區(qū)域{(xy)|解如圖所示用直線x1和x1可將積分區(qū)域D分成四部分分別記做D1D2D3D4 f(x, f11 1dx f(x,y)dy2 f(x,1 用直線y1和y1可將積分區(qū)域D分成四部分分別記做D1D2D3D如圖所示 f(x,y)dx1dy f2 2 f(x

f(x, 5f(xy)D上連續(xù)Dyxyaxb(b>a)圍成的閉區(qū)域 D{(xy)|axbayx}D{(xy)|ayb 于 f(x,y)d

f(xy)dy

因 adxaf(x,y)dyadyyf(x,y)dx6改換下列二次積分的積分次序y0dy0f(x,y)dx因為積分區(qū)域還可以表示為D{(xy)|0x1xy1}所以 20dyy2f(x,y)dxD{(xy)|0y2y2x2y}如圖

xy2

} 20dyy2f(x,y)dx02

1 1解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D{(x,y)|0y1, x1y2}如圖因為積分區(qū)域還可以表示為D{(x,y)|1x1,0y1x2} f(x, 2x21 f(x2x2解由根據(jù)積分限可得積分區(qū)域D{(x,y)|1x2,2xy 2xx2}如圖因為積分區(qū)域還可以表示為D{(x,y)|0y1,2yx11y2}所以 ln f(x,y)dy因為積分區(qū)域還可以表示為D{(xy)|0y1eyxe}所以 f(x,y)dy0dyeyf(x, 20dxsinxf(xy)dy(22D{(x,y)|1y0,2arcsinyx{(x,y)|0y1,arcsinyxarcsin 所

f(x,y)dx 7設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線xy2yx和x軸所圍成(xy)x2y2求該薄片的質(zhì)量M(x,y)d(x2y2)d12y(x2 1 27 [(20

2y3y]dy38x0y0x1y1z0截得的立體的體積 V (62x3y)dxdydx(62x D 32 1

]dx 0

2x)dx29求由平面x0y0xy1所圍成的柱體被平面z0及拋物面x2y26z截得xOy面上的投影區(qū)域為D{(xy)|0x10y1x}所求立體的體積為以曲面z6x2y2為頂以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積即 V (6xyD

0

y)dy610求由曲面zx22y2及z62x2y2所圍成的立體的體積z62x2z62x2

消去z得x2+2y2=62x2y2即x2y2=2故立體在xOy的投影區(qū)域為x2y22因為積分區(qū)域關(guān)于x及y軸均對稱并且被積函數(shù)關(guān)于xy都是偶函數(shù)所以V[(62x2y2)(x2D

(63x2D

2

y2)dy

0

(2x2)3dx6211畫出積分區(qū)域把積分f(xy)dxdy表示為極坐標(biāo)形式的二次積分2D{(xy)| 2daf(cos,sin)d {(xD如圖D{(,)|02cos 22

{(xy)|a2x2y2b2} 2dbf(cos,sin)d {(xy)|0y1xD如圖D{(,)|0

2

1

2dcossinf(cos,sin)d 12化下列二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分 D如圖所示 所 40

f(cos,sin)d24

2

3xf(x2y2)dyD如圖所示 所 2

3xf(x2y2)dyf(x2y2)df 34

f()d1 1D如圖所示D{(,)|0 2cos所

11211

D如圖所示4所 4 f(cos,sin4 (xy)dy D如圖所示D{(,)|002acos2

y2)dy2D

2acos2

4342

2

x2y2dy D如圖所示D{(,)|00asec4 adx

D

d 4sec3d[2ln(2 3 2 dx2(xy)2dy D如圖所示D{(,)|00sectan4 2 dx2(xy)2dy 2 D 2d4sectand a (x2y2)dx D如圖所示D{(,)|00a2a (x

a42 2D14利用極坐標(biāo)計算下列各題Dex2y2d，其中D是由圓周x2y24所圍成的閉區(qū)域D{()|0202}所以Dex2y2de2 ln(1x2y2)d，其中D是由圓周x2y21D內(nèi)的閉區(qū)域2D

2dln(1)d (2ln21) 2

d其中D是由圓周xy4xy1及直線y0yx一象限內(nèi)的閉區(qū)域4yy

4dd4dd 15選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算下列各題xxx 2 x y2dxdy1xdx1y2dy1(xx)dx4DD

1x2y2d 其中D是由圓周x2y21內(nèi)的閉區(qū)域

d

dd

11 2d 1x

0 (x2y2)d其中D是由直線yxyxayay3a(a>0)所圍成的閉區(qū)域D(x2y2)d DDD

x2y2d其中D是圓環(huán)形閉區(qū)域{(xy)|x2y2d2dbr2dr2(b3a3) D16設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由螺線2上一段弧02

