2021學年高一下學期期中數(shù)學試卷(解析版)

#/25一、選擇題（共10小題）.1.已知角a終邊上有一點P（3,-4）,則sina的值是（ ）A?D-2.?….…網(wǎng)化簡結果是（）A.在MBC中，AC ,BC=2,B=60°,則角A的值為( )A.75°B.45°C.45°或135°D.135°4.已知函數(shù)小,,下列結論錯誤的是（ ）A.函數(shù)f（x）最小正周期為2nB.函數(shù)f（x）在區(qū)間（0,n）上是減函數(shù)C.函數(shù)f（x）的圖象關于（kn,0）（卜￡2）對稱D.函數(shù)f(x)是偶函數(shù)5.等比數(shù)列｛an｝中，a1=1,a4=27，則a2+a4+a6+...+a2020值為()A.1i,B,[-C.1：尸』i，D.」/一,6.對于實數(shù)a,b,c,有下列命題：①若a>b,則ac>bc;②若a>b,且a+c>b+d，則c>d;③若a>b,且「，則a>0,b<0;④若c>a>b>0,則qLbabc-a"c-b其中真命題的是()A.①③B.②③C.②④D.③④TOC\o"1-5"\h\z7.已知tana,tan0是方程x2+3x+4=0的兩根，且a,0￡(0,n),則a+B的值為( )A.B.C.1D.4 4 4 4.在等差數(shù)列｛an｝中,am+an=a4+a5,則上J的最小值為mn( )A.B.C.D.13 9 9.已知向量滿足■」,門「且對任意的實數(shù)x,不等式…〃「J亙成立，設■，沸夾角為6,則tan0的值為( )A.-2「B.2c7一10.數(shù)列｛an｝為遞增的等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝滿足bn二anan+1an+2(n￡N*),設Sn為數(shù)列｛bn｝的前n項和，若a2_；，則當Sn取得最小值時n的值為( )57A．14B．13C．12D．11二、填空題(本大題共7小題，多空題每空3分，單空題每空4分，共36分)11?已知向量.(1,2),? (2,.2),|2"j|=,，在方向上的投影為.12.求值："'^">一，cos275°+cos215°+cos75°cos15°二..在MBC中，三邊長分別為a-2,a,a+2,最大角的余弦值為?,則a=，S3BC=.2.已知」…「一■"：貝”in2x=，： .8%+幻―5. 1- -.等比數(shù)列｛an｝的公比為4，其前n項之積為Tn，若滿足條^:al>lza99-al00-l>0, 「當亦取得最大時，40口-1n二..已知函數(shù)f(x)=-x2-2mx+4,若對于任意xe[m,m+2],都有f(x)>0成立，貝^實數(shù)m的取值范圍為..不共線的向量口，消勺夾角為0,若向量/t與八b的夾角也為0,則cos0的最小值為.三、解答題(本大題共5個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟).已知函數(shù)f(x)=sin(2x+5),(0<5<n),它的圖象的一條對稱軸是直線x_1.一12(1)求中的值及函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間；(2)若f(a)一，J=Lae(上，3),求sin2a.5 12 319.已知平行四邊形ABCD中，AB=2,BC=4,nDAB=60°,點E是線段BC的中點.(1)求”.”的值；ACjAE(2)若“ 且BD^AF,求人的值.AF=AE十AAD20.數(shù)列｛an｝前n項和為Sn，滿足Sn=2n-3,數(shù)歹勝加為等差數(shù)列且b2=S3,b4-b2=4S2.(1)求數(shù)列｛an｝和缶9的通項公式;(2)若cn ，求數(shù)列｛cn｝的前n項和Tn.b]+8上+/+g+21.在MBC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若cowC+(匚月十^.suiA)cosB=0,(1)求角B的大?。?2)設BC的中點為D,且AD=也，求a+2c的取值范圍.22.已知數(shù)歹1」｛然｝滿足n=3,a2=。，且2an+1=3an-an-1．(1)求證：數(shù)歹i」｛an+1-an｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列同｝通項公式；(2)求數(shù)歹i」｛nan｝的前n項和為Tn,若Tn>12/對任意的正n整數(shù)n恒成立，求k的取值范圍.參考答案一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．).已知角a終邊上有一點P(3,-4),則sina的值是( )A.B.C.D.