反比例函數中及面積有關的問題

.word.word??反比例函數中與面積有關的問題知識點回憶由于反比例函數解析式及圖象的特殊性，很多中考試題都將反比例函數與面積結合起來進展考察。這種考察方式既能考察函數、反比例函數本身的根底知識內容，又能充分表達數形結合的思想方法，考察的題型廣泛，考察方法靈活，可以較好地將知識與能力融合在一起。下面就反比例函數中與面積有關的問題的幾種類型歸納如下:利用反比例函數中|k|的幾何意義求解與面積有關的問題kV=—設P為雙曲線上任意一點，過點P作X軸、y軸的垂線PM、PN,垂足分別為M、N,那么兩垂線段與坐標軸所圍成的的矩形PMON的面積為S=|PM|x|PN|=|y|x|x|=|xy|.._對7一x.?.xy=k故S=|k|從而得結論1：過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積S為定值|k|對于以下三個圖形中的情形，利用三角形面積的計算方法和圖形的對稱性以及上述結論，可得出對應的代I面積的結論為：結論2：在直角三角形ABO中，面iS=結論3：在直角三角形ACB中，面積為S=2|k|結論4：在三角形AMB中，面積為S=|k|類型之一k與三角形的面積探1、如圖，雙曲線『=k〔k>0〕經過直角三角形OAB斜邊0B的中點D,與直x角邊AB相交于點C?假設AOBC的面積為6,那Nk=.最正確答案過D點作DE丄x軸，垂足為E,由雙曲線上點的性質，得S△AOC=S^DOE=1k,2■/DE丄x軸，AB丄x軸，HYPERLINK/.DEIIAB，.?.△OABs△OED，

又tOB=2OD,/.S△OAB=4S△DOE=2k,由S△OAB-S△OAC=S△obc,得2k-1k=6,2解得：k=4.2、如圖1-ZT-1，分別過反比例函數y=2018(x>0)的圖象上任意兩點A、B作xx軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OA、OB，設AAOC和厶BOD的面積分別是S、S，比擬它們的大小，可得12,A.S>Sb.s=sc.s<sd.s、s大小不確定。121212123、在以下圖形中，陰影局部面積最大的是〔C〕4、如圖1-ZT-3，在平面直角坐標系中，點A是函數y=k〔x<0〕圖象上的點,x過點A作y軸的垂線交y軸于點B,點C在x軸上，假設AABC的面積為1,那么k的值為

J-k5、探如圖，在平面直角坐標系中，點A在函數；〔k<O,x<0〕的圖象上,過點A作人3〃『軸交x軸于點B,點C在y軸上，連結AC、BC.假設AABC的面積是3,那么k=_.試題分析：設點心的坐標宵S—廠由點直的坐標結合△期c的面積即可得m>￡曾=-AB-0B=—X（-皿）電解得宙-6?'7附6、如圖1-ZT-4,AOAC和^BAD都是等腰直角三角形,ZACO=ZADB=90°,反比例函數『=k在第一象限的圖象經過點B，假設OA2-AB2=8,那么k的值為x試題解析；設B點坐標為S,■-■AOAC和AEAD都是等腰直角三角形，.'.OA=n/yACjAB=血JOC=AC,AD=*D』■.■0A^AB:=8j；.2ACZ-2ADZ=8,即ACz-ADz=4,.'.(AC+AD)CAC-AB)=4,.'.(OC+ED)-CD=4,.'.3^=4^.-.k=4.類型之二k與平行四邊形的面積7、※如圖，在平面直角坐標系中，點A是函數y=E〔k<0,x<0〕圖象上的點，過點A與xy軸垂直的直線交y軸于點B,點C、D在x軸上，且BC//AD.假設四邊形ABCD的面積為3,那么k值為優(yōu)質解答.word...word..tAB丄tAB丄y軸,.?.ABIICD,tBC//AD,.四邊形abcd是平彳丁四邊形，.四邊形AEOB的面!R=AB?OE,tS平行四邊形ABCD=AB?CD=3,.四邊形AEOB的面積=3,???|k|=3,■/<0,/.k=-3,故答案為：-3.8、如圖，菱形0ABC的頂點的坐標為〔3,4〕，頂點A在x軸的正半軸上，反比例函數y=k(x>0)的圖象經過頂點B,那么k的值為〔〕。xA.12B.20C.24D.32.word.word??答案:???C的坐標為〔3,4〕，/.CD=4,OD=3,tCB//AO,???B的縱坐標是4,???OC=\CD2OD2=5,AO=OC=5,???四邊形coab是菱形，B的橫坐標是8,.?.k=8x4=32,應選D.

