2020年新版新人教版八年級數(shù)學(xué)上冊教案全冊

第十一章三角形

11.1與三角形有關(guān)的線段

11.1.1三角形的邊

/學(xué)案設(shè)計一一一~~—?（旗計*:孫長生聲就）

學(xué)習(xí)目標

1.了解三角形的概念,會用符號語言表示三角形.

2.通過具體的實踐活動理解三角形三邊的不等關(guān)系.

學(xué)習(xí)過程

一、自主學(xué)習(xí)

問題1:觀察下面的圖片，你能找到哪些我們熟悉的圖形？

問題2:在小學(xué)，我們學(xué)過三角形,你了解三角形的哪些性質(zhì)？

二、深化探究

探究1:觀察三角形的構(gòu)成，探索三角形的概念

問題1：你能畫出一個三角形嗎？

問題2:結(jié)合你畫的三角形,說明三角形是由什么組成的？

問題3:下面的幾個圖形都是由三條線段組成的，它們都是三角形嗎？

1

(4)⑸

問題4:什么叫三角形？

探究2:自主學(xué)習(xí)三角形的表示方法及分類

閱讀教材第2頁到第3頁探究前內(nèi)容，回答下列問題.

問題1:如圖回答以下問題：

(1)在三角形中，什么叫邊?什么叫內(nèi)角？什么叫頂點？

(2)三角形有幾條邊?有幾個內(nèi)角？有幾個頂點？

(3)如何用符號表示三角形4比？

(4)如何用小寫字母表示三角形力常的三條邊？

問題2:如果將三角形分類，按照邊的關(guān)系分可以分成幾類？按照角的關(guān)系又如何分

類呢？

2

問題3:如圖，找出圖中的三角形,用符號表示出來，并指出AB,AD,"分別是哪個三

角形的邊.

探究3:通過觀察實踐,理解三角形三邊關(guān)系

問題1:任意畫一個△4比；假設(shè)有一只小蟲從點6出發(fā),沿三角形的邊爬到點C,它

有幾條線路可以選擇？各條線路的長一樣嗎？

八

問題2:聯(lián)系三角形的三邊,從問題1中你可以得到怎樣的結(jié)論？

問題3:用三條長度分別為5,9,3的線段能組成一個三角形嗎？為什么？

三、練習(xí)鞏固

練習(xí)1:三角形是指（）

A.由三條線段所組成的封閉圖形

B.由不在同一直線上的三條直線首尾順次相接組成的圖形

C.由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形

D.由三條線段首尾順次相接組成的圖形

練習(xí)2:圖中有幾個三角形?用符號表示這些三角形.

3

練習(xí)3.有三根木棒的長度分別為3cm,6cm和4cm,用這些木棒能否圍成一個三

角形?為什么？

練習(xí)4:用一條長18cm的細繩圍成一個等腰三角形.

(1)如果腰長是底邊的2倍,那么各邊的長是多少？

(2)能圍成有一邊的長為4cm的等腰三角形嗎？為什么？

四、深化提高

練習(xí)1:下面各組數(shù)中作為線段長不能構(gòu)成三角形的一組是()

A.0.2,0.6,0.7

B.5k,Ik,10A(A>0)

C.m-a,m,m+a(m>a,mX),a>0)

D.22,22,33

練習(xí)2:小明想要釘一個三邊長都是整數(shù)的三角形，現(xiàn)在他只有兩根分別長4cm和

5cm的木條,那么第三根木條的長度可以是多少？(寫出所有可能結(jié)果)

練習(xí)3:平面上有四個點46,G〃用它們作頂點可以組成幾個三角形？

參考答案....................

一、自主學(xué)習(xí)

問題1:三角形、四邊形等.

4

問題2:三條邊;三個內(nèi)角；具有穩(wěn)定性;三角形的內(nèi)角和是180°.

二、深化探究

探究1：

問題1：能

問題2:三角形是由三條線段組成的.

問題3:只有第（1）個是三角形,其他的都不是.

問題4:由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

探究2:

問題1:組成三角形的三條線段都叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形

的內(nèi)角，簡稱三角形的角；相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點.三角形有三條邊、三個

內(nèi)角、三個頂點.三角形45C用符號表示為的邊18為NC所對的邊，可以

用頂點（、的小寫字母c表示，同樣，邊〃'可用力表示，邊式、可用a表示.