)與直線2所圍成它的面密度為(xy)x2y2求這薄片的質(zhì)量222 D R2x2y2dxdy d VD

18計算以xOy平面上圓域x2y2ax圍成的閉區(qū)域為底而以曲面zx2y2為頂xOy面上的投影區(qū)域為D{(xD{(,)|0acos

a4 V (xy)dxdy2

d42cosd

a

x2y2

解積分區(qū)域可表示為 于 dy0f(x,y,z)dz解積分區(qū)域可表示為 y1x2,1x 1于 I 1

{(x,y,z)|x22y2z2x2, y1x2,1x 于 I

提示曲面zx22y2與z2x2的交線在xOy面上的投影曲線為czxy(c0)x2y21z0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域 {(x,y,z)|0zxy,0y ba2 于 I dx dycf(x,y,z)dz 2設(shè)有一物體{(xyz)|0x10y10z1}在點

1

2

2

dx (x1)dx

(x

023f(xyz)dxdydz的被積函數(shù)f(xyz)是三個函數(shù)f1(x)f2(y)f3(z)的乘積即f(xyz)f1(x)f2(y)f3(z)積分區(qū)域{(xyz)|axbcydlzm}證明這個三重積分等于三個單積分的乘積即 f1(x)f2(y)f3(z)dxdydz

f3(z)dz f1(xf2(yf3(z)dxdydzb[d(mf1(xf2(ya b

[(f1(x) f3(z)dz)dy]dx[(f1(x) a

ma[(lf3(z)dz)(cf2(y)dy)f1(x)]dx(lf3(z)dz)(cf2(y)dy)ambf

df

f(z)dza c 4計算xy2z3dxdydz其中zxyyxx1z0成的閉區(qū)域{(xyz)|0zxy0yx于 xy2z3dxdydz

xyz3dz

2z4

11

y 1

y ]0 0xx ydy

xdx 4 28 5計算 其中為平面x0y0z0xyz1所圍成的(1xy面體{(xyz)|0z1xy0y1x于

11

1[1

1]dy1

3

02(1x)8提示

1(ln25) 1dx

(1xy

]1xydy

[

1 2(1xyz)2 1

1 31

dx

x]2(1xy)0

8[1ln(1x)3x1 1(ln25) 6計算xyzdxdydz其中為球面x2y2z21一卦限內(nèi)的閉區(qū)域{(x,y,z)|0z1x2y2,0y1x2,0x11x2 于

1xy(1x2y2)dy11x(1x2)2dx 7計算xzdxdydz其中是由平面z0zyy1以及拋物柱面yx2成的閉區(qū)域{(xyz)|0zyx2y1于 xzdxdydz 1xdx11

x268計算zdxdydz其中是由錐面z 圍成的閉區(qū)域0zh時過(00z)作平行于xOy面的平面截得立體Dx2y2Rz)2故DRz面積為R2z2 zdxdydzhzdzdxdyR2hz3dzR2h20

9利用柱面坐標(biāo)計算下列三重積分

2020122

zdz

11(22于 zdv0d0

01(235)d70 (x2y2)dv其中是由曲面x2y22z及平面z2所圍成的閉區(qū)域解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為2z2 (x2

222dddz2d23d 2

2d2(2315)d28d16 0 10利用球面坐標(biāo)計算下列三重積分解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為于 2dsind1r4dr4 zdv其中閉區(qū)域由不等式x2y2(za)2a2x2y2z2所確定解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為02,0,0r2acos4于 4 4sin

(2acos)4

8 4sincosd

a 11選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算下列三重積分xydv其中為柱面x2y21及平面z1z0x0y0所圍成的在第一2于

1 ddz 別解xydv ydy1dz

ydy(xx3

0 [x2x4]11 8

02,0,0rcos2

dv2

dcosrr2

2

cosd10解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為2于 (x2y2)dv2d23d52 2 (x2y2)dv定02,0,arA2

Az0于 (x2y2)dv(r2sin2cos2r2sin2sin2)r2

2

A rdr

a) 12利用三重積分計算下列由曲面所圍成的立體的體積

02,0,0r2acos4 于 44

2acos 8 acossinda0 及 于 V dv

dz2123)d 0 0

554于 422(522)d2(554) 13R的球體在其上任意一點的密度的大小與這點到球心的距離成正比求這球體的質(zhì)量x2y2解密度函數(shù)為(x,x2y2 于 M x2y2z2dv2dsindRkrr2drkR