9、如圖1-ZT-6,函數y=-x與y=-4的圖象相交于A、B兩點，分別過A、B兩點x作y軸的垂線，垂足分別為C、D,那么四邊形ACBD的面積為〔〕。C.6D.C.6D.8分析：首先根據反比例函數圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向△AOC坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積汀關系即S=2同，得出△AOC=S△odb=2,再根據反比例函數的對稱性可知OC=OD，AC=BD，即可求出四邊形ACBD的面積.解答:解：???過函數y=-4的圖象上A，B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為x點C，D，S=S=|k|=2，△AOC△ODB2又■/OC=OD，AC=BD，/.S=S=S=S=2，△AOC△ODA△ODB△OBC/■四邊形ABCD的面積為：S+S+S+S=4x2=8.△AOC△ODA△ODB△OBC應選D.點評：此題主要考察了反比例函數y=k中k的幾何意義，即過雙曲線上x任意一點引X軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|；圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系即S=1|k|,是經?？疾斓囊粋€知識點；同時考察了反比例函數圖象的對2稱性■10、如圖1-ZT-7,點A是反比例函數y=2(x>0)的圖象上任意一點，ABx〃x軸交反比例函數y=-3的圖象于點B，以AB為邊作DABCD，其中點xC、D在x軸上，那么DABCD的面積未〔〕。A.2B.3C.4D.5」1心b/CODX11、如圖、1-ZT-8,在口ABOC中，兩條對角線交于點E，雙曲線『=k(k<0)的一x支經過C、E兩點，假□ABOC的面積為10,那么k的值是〔〕。A.-5B.-10C.-4D.-523分析:設E的坐標是(mrn)r則mn=kr平行四邊形超。匚中E是0A的中點r卿A的坐標是:(2m「卽)「匸的縱樂標是前「表示岀匸的橫坐標’則可以得到M即0君的長「然后根?平&四邊形的面積公式即可求彳尋啲值?倍「解：設E的塑標是(mrr)「ffl!Jmn=k「「平行四邊形A盹匚中E是。A的中點，皿的壘標是：(2mr2n)r匚的縱坐標是2門rL-L-把尸加弋入/二匚得：匕云「即C的橫坐標是：云..-.OB=AC~如「0呂邊上的高是2nfk■-(云-2m)-2n=10,gpic-4rnn=1Or；.k-4k=Wr故選占.馬罕，本題是乎形四邊形與反I：期固數的綜合應用r根JBE點的坐樁表示出AC：的長度是關鍵.類型之三k與矩形的面積12、如圖1-ZT-9,A、B兩點在雙曲線y=4上，分別過A、B兩點向坐標軸作垂x〔〕。D.〔〕。D.無法確定k13、如圖1-ZT-10,反比例函數y=；〔x>0〕的圖象經過矩形0ABC對角線的交點M,分別與AB、BC相交于點D、E,假設四邊形0DBE的面積為9,那么k的值為〔〕。A.1B.2C.3D.4考點：八、、?反比例函數系數k的幾何意義.專題：數形結合.分析：此題可從反比例函數圖象上的點E、M、D入手，分別找出△OCE、△OAD、矩形0ABC的面積與|k|的關系，列出等式求出k值.解答：k解：由題意得：E、M、D位于反比例函數圖象上，那么SAOCE=2,SA0AD=2,過點M作MG丄y軸于點G，作MN丄x軸于點N,那么S^ONMG=|k|,又tM為矩形ABC0對角線的交點，/.S矩形ABCO=4SDONMG=4|k|,

由于函數圖象在第一象限，k>0,那么P+P+9=4k,解得：k=3.應選C.0NAa-點八、、評：此題考察反比例函數系數k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于|k|，本知識點是中考的重要考點，同學們應高度關注.v=-(x>0)k14、如圖1-ZT-11,反比例函數y=：〔,k>0〕的圖象與矩形ABC0的兩邊相交于E、F兩點，假設E是AB的中點，S=2,那么k的值為。△BEF