問題2:三角形按照“有幾條邊相等”可以分為：

'等邊三角形

三角形］等腰三角形

、不等邊三角形

也可以按照邊的相等關(guān)系分為：

‘不等邊三角形

三角形《（底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

I（等邊三角形

三角形按照角的關(guān)系可以分為:

'直角三角形

三角形｛銳角三角形

、鈍角三角形

問題3:圖中共有三個三角形，分別是△/能XABD,/XADC,其中既是△/國的邊,

也是△力劭的邊,力〃既是的邊，也是的邊，勿是△/〃C的邊.

探究3

5

問題1:小蟲從點8出發(fā)沿三角形的邊爬到點(、有2條線路：

⑴從外。即線段8C的長；

(2)從8-4-C即線段BA與線段4c長之和:為

經(jīng)過測量可得BA+AOB&所以這兩條線路的長不一樣.

根據(jù)“兩點的所有連線中，線段最短”，說明BA+AOBC.

問題2:三角形兩邊的和大于第三邊.

問題3:用三條長度分別為5,9,3的線段不能組成一個三角形，因為5+3<9.

三、練習(xí)鞏固

答案:1.C

2.共有5個三角形.分別是:△/陽XBCD,/\BCE,△力能△儂

3.能,因為3幽死.

4.解：(1)設(shè)底邊長為xcm,則腰長2xcm.

X+2才+2*=18,

解得x=3.6.

所以，三邊長分別為3.6cm,7.2cm,7.2cm.

(2)因為長4cm的邊可能是腰，也可能是底邊,所以需要分情況討論.

如果長4cm的邊為底邊,設(shè)腰長為xcm,則4+2^-18,

解得X4

如果長4cm的邊為腰，設(shè)底邊長為xcm,則2X4+x=18,

解得x=10.

因為4M<10,出現(xiàn)兩邊的和小于第三邊的情況,所以不能圍成腰長是4cm的等腰三

角形.

由以上討論可知，可以圍成一邊長是4cm的等腰三角形.

四、深化提高

練習(xí)1:C

6

練習(xí)2:解：第三根木條的長度可以是2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cm.

練習(xí)3:解：由于題中并沒有說明這四個點是否在同一條直線上,所以要分情況討論.

(1)四點共線時，不能組成三角形.

(2)三點共線時，可以組成三個三角形.

(3)任意三點都不共線時，可以組成四個三角形.

第十一章三角形

11.1與三角形有關(guān)的線段

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

/學(xué)案設(shè)計------------------------------------------?(旗計*:孫長生馬興起)

學(xué)習(xí)目標

1.了解三角形的高、中線與角平分線的概念.

2.準確區(qū)分三角形的高、中線與角平分線.

3.能夠獨立完成與三角形的高、中線和角平分線有關(guān)的計算.

學(xué)習(xí)過程

一、自主學(xué)習(xí)

問題1:數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形?請將它們?nèi)坑梅柋硎境鰜?

A

問題2:利用長為3,5,6,9的四條線段可以組成幾個三角形?為什么？

7

問題3:利用△/6C的一條邊長為4cm,面積是24cnf'這兩個條件，你能得出什么結(jié)

論？

二、深化探究

探究1:通過作圖探索三角形的高

問題1:你能畫出下列三角形的所有的高嗎？

問題2:根據(jù)畫高的過程說明什么叫三角形的高？

問題3:在這些三角形中你能畫出幾條高？它們有什么相同點和不同點？

問題4:如圖所示,如果是的高,你能得到哪些結(jié)論？

A

4c

探究2:類比探索三角形的高的過程探索三角形的中線

問題1:如圖，如果點。是線段46的中點,你能得到什么結(jié)論？

I11

ACR

問題2:如圖，如果點〃是線段呢的中點,那么線段4?就稱為%的中線.類比三

角形的高的概念,試說明什么叫三角形的中線？由三角形的中線能得到什么結(jié)論？

8

A

問題3:畫出下列三角形的所有的中線，并討論說明三角形的中線有什么特點？

AA

問題4:如圖所示,在△46。中，助是A4BC的中線，熊是△力阿的高.試判斷△力劭和

△/徵的面積有什么關(guān)系？為什么？

問題5:通過問題4你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

探究3:通過類比的方法探究三角形的角平分線

問題1:如圖，若%是//防的平分線,你能得到什么結(jié)論?