一二M土二土工【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義求出sina的值.解：由角a終邊上有一點P(3,-4),可得x=3、y=-4、r二|OP|=5,sina__1,r5故選：A.. 的化簡結果是( )Jilt+rttHR-yCA.B.C.D.PQQPBQCQ【分析】利用向量加減的幾何意義，直接計算即可．角金：「角金：「T, , ，一，AB+PC+BA-QC^AB+PC+故選：A..在MBC中，AC_6,BC=2,B=60°,則角A的值為（ ）A.75°B.45°C.45°或135°D.135°【分析】由已知及正弦定理可得sinA_ 結合AC>BC,AC由大邊對大角可得：B>A,A為銳角，從而解得A.解：..在MBC中.AC-—BC=2,B=60°,???由正弦定理可得：sinA:，，"：?■'：■, 、.1,=AC='=T?「AC>BC,可得：B>A,A為銳角，.懈得A=45°,故選：B.4.已知函數(shù)「 ，下列結論錯誤的是（ ）A.函數(shù)f（x）最小正周期為2nB.函數(shù)f（x）在區(qū)間（0,n）上是減函數(shù)C.函數(shù)f（x）的圖象關于（kn,0）（卜￡2）對稱D.函數(shù)f（x）是偶函數(shù)【分析】先根據(jù)誘導公式可知，小皿 ，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質逐一判斷每個選項即可.由余弦函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的最小正周期一、如，即A正確；在區(qū)間（0,n）上是減函數(shù)，即B正確；關于（："，0）（足Z）對稱，即C錯誤；是偶函數(shù)，即D正確.故選：C.5.等比數(shù)列列n｝中，a1=1,a4=27，則a2+a4+a6+...+a2020值為（）c.1：產(chǎn)』|1D.」/川I，【分析】設等比數(shù)列｛an｝的公比為q,由a1=1,a4=27,可得q3=27,解得q.可得an,a2n.利用等比數(shù)列的求和公式即可得出.解：設等比數(shù)列｛an｝的公比為q「「al=1,a4=27,「.q3=27,解得q=3.「.an=3n-1,「?a2=3,q2=9.「a2n=3?9n-1.貝Ua2+a4+a6+...+a2020=3-9皿［3(32020-1).x—―故選：A.6.對于實數(shù)a,b,c,有下列命題：①若a>b,則ac>bc;②若a>b,Ha+c>b+d，則c>d;③若a>b,且「，則a>0,b<0;④若c>a>b>0,則qLb口.c-a"c-b其中真命題的是( )A.①③B.②③C.②④D.③④【分析】①取c=0即可作出判斷；②舉反例，如a=1,b=-1,c=2,d=3;③④均結合作差法和不等式的性質即可判斷.解：若c=0,則ac=bc,即①錯誤；例如a=1,b=-1,c=2,d=3,則有1+2>-1+3,即滿足a+c>b+d，但c<d,故②錯誤；，..?’口，:a>b,「.b-a<0,「.ab<0,由于aababab>b,因此a>0,b<0,即③正確；aba{c-b)-b(c-a)cQa-b)c-ac-h(c-d)(c-b)(c-a)(c-b}/c>a>b>0z/.a-b>Ozc-a>Ozc-b>Oz「.口二".即cc-b一—,故④正確.c-ac-b???真命題有③和④，故選：D.7.已知12門1,1^門0是方程乂2+3乂+4=0的兩根，且a,0￡(0,n),則a+B的值為( )A.B.C.1D.4 4 4 4【分析】由題意可得/丁丁呼J,然后結合兩角和的正切[tanatanfi=4公式及角的范圍可求.解：由題意可得，「案"爆J,故tana<0,tanp<0,因為a邛￡(0,n),故a邛￡。/，n),n<a+B<2n,故tan(a邛) 1,11, 1311-tanatan1-4所以a邛」.4故選：C.8.在等差數(shù)列｛an｝中,am+an=a4+a5,則JJ的最小值為mn( )A.B.C.D.13 9 9【分析】等差數(shù)歹i」｛an｝中，由am+an=a4+a5，可得：m+n=4+5=9.再利用“乘1法”、基本不等式的性質即可得出.解：等差數(shù)列｛an｝中，由am+an=a4+a5，可得：m+n=4+5=9．則?1.(m+n)(1.1)_1(5'")「(5+2不)之mn9 mny mny.Jmn1,當且僅當n=2m,解得m=3,n=6.故選：D.9.已知向量滿足”」,門「且對任意的實數(shù)x,不等式…〃「J亙成立，設■，沸夾角為6,則tan0的值為A.-23.22C._2D.2【分析】根據(jù)題意，分析可得（口十（與垂直，據(jù)此可得有（”￡）??2一口cos6+1=0，變形可得cos。