解積分區(qū)域可表示為 于 dy0f(x,y,z)dz解積分區(qū)域可表示為 y1x2,1x 1于 I 1

{(x,y,z)|x22y2z2x2, y1x2,1x 于 I

提示曲面zx22y2與z2x2的交線在xOy面上的投影曲線為czxy(c0)x2y21z0所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域 {(x,y,z)|0zxy,0y ba2 于 I dx dycf(x,y,z)dz 2設(shè)有一物體{(xyz)|0x10y10z1}在點

1

2

2

dx (x1)dx

(x

023f(xyz)dxdydz的被積函數(shù)f(xyz)是三個函數(shù)f1(x)f2(y)f3(z)的乘積即f(xyz)f1(x)f2(y)f3(z)積分區(qū)域{(xyz)|axbcydlzm}證明這個三重積分等于三個單積分的乘積即 f1(x)f2(y)f3(z)dxdydz

f3(z)dz f1(xf2(yf3(z)dxdydzb[d(mf1(xf2(ya b

[(f1(x) f3(z)dz)dy]dx[(f1(x) a

ma[(lf3(z)dz)(cf2(y)dy)f1(x)]dx(lf3(z)dz)(cf2(y)dy)ambf

df

f(z)dza c 4計算xy2z3dxdydz其中zxyyxx1z0成的閉區(qū)域{(xyz)|0zxy0yx于 xy2z3dxdydz

xyz3dz

2z4

11

y 1

y ]0 0xx ydy

xdx 4 28 5計算 其中為平面x0y0z0xyz1所圍成的(1xy面體{(xyz)|0z1xy0y1x于

11

1[1

1]dy1

3

02(1x)8提示

1(ln25) 1dx

(1xy

]1xydy

[

1 2(1xyz)2 1

1 31

dx

x]2(1xy)0

8[1ln(1x)3x1 1(ln25) 6計算xyzdxdydz其中為球面x2y2z21一卦限內(nèi)的閉區(qū)域{(x,y,z)|0z1x2y2,0y1x2,0x11x2 于

1xy(1x2y2)dy11x(1x2)2dx 7計算xzdxdydz其中是由平面z0zyy1以及拋物柱面yx2成的閉區(qū)域{(xyz)|0zyx2y1于 xzdxdydz 1xdx11

x268計算zdxdydz其中是由錐面z 圍成的閉區(qū)域0zh時過(00z)作平行于xOy面的平面截得立體Dx2y2Rz)2故DRz面積為R2z2 zdxdydzhzdzdxdyR2hz3dzR2h20

9利用柱面坐標(biāo)計算下列三重積分

2020122

zdz

11(22于 zdv0d0

01(235)d70 (x2y2)dv其中是由曲面x2y22z及平面z2所圍成的閉區(qū)域解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為2z2 (x2

222dddz2d23d 2

2d2(2315)d28d16 0 10利用球面坐標(biāo)計算下列三重積分解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為于 2dsind1r4dr4 zdv其中閉區(qū)域由不等式x2y2(za)2a2x2y2z2所確定解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為02,0,0r2acos4于 44sin

(2acos)4

8 4sincosd

a 11選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計算下列三重積分xydv其中為柱面x2y21及平面z1z0x0y0所圍成的在第一2于

1 ddz 別解xydv ydy1dz

ydy(xx3

0 [x2x4]11 8

02,0,0rcos2

dv2

dcosrr2

2

cosd10解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域可表示為2于 (x2y2)dv2d23d52 2 (x2y2)dv定02,0,arA2

Az0于 (x2y2)dv(r2sin2cos2r2sin2sin2)r2

2

A rdr

a) 12利用三重積分計算下列由曲面所圍成的立體的體積

02,0,0r2acos4 于 44

2acos 8 acossinda0 及 于 V dv

dz2123)d 0 0

554于 422(522)d2(554) 13R的球體在其上任意一點的密度的大小與這點到球心的距離成正比求這球體的質(zhì)量x2y2解密度函數(shù)為(x,x2y2 于 M x2y2z2dv2dsindRkrr2drkR 位于柱面內(nèi)的部分球面有兩塊其面積是相同的yy 于是A 1(z)2(z)2dxdy x2y2 1 d