問題2:如圖，在中，如果/胡。的平分線A0交6c邊于點D,我們就稱是

△力%的角平分線.類比探索三角形的高和中線的過程,你能得到哪些結(jié)論?三角形的角

平分線與角的角平分線相同嗎？為什么？

9

A

三、練習(xí)鞏固

練習(xí)1:如圖，在△力臺。中畫出這個三角形的高BD,中線方和角平分線在

練習(xí)2:如圖，已知AD,BE,。'都是△<a'的中線,則AE=

■,602,AF=.

練習(xí)3:如圖，已知AD,BE,〃'都是△46。的角平分線,則/I=,N2=

,4ABCN.

練習(xí)4:如圖，在△48C中，W=12cm,6c=18cm,△力%的高4〃與朦的比是多少？

四、深化提高

練習(xí)1:如圖，在直角三角形中，4G8,BC=6,AB=10,求頂點C到邊力8的高.

10

練習(xí)2:如圖，在△力8c中，AD是角平分線,DE〃AC,DF//AB.試判斷N3和N4的關(guān)系,

并說明理由.

練習(xí)3:利用所學(xué)知識將三角形分成面積相等的四部分.（至少畫出4種）

參考答案........................................................................

一、自主學(xué)習(xí)

問題1:圖中共有5個三角形.它們分別是:XABD,△力/XCDE.

問題2:可以組成2個三角形.

從四條線段中任選三條組成三角形，共有四種選

法：6,5,6,②3,5,9,拿,6,9,@5,6,9,其中，滿足“三角形兩邊之和大于第三邊”的

只有第①④這兩組.

問題3:能夠求出的高是12cm.

二、深化探究

探究1:通過作圖探索三角形的高

問題1:能，圖略.

問題2:從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線,連接頂點和垂足之間的線

段稱為三角形的高.

問題3:每個三角形都能畫出三條高.

相同點是：三角形的三條高交于同一點.

11

不同點是:銳角三角形的高交于三角形內(nèi)一點，直角三角形的高交于直角的頂點，鈍

角三角形的高交于三角形外一點.

問題4:如果助是的高,則有：

ADX.BC于點〃NADB=NADC由Q°.

探究2:

問題l;AC=B*AB.

問題2:三角形中連接一個頂點和它對邊中的線段稱為三角形的中線.

如果線段是比的中線,那么BD=CD^BC.

問題3:無論哪種三角形，它們都有三條中線，并且這三條中線都會交于一點,這一點

都在三角形的內(nèi)部.

問題劭和的面積相等.理由：

：7切是△/6C的中線，

；.BD=CD.

:月既是劭的用也是△力切的用

.：S?*BD-AE^CD?AE=S^a>.

,：△/劭和切的面積相等.

問題5:三角形的中線將三角形的面積平均分成兩份.

探究3:

問題1:NAOC=NBO*NAOB.

問題2:三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段

稱為三角形的角平分線.

三角形有三條角平分線，并且這三條角平分線在三角形內(nèi)交于一點.

如果4?是△力比的角平分線，那么就有N胡么胡C

三角形的角平分線與一個角的角平分線不一樣，三角形的角平分線是一條線段,有

長度，而角的平分線是一條射線,沒有長度.

三、練習(xí)鞏固

12

練習(xí)1:圖略

練習(xí)2-.CEACBD或CDBF

練習(xí)3:254CZ34ACBN4或NABE

練習(xí)4:解：由三角形的面積公式得

S&*BC?AD^AC*BE,

所以有:乂18乂4〃W乂12

解得AD：BEN：3.

四、深化提高

練習(xí)1：解:設(shè)頂點。到邊48的高為方，由三角形的面積公式可得

S^ABC^AC'BC^AB,h,

所以有:X6X8=X1OA,

解得h=A.8.

所以頂點C到邊的高為4.8.

練習(xí)2:解:N3=N4.

理由：；AD平分NBAC,

ZZ1-Z2.

又'."DE//AC,DF//AB,

.：/l=N4,Z2=Z3.

ZZ3-Z4.

練習(xí)3:利用三角形中線的性質(zhì)可得

第十一章三角形

11.1與三角形有關(guān)的線段

11.1.3三角形的穩(wěn)定性

/學(xué)案設(shè)計一?（也計壽：孫長春）

學(xué)習(xí)目標

1.通過觀察和實際操作得到三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性.