的值，解可得sinb=ab+b—Ne的值，進而計算可得答案.解：根據(jù)題意，對任意的實數(shù)x，不等式依十父屋?消亙成立，則（.」）與“垂直，TOC\o"1-5"\h\z則有片:麻2=,,式。50+1=0,解可得cose_舊，fll+L）=0B+￡?y ■=—3又由0404Tl，則sine 士，二可人=COS"-y則tane1力二;故選：C.10.數(shù)列｛an｝為遞增的等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝滿足bn二anan+1an+2（n￡N*）,設Sn為數(shù)列｛bn｝的前n項和，若a2_；，則當Sn取得最小值時n的值為（ ）57A．14B．13C．12D．11【分析】先根據(jù)條件求得數(shù)列但0的通項，得到何時值為正，何時為負，進而得到數(shù)列｛bn｝正負的分界線即可求得結論.解：因為數(shù)列｛an｝為遞增的等差數(shù)列，設其公差為d，則d>0;因為a2」,」「.al+d=?(al+6d)=a1=_12d;-5 -4/.an=al+(n-l)d=(n_圮)d;4當n>14時，an>0;當n413時，an<0;,數(shù)列｛bn/滿足bn=anan+1an+(n￡N*)設Sn為數(shù)列｛bn｝的前n項和，故數(shù)列｛bn｝前13項為負值；故當n=13時，Sn取得最小值；故選：B.二、填空題(本大題共7小題，多空題每空3分，單空題每空4分，共36分)11?已知向量“(1,2),“(2,-2),|2.卜平，百方向上的投影為‘‘.2【分析】先根據(jù)線性坐標運算求出2，；，即可求得其模長；a+b再由平面向量數(shù)量積的定義可知，聯(lián)在b方向上的投影為上2，然后結合數(shù)量積的坐標運算即可得解.解：: (1,2),,(2,-2),「.2,(4,2),「.a= b= □+b=

在，方向上的投影為」；故答案為：；；_包.12.12.求值：,cos27$+cos215°+cos75°cosl5°=1.【分析】直接利用三角函數(shù)關系式的恒等變換和三角恒等式的應用求出結果．解：①COS'"tan( ').“；「，□,「‘TOC\o"1-5"\h\z3 4 J3 4②cos275°+cos215°+cos75°cos15°一-1 -?故答案為：13.在MBC中，三邊長分別為a-2,a,a+2,最大角的余弦值為1,則"5,SMBC二竺￡.2 4【分析】直接利用余弦定理的應用求出a的值，進一步利用三角形的面積公式和三角函數(shù)關系式的恒等變換求出結果．解：在3BC中，三邊長分別為a-2,a,a+2,所以：最大邊長為a+2,最大角的余弦值為1,

則.4-tort, cosx-sinx 1-tort, cosx-sinx2 2(a-2)a故sinC■■故：三角形的三邊長為3故：三角形的三邊長為3，5，7．又「又「cos「X)」故答案為：5,“；414.已知.一,'":則Sin2x=,?—?一_”.4 5 4 4 25 1_tanx75【分析】利用三角函數(shù)的恒等變換，化簡得；「二sin2x1-lanx?tan(￡”)，依題意,分別求得sin2x與tan(￡”)的值，4 4即可求得答案.=SIsinZx+2sivCQSXn2x*tan(77,x).:X12n，=SICQSXn2x*tan(77,x).:X12n，sin(「X)_/.tan(x)x)cos?sin(?x)4 4/.cosx=cos[( +X)_z]=COSU+4 4 4TOC\o"1-5"\h\z/.sinx=sin[(三+義)_((sin(+x)cos2_sin^cos(^+x)44 4 4 4 4二()'」「； 1,5 2 2 5-10可得sin2x=2sinxcosx=2x(g)x(_l￡)=JL.~10 -10 -25_) {))_，!：1-itinx_25X3 75故答案為：，‘：25 7515.等比數(shù)列｛an｝的公比為4，其前n項之積為Tn，若滿足條件：al>1,a99-al00-1>0,; 。，當Tn取得最大時，-1n=99 .【分析】由已知結合等比數(shù)列的性質可得a99>1>a100，進而可求．解：由al>1,a99>al00-1>0,±Sl<0，可得a99>1>“口-1a100,所以當n=99時，竹最大.故答案為：9916.已知函數(shù)f(x)=-x2-2mx+4,若對于任意xe[m,m+2],都有f(x)>0成立，則實數(shù)m的取值范圍為(0,-).【分析】直接利用不等式的性質和不等式組的解法的應用求出結果．解：函數(shù)f(x)=-x2-2mx+4,若對于任意x曰m,m+2],都有f(x)>0成立，只需滿足：/%。。即可，TOC\o"1-5"\h\z2P 2、回整理得：[-始-2/+4>。 ，解得「丁亍，即一(m十2)-2m(?n+2)+4>0 o<m<―斕0<.. —故m的取值范圍是(0,犯).3故答案為：(「；)，317.不共線的向量。，消勺夾角為0,若向量如/與】」的夾角也為0,則cos0的最小值為.2【分析】可根據(jù)向量的加減法的幾何意義，作出圖形，可得三角形相似，利用余弦定理、三角形相似列出方程，表示出cos0，然后求其最小值．解：如圖，不妨令—―…則， ，DB=a-b'DC=2a-b'

