高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)不等式的性質(zhì)2

不等式的性質(zhì)(3)教課目標(biāo)：1．嫻熟掌握定理1，2，3的應(yīng)用；2．掌握并會(huì)證明定理4及其推論1，2；3．掌握反證法證明定理5教課要點(diǎn)：定理4，5的證明教課難點(diǎn)：定理4的應(yīng)用講課種類：新講課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀教課過程：一、復(fù)習(xí)引入：1．同向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向同樣的不等式，比如：a>b，c>d，是同向不等式異向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相反的不等式比如：a>b，c<d，是異向不等式2．不等式的性質(zhì)：定理1：假如a>b，那么b<a，假如b<a，那么a>b．(對(duì)稱性)即：a>bb<a；b<aa>b定理2：假如a>b，且b>c，那么a>c．(傳達(dá)性)即a>b，b>ca>c定理3：假如a>b，那么a+c>b+c．即a>ba+c>b+c推論：假如a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法例)即a>b，c>d．a(chǎn)+c>b+d二、解說新課：定理4：假如a>b，且c>0，那么ac>bc；假如a>b，且c<0，那么ac<bc．證明：∵ac-bc＝(a-b)ca>b∴a-b>0當(dāng)c>0時(shí)，(a-b)c>0即ac>bc．c>d

當(dāng)c<0時(shí)，(a-b)c<0即ac<bc．類比定理3推論，假想同向不等式相乘，不等號(hào)方向能否改變？即假如能否必定能得出ac>bd？(舉例說明)可否增強(qiáng)條件得出ac>bd呢?(指引學(xué)生探究，得出推論)．推論1假如a>b>0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法例)

a>b，證明：

ab,c

0

ac

bc

①又

c

d,b

0,

∴bc

bd

②由①、②可得acbd說明：（1）上述證明是兩次運(yùn)用定理

4，再用定理

2證出的；（2）全部的字母都表示正數(shù)，假如僅有ab,cd，就推不出acbd的結(jié)論（3）這一推論能夠推行到隨意有限個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘這就是說，兩個(gè)或許更多個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向推論2若ab0,則anbn(nN且n1)說明：（1）推論2是推論1的特別情況；（2）應(yīng)重申學(xué)生注意n∈且n1的條件N假如a>b>0，那么an>bn(nN，且n>1)定理5若ab0,則nanb(nN且n1)點(diǎn)撥：碰到困難時(shí)，可從問題的反面下手，即所謂的“正難則反”．我們用反證法來證明定理5，由于反面有兩種情況，即nanb和nanb，因此不能只能否認(rèn)了nanb，就“歸謬”了事，而一定進(jìn)行“窮舉”證明：假設(shè)na不大于nb，這有兩種狀況：nanb，或許nanb由推論2和定理1，當(dāng)nanb時(shí)，有ab；當(dāng)nanb時(shí)，明顯有ab這些都同已知條件ab0矛盾因此nanb評(píng)論：反證法證題思路是：反設(shè)結(jié)論→找出矛盾→必定結(jié)論．三、解說典范：例1已知ab0且0cd，求證：ab(相除法例)cd證：∵dc0110ab∴cdcdab0例2已知a>b>0，c<0，求證：ccab證明：∵ab0,兩邊同乘以正數(shù)1,得11,abba即11，又c<0∴ccabab例3已知a，b，x，y是正數(shù)，且11，x>y．求證：xyabxayb證：∵11>0∴b>a>0,ab又x>y>0∴xb>ay∴xy+xb>xy+ay即x(y+b)>y(x+a)∵a，b，x，y是正數(shù)，∴y+b>0，x+a>0∴xyaybx例4已知函數(shù)f(x)ax2c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范圍剖析：利用f(1)與f(2)想法表示a、c,而后再代入f(3)的表達(dá)式中，從而用f(1)與f(2)來表示f(3),最后運(yùn)用已知條件確立f(3)的取值范圍acf(1)a1[f(2)f(1)]解：∵解得34acf(2)14cf(2)f(1)33∴f(3)9ac8f(2)5f(1)33∵-4≤f(1)≤1,故(1)(5)(5)f(1)(4)(5)(1)333又-1≤f(2)≤5,故88f(2)40(2)333把(1)和(2)的各邊分別相加，得：-1≤8f(2)5f(1)≤2033因此，-1≤f(3)≤20評(píng)論：應(yīng)該注意，下邊的解法是錯(cuò)誤的：4ac1(1)依題意，得：4ac5(2)1由（1）（2）利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行加減消元，得0≤a≤3，1≤c≤7(3)因此，由f(3)9ac可得，-7≤f(3)≤27以上解法其錯(cuò)因在于，由（1）（2）獲得不等式（3）是利用了不等式性質(zhì)中的加法法例，而此性質(zhì)是單向的，不擁有可逆性，進(jìn)而使得a、c的范圍擴(kuò)大，這樣f(3)的范圍也就隨之?dāng)U大了四、講堂練習(xí)：1．已知ab0，cd0，e0，求證：eecbdaab0acbd011ee證：acbdcd0acbde06．假如ab0,cd0求證：logsinlogsindacb證：∵0sin1>1∴l(xiāng)ogsin0又∵ab0,cd0∴acbd∴1c1d∴l(xiāng)ogsinlogsinabacbd五、小結(jié)：經(jīng)過本節(jié)學(xué)習(xí)，大家要掌握不等式性質(zhì)的應(yīng)用及反證法證明思路，為此后不等式的證明打下必定的基礎(chǔ)六、課后作業(yè)：一選擇題：1．假如a>b>0,c>d>0,則以下不等式中不正確的選項(xiàng)是[C]A．a(chǎn)-d>b-cB．a(chǎn)bC．a(chǎn)+d>b+cD．a(chǎn)c>bddc2假如a、b為非0實(shí)數(shù)，則不等式11建立的充要條件是[D]abD．a(chǎn)2b-ab2<0A．a(chǎn)>b且ab<0B．a(chǎn)<b且ab>0C．a(chǎn)>b,ab<0或ab<03當(dāng)a>b>c時(shí)，以下不等式恒建立的是[B]A．a(chǎn)b>acB．(a-b)∣c-b∣>0C．a(chǎn)∣c∣>b∣c∣D．∣ab∣>∣bc|4已知a、b為實(shí)數(shù)，則“a+b>2”是“a、b中起碼有一個(gè)大于1”的[A]A充分不用要條件B必需不充分條件C充要條件D不充分也不用要條件5．logm2>logn2的充要條件是[C]A．n>m>1或1>m>n>0B．1>m>n>0C．n>m>1或1>n>m>0D．m>n>1二填空題：6．若-1<x<y<0,則1，1，x2，y2的大小關(guān)系為___x2>y2>1x>1yxy7．設(shè)角α、β知足，則α-β的取值范圍為-παβ<022<-8．若實(shí)數(shù)a>b,則a2-ab>ba-b2(填上不等號(hào))9．已知a>b>c，且a+b+c=0,則b2–4ac的值的符號(hào)為正數(shù)三解答題：10．已知x、y均為正數(shù)，設(shè)M=1x1y,N=x4y,試比較M和N的大小114(xy)2MN證明：MNyxyxy(x0xy)11．設(shè)函數(shù)f(x)的圖象為一條張口向上的拋物線,已知x、y均為正數(shù)，p>0,q>0且p+q=1,求證f(px+qy)<pf(x