2.體會穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用.

學(xué)習(xí)過程

一、自主學(xué)習(xí)

問題1:如圖，在△?!阿中，49,8c應(yīng)'=（方力6是角平分線.那么的三邊有什么

關(guān)系?根據(jù)上述條件,你還能得到什么結(jié)論？

問題2:在我們的生產(chǎn)和生活中哪里用到了三角形？

二、深化探究

探究1:通過實際操作探索三角形的穩(wěn)定性

問題1:如圖，在蓋房子時,在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根

木條.為什么要這樣做？

問題2:將三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？

14

問題3:將四根木條用釘子釘成一個四邊形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？

問題4:在四邊形的木架上再釘一根木條,將它的一對頂點連接起來,然后扭動它，它

的形狀會改變嗎？

問題5:經(jīng)過以上三次實驗,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

探究2:通過生活中的實例感受數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)和生活中的應(yīng)用

問題1:三角形的穩(wěn)定性在我們的生產(chǎn)和生活中有哪些應(yīng)用？

問題2:四邊形的不穩(wěn)定性在我們的生產(chǎn)和生活中有哪些應(yīng)用？

15

三、練習(xí)鞏固

練習(xí)：下列圖形中哪些具有穩(wěn)定性？

四、深化提高

練習(xí)：要使四邊形木架不變形,至少要再釘上幾根木條?五邊形木架和六邊形木架

呢？

四邊形木架砌形木架六邊形木架

參考答案........................................................................

一、自主學(xué)習(xí)

問題兩邊之和大于第三邊,還可以得到是三角形6c邊上的高,42是三

角形■邊上的中線，NBAF=NCAF,S&搬=S2a等.

問題2:房屋的人字梁、大橋鋼架、索道支架、建筑用的三腳架等.

二、深化探究

探究1:

問題1:討論后，得出各種結(jié)論.

問題2:動手操作,通過實驗得出結(jié)論：它的形狀不會改變.

問題3:動手操作,通過實驗得出結(jié)論：它的形狀會改變.

問題4:動手操作,通過實驗得出結(jié)論：它的形狀不會改變.

問題5:可以發(fā)現(xiàn)，三角形不會變形,即三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性.

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探究2:

問題1:橋梁、起重機、自行車架等.

問題2:衣服掛架、放縮尺等.

三、練習(xí)鞏固

(1)(4)(6)中的圖形具有穩(wěn)定性.

四、深化提高

第十一章三角形

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.1三角形的內(nèi)角

/學(xué)案設(shè)計?(旗計壽：孫長春)

學(xué)習(xí)目標

1.了解三角形的內(nèi)角，會用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于

180°.

2.了解輔助線的作用，能準確、規(guī)范地利用輔助線進行證明.

3.規(guī)范推理過程,能夠獨立完成簡單的證明過程.

學(xué)習(xí)過程

一、自主學(xué)習(xí)

問題1:如圖，在4/6。中，//+N6+NC等于多少度？

17

問題2:這個結(jié)論你是如何得出的？

問題3:利用這些方法得出的結(jié)論準確嗎？

二、深化探究

探究1:觀察三角形的構(gòu)成，探索三角形的概念

問題1:如何用剪拼的方法驗證△/6C的內(nèi)角和等于180°?

問題2:在圖①、圖卷沖，直線,有什么特點，它存在嗎？

圖⑦

圖②

問題3:這種原圖形中不存在，我們?yōu)榱私忸}需要而自己加上的線被稱之為輔助線.

利用圖①你能想出證明"三角形內(nèi)角和等于180°”的方法嗎？

問題4:利用圖①證明三角形內(nèi)角和定理“三角形內(nèi)角和等于180°”.

18

問題5:你能利用圖②證明“三角形內(nèi)角和等于180°”嗎？

探究2:利用所學(xué)知識解決基礎(chǔ)問題

問題1:如圖，C島在/島的北偏東50°方向，8島在力島的北偏東80°方向，C島在

6島的北偏西40°方向，從。島看/、8兩島的視角/力⑦是多少度？

問題2:對于上面的問題,你還能想出其他的解法嗎？

三、練習(xí)鞏固

練習(xí)1:說出下列各圖中x的值.