「.nA=nBDC=0,nC是公共角，/.aADC^aDBC.則竺一竺①.HC在^ADC中，DC2=AD2+AC2-2xADxACxcos0=x2+4-4xcos0.在△DBA中，DB2=x2+l-2xcos0,結合①可得：J+4-4加9 .7 -21 x+1-2xcos0整理得（一2 2整理得（一2 2-)2-6coaf),(*+/+8co$%=o?艮“"+53co$e『=c?s201所以*+--3gse=cos"或-cosB'■|=2*'所以C工y,或x+3=23仇［±|^x+->2^?2cos0<2,故舍去.X X故答案為：坦.2三、解答題（本大題共5個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)18.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+5),(0<5<n),它的圖象的一條對稱軸是直線x_1.-12(1)求中的值及函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間；(2)若f(a)一，J=Lae(上，3),求sin2a.5 12 3【分析】(1)由已知結合正弦函數(shù)的對稱性可求中，代入已知函數(shù)解析式后，結合正弦函數(shù)的單調性即可求解；(2)由已知結合同角平方關系及和差角公式即可求解.解：(1)直線「是函數(shù)圖象的一條對稱軸，71 JT, ,,單調增區(qū)間為:m」:"一.,(2)由題意,…「；,

rrjt,rrjt,'sin2a= +y)--]=sin(Za+彳)c口-cos(2a+-)sin-=3+4J」1019.已知平行四邊形ABCD中，AB=2,BC=4,nDAB=60°,點E是線段BC的中點.(1)求2”的值；ACjAE（2（2）若山…，山，且BD^AF,求人的值.【分析】（1）根據(jù)條件，可以點A為原點，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，從而可得出的坐標，然后AC,AE進行向量數(shù)量積的坐標運算即可；（2）可以得出"幣」一3…，然后根據(jù)BDBD={0, ,AF=[3+ZAi+2Vjaj，af即可得出I,“，進行向量數(shù)量積的坐標運算即可求出E0AF—0入的值.解：（1）以A點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系,則：

A(0,0),C(4，zG，E(3,4)B(2,0)D(2，G，?「BD^AF,「..一BDAF=2^W3+八'3冗)=020.數(shù)列｛an｝前n項和為Sn，滿足Sn=2n-3,數(shù)歹勝加為等差數(shù)列且b2=S3,b4-b2=4S2.(1)求數(shù)列｛an｝和缶9的通項公式;(2)若cn ： ，求數(shù)列｛cn｝的前n項和Tn.4十“+0+…+”【分析】(1)先利用an=Sn-Sn-1求得an，然后設等差數(shù)列｛bn｝的公差為d，列出含d的方程組，求出d與首項bl，即可求得bn；(2)先求b1+b2+b3+...bn,再求cn,然后利用裂項相消法求出Tn.解：(1)當n=1時，a1=S1=-1,當n>2時，an=Sn-Sn-1=2n-1,綜上an=f「n=1;~\2 ,n>2■「b2=S3,b4-b2=4S2,，解得：d=2,b1=3,「.bn=b1+(n-1)d=2n+1.(2)/bl+b2+b3+...bn_n<2n+4)_n(n+2),2??.cn. 」1,,n(n+2)2%n+平「?Tn」。)+。)+。)+…+。 )].上一，「213 24 35 nn+2 2V2n+1n±2J21.在MBC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若co式+(cosA+^sinA)eosH=0*(1)求角B的大??；(2)設BC的中點為D,且AD=&,求a+2c的取值范圍.【分析】(1)直接利用三角函數(shù)關系式的恒等變換出結果*(2)利用正弦定理和三角函數(shù)關系式的恒等變換及正弦型函數(shù)的性質的應用求出結果．解：(1)由題意得