高中數學第二冊(上)不等式的性質2

不等式的性質(3)教課目標：1．嫻熟掌握定理1，2，3的應用；2．掌握并會證明定理4及其推論1，2；3．掌握反證法證明定理5教課要點：定理4，5的證明教課難點：定理4的應用講課種類：新講課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀教課過程：一、復習引入：1．同向不等式：兩個不等號方向同樣的不等式，比如：a>b，c>d，是同向不等式異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式比如：a>b，c<d，是異向不等式2．不等式的性質：定理1：假如a>b，那么b<a，假如b<a，那么a>b．(對稱性)即：a>bb<a；b<aa>b定理2：假如a>b，且b>c，那么a>c．(傳達性)即a>b，b>ca>c定理3：假如a>b，那么a+c>b+c．即a>ba+c>b+c推論：假如a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法例)即a>b，c>d．a+c>b+d二、解說新課：定理4：假如a>b，且c>0，那么ac>bc；假如a>b，且c<0，那么ac<bc．證明：∵ac-bc＝(a-b)ca>b∴a-b>0當c>0時，(a-b)c>0即ac>bc．c>d

當c<0時，(a-b)c<0即ac<bc．類比定理3推論，假想同向不等式相乘，不等號方向能否改變？即假如能否必定能得出ac>bd？(舉例說明)可否增強條件得出ac>bd呢?(指引學生探究，得出推論)．推論1假如a>b>0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法例)

a>b，證明：

ab,c

0

ac

bc

①又

c

d,b

0,

∴bc

bd

②由①、②可得acbd說明：（1）上述證明是兩次運用定理

4，再用定理

2證出的；（2）全部的字母都表示正數，假如僅有ab,cd，就推不出acbd的結論（3）這一推論能夠推行到隨意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘這就是說，兩個或許更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向推論2若ab0,則anbn(nN且n1)說明：（1）推論2是推論1的特別情況；（2）應重申學生注意n∈且n1的條件N假如a>b>0，那么an>bn(nN，且n>1)定理5若ab0,則nanb(nN且n1)點撥：碰到困難時，可從問題的反面下手，即所謂的“正難則反”．我們用反證法來證明定理5，由于反面有兩種情況，即nanb和nanb，因此不能只能否認了nanb，就“歸謬”了事，而一定進行“窮舉”證明：假設na不大于nb，這有兩種狀況：nanb，或許nanb由推論2和定理1，當nanb時，有ab；當nanb時，明顯有ab這些都同已知條件ab0矛盾因此nanb評論：反證法證題思路是：反設結論→找出矛盾→必定結論．三、解說典范：例1已知ab0且0cd，求證：ab(相除法例)cd證：∵dc0110ab∴cdcdab0例2已知a>b>0，c<0，求證：ccab證明：∵ab0,兩邊同乘以正數1,得11,abba即11，又c<0∴ccabab例3已知a，b，x，y是正數，且11，x>y．求證：xyabxayb證：∵11>0∴b>a>0,ab又x>y>0∴xb>ay∴xy+xb>xy+ay即x(y+b)>y(x+a)∵a，b，x，y是正數，∴y+b>0，x+a>0∴xyaybx例4已知函數f(x)ax2c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范圍剖析：利用f(1)與f(2)想法表示a、c,而后再代入f(3)的表達式中，從而用f(1)與f(2)來表示f(3),最后運用已知條件確立f(3)的取值范圍acf(1)a1[f(2)f(1)]解：∵解得34acf(2)14cf(2)f(1)33∴f(3)9ac8f(2)5f(1)33∵-4≤f(1)≤1,故(1)(5)(5)f(1)(4)(5)(1)333又-1≤f(2)≤5,故88f(2)40(2)333把(1)和(2)的各邊分別相加，得：-1≤8f(2)5f(1)≤2033因此，-1≤f(3)≤20評論：應該注意，下邊的解法是錯誤的：4ac1(1)依題意，得：4ac5(2)1由（1）（2）利用不等式的性質進行加減消元，得0≤a≤3，1≤c≤7(3)因此，由f(3)9ac可得，-7≤f(3)≤27以上解法其錯因在于，由（1）（2）獲得不等式（3）是利用了不等式性質中的加法法例，而此性質是單向的，不擁有可逆性，進而使得a、c的范圍擴大，這樣f(3)的范圍也就隨之擴大了四、講堂練習：1．已知ab0，cd0，e0，求證：eecbdaab0acbd011ee證：acbdcd0acbde06．假如ab0,cd0求證：logsinlogsindacb證：∵0sin1>1∴l(xiāng)ogsin0又∵ab0,cd0∴acbd∴1c1d∴l(xiāng)ogsinlogsinabacbd五、小結：經過本節(jié)學習，大家要掌握不等式性質的應用及反證法證明思路，為此后不等式的證明打下必定的基礎六、課后作業(yè)：一選擇題：1．假如a>b>0,c>d>0,則以下不等式中不正確的選項是[C]A．a-d>b-cB．abC．a+d>b+cD．ac>bddc2假如a、b為非0實數，則不等式11建立的充要條件是[D]abD．a2b-ab2<0A．a>b且ab<0B．a<b且ab>0C．a>b,ab<0或ab<03當a>b>c時，以下不等式恒建立的是[B]A．ab>acB．(a-b)∣c-b∣>0C．a∣c∣>b∣c∣D．∣ab∣>∣bc|4已知a、b為實數，則“a+b>2”是“a、b中起碼有一個大于1”的[A]A充分不用要條件B必需不充分條件C充要條件D不充分也不用要條件5．logm2>logn2的充要條件是[C]A．n>m>1或1>m>n>0B．1>m>n>0C．n>m>1或1>n>m>0D．m>n>1二填空題：6．若-1<x<y<0,則1，1，x2，y2的大小關系為___x2>y2>1x>1yxy7．設角α、β知足，則α-β的取值范圍為-παβ<022<-8．若實數a>b,則a2-ab>ba-b2(填上不等號)9．已知a>b>c，且a+b+c=0,則b2–4ac的值的符號為正數三解答題：10．已知x、y均為正數，設M=1x1y,N=x4y,試比較M和N的大小114(xy)2MN證明：MNyxyxy(x0xy)11．設函數f(x)的圖象為一條張口向上的拋物線,已知x、y均為正數，p>0,q>0且p+q=1,求證f(px+qy)<pf(x