練習(xí)2:下列各組角中哪三個角是同一個三角形的內(nèi)角？

(1)70°,60°,30°,80°;

(2)110°,20°,50°,40°;

19

(3)52°,32°,58°,90°;

(4)36°,108°,36°,72°.

練習(xí)3:如圖，從/處觀測C處時仰角/,從6處觀測。處時仰角

NCBD45；從C處觀測A,3兩處時視角N4"是多少度？

四、深化提高

練習(xí)1:思考：(1)一個三角形最多有幾個直角，為什么？

(2)一個三角形最多有幾個鈍角，為什么？

(3)一個三角形至少有幾個銳角，為什么？

練習(xí)2:已知等腰三角形的兩個底角相等，則：(1)如果頂角為80°,那么它的一個底

角等于多少度？(2)如果它的一個角為80°,那么它的一個底角等于多少度？

練習(xí)3:如圖，已知/1=15°,/2考0°,/介50°,求/員%,的度數(shù).

20

參考答案................................................................

一、自主學(xué)習(xí)

問題l:N/*/6+/C=180°.

問題2:將三角形的每個內(nèi)角剪下，拼成一個平角，或者用量角器進行測量.

問題3:不準確（或準確）.

二、深化探究

探究1:

問題1:將的三個內(nèi)角分別剪下，再拼成一個平角.如圖①、圖②.

^

圖①

圖②

問題2:直線1//BC,直線，不存在，是我們自己畫上的.

問題3:利用平行的性質(zhì)和平角的定義可以證明.

問題4:

已知：△/6C

求證：N"N加NC=180°.

證明：如圖，過點力作直線，，使1〃BC.

V1//BC,

.：/2=/4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

同理，Z3=Z5.

21

rzi,Z4,N5組成平角,

.：Z1+Z4+Z5-18O°（平角定義）.

.：Z1+Z2+Z348O°（等量代換），

即/陽C+N6+N0180°.

問題5:

已知：△/比：

求證：N*N6+NC=180°.

證明：如圖，延長BC,過點「作直線/,使1//AB.

A

VI//AB,

.：/1=/4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

N2=N5（兩直線平行，同位角相等）.

;N3,Z4,N5組成平角，

.：Z3+Z4+Z5=180°（平角定義）.

.：N3+N1+N2=18O°（等量代換），

即/4+N6+N6C4=180°.

探究2:

問題1:

解：NO廬/力。-50°-30°.

'.'AD//BE,

.：NBAD+NABE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

.：/4叱180°-N胡〃=180°-80°=100°,

NABC=NABE-NEBCA00。-40°-60°.

.:在△/6C中，

22

AACB=\3Q°-ZABC-ZCAB=18Q°-60°-30°=90°.

答:從C島看4/?兩島的視角/4方是90°.

問題2:解:過點。作"〃/〃

VCF//AD,

.：/〃F=N的050°(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).

VCF//BE,

.：/及乃=/煙~10°(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).

；.NACB=NACF+NBCFWQ°掰0°=90°.

答:從C島看46兩島的視角N43是90°.

三、練習(xí)鞏固

練習(xí)1:解：圖中的x值分別是70,60,30,50.

練習(xí)2:解：由三角形內(nèi)角和等于180°可以知道，各組中同一個三角形的內(nèi)角分別

如

下：(1)70°,30°,80°;(2)110°,20°,50°;(3)32°,58°,90°;(4)36°,36°,72°

練習(xí)3:解：由三角形內(nèi)角和等于180°可以知道，在中，N4"W0°,在△及力

中，NBCD=45°.1斤以NACB=NACD-NBCD=6Q°-45°=15°.

四、深化提高

練習(xí)1:解：(1)一個三角形最多有一個直角.如果一個三角形有兩個角是直角，那么

三角形的內(nèi)角和大于180°.這個結(jié)果與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾，所以一個三角形

最多有一個直角.

(2)一個三角形最多有一個鈍角.如果一個三角形有兩個角是鈍角，那么三角形的內(nèi)

角和大于180°.這個結(jié)果與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾,所以一個三角形最多有一個

鈍角.

23

(3)一個三角形至少有兩個銳角.如果一個三角形只有一個角是銳角，那么三角形的

另外兩個角的和一定大于90°且小于180°.將大于90°且小于180°的角分成兩個角

的話,必定有一個角小于90°,所以一個三角形至少有兩個銳角.