4a2

a2

4a2 x2y2求錐面 x2yx2x2y

x2y 得zx2y

z yy于是A 1(z)2(z)2dxdy dxdy22(x1)2y2 (x1)2y2A1z積為

相應(yīng)于區(qū)域Dx2y2R2上的面積

1(z)2(z)2dxdy

dxdy

dy8RRdx16R2D

4D如下求均勻薄片的質(zhì)心2D由y 2所圍成2因為區(qū)域D可表示為0xx0,0y 2D

dxdy

x0

x02pxdx 22x xdxdy1x0 2pxxdy1x0x2pxdx3xxAD

A A 5y ydxdy1x0 ydy1x0pxdx3yAD所求質(zhì)心為(3x0,3

A A 8D是半橢圓形閉區(qū)域{(xy)|x2y21,y0} 1Dy軸x022D1 1 ba2 1b2 2 4b

dx

x A D

A

所求質(zhì)心為(0,4b1y0Adxdy(b)2(a)2(b2a2(兩圓面積的差 D2 a2b2x 2 AD

所求質(zhì)心是(a2b2ab0)5設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由拋物線yx2及直線yx所圍成它在點(x處的面密度(xy)x2y求該薄片的質(zhì)心解M

xx2ydy11(x4x6)dxDx

x(x,y)dxdy xx3ydy

11(x5x7)dx35MD

M0 M0 y y(x,y)dxdy xx2y2dy 11(x5x8)dx35yMD質(zhì)心坐標(biāo)為(35,35)

M0 M0 486設(shè)有一等腰直角三角形薄片a各點處的面密度等于該點到直角頂點的距離的平方求這薄片的質(zhì)心使薄片在第一象限且直角邊在坐標(biāo)軸上薄片上點(x Dxy1x(x,y)dxdy1axdxax(x2y2)dy2a M D薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為(2a,2a 7利用三重積分計算下列由曲面所圍成立體的質(zhì)心(z軸上xy0Vdv1(圓錐的體積 z1zdv12d1rdr1zdz3V V 所求立體的質(zhì)心為(0,0,34 z z軸上xy0Vdv2A32a32(A3a3(兩個半球體體積的差 1 12 A

rdr sincosdrd 2sin V 8(A3所求立體的質(zhì)心為(0,0,3(A4a4))zx2y2xyax0y0 x2 解V0 dz0 (xya[x2(ax)1(ax)3]dx1a4 1x1xdv1axdxaxdyxydz 2aV V 1 6yx2a5z1zdv1adxaxdyx2y2zdz7a2V V 所以立體的重心為(2a2a,7a2 8設(shè)球體占有閉區(qū)域{(xyz)|x2y2z22Rz}它在內(nèi)部各點的密度的大小等于該點到坐標(biāo)原點的距離的平方試求這球體的質(zhì)心x2y2z2由對稱性可知質(zhì)心在z軸上xy0在球面坐標(biāo)下可表示為0200r2Rcos20

2sind2RcosMdv 32 Rsincosd

R0 2z1zdv12dsincosd2Rcos2zM M 2

R6sincos7d RM0 故球體的質(zhì)心為(0,0,5R49設(shè)均勻薄片(1)D如下求指定的轉(zhuǎn)動慣量D{(xy)|x2y21}求I a2

aa b

2b 2

a

a2 于 Iy xdxdyD

xdx dy dxaba提示

xasinta4 2 dx 2sin2tdt2

2 Dy29x與直線x2所圍成求Ix和2x/0x2,3x/2yx/3 y ydy2227x2dx 于 D

302 Iyx2dxdy2x2dx dy 2x2dx96 D

2D為矩形閉區(qū)域{(xy)|0xa0yb}求Ix和2解Ixy2dxdyadxby2dya1b3ab3 DI x2dxdyax2dxbdy1a3ba3b D

10已知均勻矩形板()bh計算此矩形取兩旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系 Ix ydxdy22ydyIx ydxdy22ydy b bIy xdxdy2xIy xdxdy2x2dy 11一均勻物體(密度為常量)占有的閉區(qū)域由曲面zx2y2和平面 x2yV40dx0 z1zdv4adxadyx2y2zdzM V0 2

2x2

V 2a(ax42a3x2a5)dx7a2V 解Iz(x2y2)dv4adxadyx2y2(x2 4adxa(x42x2y2y4)dy428a6112a6 慣量(設(shè)密度1)解建立坐標(biāo)系使圓柱體的底面在xOy面上z軸通過圓柱體的用柱 2 a Iz(xy)dvr

0rdr0dz

ha2 設(shè)面密度為常量x2D{(x,y,x2質(zhì)量的質(zhì)點的引力F

R2x0}求它對位于z軸上點M0(00a)(a0)F(FxFyFz)由對稱性Fy0 (x2y D2 2G2G22

2a

R2a2RR2a2