練習(xí)2:解：(1)50°;(2)如果80°角是等腰三角形的頂角，那么底角是50°,如果

80°角是等腰三角形的底角，那么底角就是80°.

練習(xí)3:解：由三角形內(nèi)角和等于180°可知，,而Nl+N2=45°,

所以-45°K5°,所以N劭。=105°.

第十一章三角形

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.2三角形的外角

/學(xué)案設(shè)計——一——---------(投針才：孫長句)

學(xué)習(xí)目標

1.了解三角形外角的概念.

2.探索并證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

3.運用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和解決簡單問題.

學(xué)習(xí)過程

一、自主學(xué)習(xí)

問題1:如圖，已知協(xié)〃位,NCW5°,求N1和N2的度數(shù).

24

問題2:在問題1中，N2被稱為三角形的外角，根據(jù)N2的構(gòu)成，你能說明什么叫三

角形的外角嗎？

二、深化探究

探究1:根據(jù)定義探索三角形外角的個數(shù)

問題1:根據(jù)定義，畫出三角形的外角.你能畫出多少個？

問題2:這幾個角有什么關(guān)系？（位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系）

探究2:手腦并用探索三角形外角的性質(zhì)及外角和

問題1:如圖，在△/笈中，/4%=65°⑦20°,求N陰。的度數(shù)及三角形的外角

Zl,Z2,Z3的度數(shù).

問題2:觀察你的結(jié)論,你能發(fā)現(xiàn)三角形的三個內(nèi)角與它的外角有什么關(guān)系嗎？三個

外角又有什么關(guān)系？

問題3:試證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

問題4:試證明三角形的外角和等于360°.

25

三、練習(xí)鞏固

練習(xí)1:說出下列各圖中N1和/2的度數(shù).

練習(xí)2:如圖，4BDC是的外角，ABDC=+,NEFC是

的外角，NEFC=+,4BFC是的外角，4BFC=

+,NBFC>.

練習(xí)3:如圖，〃是△力8c的外角切的平分線，且成交物的延長線于點已證明

ZBAOAB.

練習(xí)4:如圖，點〃是△/比■內(nèi)的一點，連接也和辦證明

26

四、深化提高

練習(xí)1:如圖，在中，N4?。與/〃方的平分線交于點A試證明/P=90°g/4

練習(xí)2:如圖，在上題中，如果"是△［應(yīng)'外角的平分線,那么與//有什

么關(guān)系?試證明你的結(jié)論.

練習(xí)3:如圖，在上題中，如果BP,"分別是/物與/旌1的平分線,那么N尸與N/1

有什么關(guān)系?試證明你的結(jié)論.

參考答案........................................................................

一、自主學(xué)習(xí)

問題1:由劭〃四可知，N1=N%65°,由三角形內(nèi)角和等于180°可知，N2的鄰補

角等于70°，所以/2=110°.

問題2:三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

二、深化探究

27

探究1:

問題1:如圖，可以畫出6個外角.

問題2:21和/2是對頂角，N3和是對頂角，N5和N6是對頂角，所以有

Z1=Z2,Z3-Z4,Z5=Z6.

探究2:

問題1:N歷JC=75°,Nl=105°,Z2=115°,Z3-14O0.

問題2:①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；②三角形的外角和等

于360°.

問題3:已知：在比'中，Z1是三角形的一個外角.

A

求證：/

證明：,（三角形的內(nèi)角和等于180°）

r.ZACB^1800-ZA-ZB.

：*Z1與/力⑦是鄰補角，.：N1+N力，=180°.

.：Z1=18O°-ZACB=180°-（180°=ZA+ZB.

問題4:已知：在△/回1中，Zl,Z2,/3都是三角形的外角.

求證：Nl+N2+N3-360°.

證明：：'/I,Z2,Z3都是三角形的外角，

?：N1=NABC+NACB.

（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

28

同理，N2=NBAC+NACB,N3=NBAC+NABC.

.：N\+N2+N3=NABC+/ACB+NBAC+NACB+NBAC+NABCWNBAC+NABC+NACB).

：2胡。+//及%/力/=180°,(三角形的內(nèi)角和等于180°)

.：Z1^Z2+Z3-2X18O°=360°.

三、練習(xí)鞏固

練習(xí)1:(1)Z1MO°,Z2<40°;(2)N1巧0°,N2=40".

練習(xí)2:Z\/W//￡ACD/XBCFNBCFAFBC△BDF(4CER

/BDF(/CEP)4DBF(NECP)4BDF(/CEF…)

練習(xí)3:證明：：.四是/力力的平分線，

.：4ACE=NDCE.(角平分線定義)

丁/腔是△8CF的外角，

；./DCE>/B.

(三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角)

.：/力磔>/8.(等量代換)

：2力。是△力龍的外角，

"BAONACE.(三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角)

.：NBAC>/B.

練習(xí)4:證明：延長劭交4C于點￡

A

:2BEC是4ABE的外角,NBDC是4CDE的外角,

.：NBEC〉NA,ZBDOZBEC.

(三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角)

?：NBDC〉/A.

四、深化提高

29

練習(xí)1:證明：：'"tP分別是N4勿與的平分

線,"PB*NABC,NA網(wǎng)N4G9.（角平分線定義）

；NA+NABC+/ACB=M°，/P+NW+ZP/ngO。，（三角形的內(nèi)角和等于180°）

二NABC+NACB=\8Q°-N4,NP=180°T/PBC+NPCB）.；./P=l80°-

；（NA8C+NAC助=180°、（180°~ZA）^90°*N4（等量代換）

練習(xí)2:解：/P=N4

理由：「陰爐分別是N46。與N4切的平分線，

；"PBC=/ABC,/故力/力切.（角平分線定義）

:/PCD是叢PBC的外角,N4切是△?!蛇的外角，

:.NPCD=ZP+/PBC,/ACD=NA+/ABC.

（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

；./P=/PCD-NPBC,NABC=NACD-NA.

.：4PQAC*4ABC樸人ACD-4AB0

書//繆-（/13-/4］弓/4（等量代換）

練習(xí)3:解：/040°-N4

理由：:班”分別是/的與■的平分線，

；.NPB*NCBD,/。必三/a石（角平分線定義）

與N6成都是△45C的外角，

；./CBD=/A+/ACB,/BCE=/A+/ABC,

（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

VZA+ZABC+ZACB=180°,

/P/N如C+NA%=180°,（三角形的內(nèi)角和等于180°）

.：/P=180°-（/PBC+/PCB）,/ABC+/ACBA80。~ZA.

.：〃二180。事/CBD+NBC玲

=180°$］（//+//函+（N4+N46。］

二180。千2//+（//如//a）］

30

=180°$[2/4+（180°-//）]

=180°--（180°+/月）

-90°￡N4（等量代換）

第十一章三角形

11.3多邊形及其內(nèi)角和

11.3.1多邊形

/學(xué)案設(shè)計---------------------------------?（旗計壽：孫長春）

學(xué)習(xí)目標

1.了解多邊形的有關(guān)概念.

2.了解正多邊形的基本性質(zhì).

學(xué)習(xí)過程

一、自主學(xué)習(xí)

問題:觀察下面的圖片，你能找到哪些我們熟悉的圖形？

鏘麟曲

二、深化探究

探究1:觀察多邊形的構(gòu)成，類比三角形的有關(guān)概念探索多邊形的有關(guān)概念

問題1:觀察畫多邊形的過程,類比三角形的概念,你能說出什么是多邊形嗎？

31

問題2:觀察這個多邊形,為什么有一條邊是虛線？

問題3:根據(jù)圖示，類比三角形的有關(guān)概念，說明什么是多邊形的邊、頂點、內(nèi)角、

外角和對角線.

問題4:三角形有對角線嗎？為什么？

問題5:回想三角形的表示方法，多邊形應(yīng)如何表示？

問題6:如圖所示,觀察兩個圖形，找出相同點和不同點.

探究2:自主探索正多邊形的概念及基本性質(zhì)

問題1:觀察下列圖形，它們的邊、角有什么特點?

32

問題2:像這樣的多邊形我們稱為正多邊形.請用自己的語言說明什么是正多邊形？

問題3:下面的敘述是否正確？(正確的請說明理由，錯誤的請舉出反例.)

(1)各個角都相等的多邊形叫做正多邊形.

(2)各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

問題4:由定義可知，正多邊形有什么性質(zhì)？

三、練習(xí)鞏固

練習(xí)1:判斷題.

(1)由四條線段首尾順次相接組成的圖形叫四邊形.()

(2)由不在一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫四邊形.()

(3)由不在一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形，且其中任何一條線段

所在的直線使整個圖形都在這條直線的同一側(cè)，叫做四邊形.()

(4)在同一平面內(nèi)，由四條線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫四邊形.()

練習(xí)2:填空題.

(1)連接多邊形的線段，叫做多邊形的對角線.

(2)多邊形的任何所在的直線,整個多邊形都在這條直線的,

這樣的多邊形叫凸多邊形.

(3)各個角,各條邊的多邊形，叫正多邊形.

(4)一個n邊形有條邊,個頂點,個內(nèi)角，

個外角.

33

練習(xí)3:畫出下列多邊形的全部對角線.

四、深化提高

練習(xí)1:從一個頂點出發(fā)，四邊形可以畫1條對角線,將四邊形分成2個三角形;五邊

形可以畫條對角線,將五邊形分成個三角形;六邊形可以畫

條對角線,將六邊形分成個三角形……〃邊形可以畫條對角線,將

〃邊形分成個三角形.

練習(xí)2:填表：

參考答案........................................................................

一、自主學(xué)習(xí)

問題：三角形、長方形、正方形、平行四邊形、五邊形、六邊形、八邊形等.

二、深化探究

探究1:

問題1:在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫多邊形.

問題2:虛線代表的是“不止一條邊”，所以這個圖形不僅可以代表七邊形，也可以

代表八邊形、九邊形等任意一個多邊形.

問題3:組成多邊形的線段叫做多邊形的邊;相鄰兩邊的交點叫做多邊形的頂點;相

鄰兩邊的夾角叫做多邊形的內(nèi)角；多邊形的邊與它鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的

外角；連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.

問題4:三角形沒有對角線，因為三角形只有三個頂點，而這三個頂點是兩兩相鄰的,

它沒有不相鄰的頂點,所以沒有對角線.

34

問題5:首先給每一個頂點標上一個大寫字母，然后寫出這個圖形是幾邊形,最后再

以一個字母為起點,沿順時針或逆時針方向?qū)⒆帜赴错樞驅(qū)懗?如：四邊形力比〃五邊形

4睨比〃邊形444…4等.

問題6:相同點是這兩個圖形都有五條邊,都是五邊形.

不同點是左邊圖形有一個內(nèi)角大于180°,而右邊圖形的每個內(nèi)角都小于180°.

探究2:

問題1:它們的邊都相等，它們的角也都相等.

問題2:各個角都相等,各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

問題3:這兩種說法都不正確.反例：(1)長方形的各個角都相等,但不是正四邊

形.(2)菱形的各條邊都相等，但不是正四邊形.

問題4:正多邊形的各個角都相等，各條邊都相等.

三、練習(xí)鞏固

練習(xí)1:(1)X(2)X(3)X(4)V

練習(xí)2:

(1)不相鄰的兩個頂點

(2)一條邊同一側(cè)

(3)都相等都相等

(4)nnnn

練習(xí)3:

四、深化提高

練習(xí)1:2334(n-3)(〃-2)

練習(xí)2:

三角四邊五邊六邊

〃邊形

35

對角

線

n,(n-3)

0259

總條2-

數(shù)

第十一章三角形

11.3多邊形及其內(nèi)角和

11.3.2多邊形的內(nèi)角和

/學(xué)案設(shè)計?—^-十,……―…-也計*:孫長春）

學(xué)習(xí)目標

1.了解多邊形的內(nèi)角、外角等概念.

2.能通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式,并會應(yīng)用它們進行有關(guān)計

算.

學(xué)習(xí)過程

一、自主學(xué)習(xí)

問題1:你知道三角形的內(nèi)角和是多少度嗎？

問題2:你知道四邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？

問題3:你是如何得到這個結(jié)論的？

二、深化探究

探究1:舉一反三探索多邊形的內(nèi)角和

問題1:如圖，請你利用分割的方法探索六邊形的內(nèi)角和是多少度？

36

問題2:選擇兩種不同的將多邊形分割成三角形的方法填入下表.

問題3:通過填表，你知道多邊形的內(nèi)角和公式是什么了嗎？

問題4:回想正多邊形的性質(zhì)，你知道正多邊形的每個內(nèi)角是多少度嗎？每個外角呢？

為什么？

探究2:合作探索多邊形的外角和

問