分析：設E〔a,k〕，那么B縱坐標也為k，代入反比例函數的y=aax即可求得F的橫坐標，那么根據三角形的面積公式即可求得k的值.解：設E〔a,k〕，那么B縱坐標也為k,aaE是AB中點，所以F點橫坐標為2a,代入解析式得到縱坐標：土,2aBF=k-JL=JL，所以F也為中點,a2a2aS=2=￡,k=8.△bef4故答案是：8.點評：此題考察了反比例函數的性質，正確表示出BF的長度是關鍵.k15、如圖1-ZT-12,點P、Q是反比例函數y=x圖象上的兩點，PA丄y軸于點A,QN丄x軸于點N,PM丄x軸于點M,QBy軸于點B，連接PB、QM,^ABP的面積記為S,△QMN的面積記為記為S,△QMN的面積記為S,那么SS2（填“>"“<"或“="）iQ-'MNk16、如圖1-ZT-13,在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，矩形0ABC的邊0A、0C分別在x軸和y軸上，其中0A=6,0C=3,反比例函數y=：〔,k>0〕的圖象經過BC邊的中點D,交AB于點E?！?〕k的值為；〔2〕猜測△的面積與△的面積之間的關系，并說明理由。答案：〔1〕9；〔2〕SAOCD=SAOBE，理由見解析.【解析】試題分析：〔1〕根據題意得出點D的坐標，從而可得出k的值：t0A=6,OC=3,點D為BC的中點，?.D〔3,3〕.???反比例函數〔x>0〕的圖象經過點D,「.k=3x3=9.〔2〕根據三角形的面積公式和點D,E在函數的圖象上，可得出S^OCD=S^OAE，再由點D為BC的中點，可得出S^OCD=S^OB...類型之四k與多邊形的面積17、如圖1-ZT-14所示，過點A〔2,-1〕分別作y軸、x軸的平行線交雙曲線

y=-于點B、c,過點C作CE丄x軸于點E,過點B作BD丄y軸于點D，連接ED,x假設五邊形ABDEC的面積為34,那么k的值為。18、如圖1-ZT-14,點P是反比例函數y=k〔k>0,x>0〕圖象上的一動點，x1過點P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點，交反比例函數y=佇x〔k<0,且|k|<k〕的圖象于E、F兩點。221圖1中，四邊形PEOF的面iS=〔用含k、k的式子表示〕；112圖2中，設P點坐標為〔2,3〕，①點E的坐標是〔,〕，〕〔用含k2的式子表示〕；〕〔用含k2的式子表示〕；點F的坐標是〔.word...word..解答：（1）vP是點P是反比例函數y=￡〔k>0,x>0〕圖象上一動點，.?.S=kTOC\o"1-5"\h\zx1tE、F分別是反比例函數y=k〔k<0且|k|<k〕的圖象上兩點，x221/.SAOBF=SAAOE=1|k|,22四邊形PEOF的面積s=s+S+S=k+|k|,1矩形PBOAAOBFAAOE12Tk<0,2四邊形PEOF的面積S=S+S+S=k+|k|=k-k.1矩形PBOAAOBFAAOE1212〔2〕①tPE丄x軸，PF丄y軸可知，P、E兩點的橫坐標一樣，P、F兩點的縱坐標一樣，???E、F兩點的坐標分別為E〔2,k2〕，F〔k2,3〕；23②tP〔2,3〕在函數y=k的圖象上，x?k=6,1tE、F兩點的坐標分別為E〔2,k〕，F〔k,3〕；TOC\o"1-5"\h\z23?PE=3-k,PF=2-k223z.SAPEF=1〔3-k〕〔2-k〕=（6—k2）222312.?.SAOEF=〔k-k〕-（6_k2）2121236-k2c2~12.word.word??.?.k=±22Tk<0,2.■?k=-2..?.y=——2題型之五：k與面積綜合16、如圖1,在平面直角坐標系中，0為坐標原點，P是反比例函數y=12〔x>0〕x圖像上任意一點，以P為圓心，P0為半徑的圓與坐標軸分別交于A、B。(1)求證：線段AB為OP的直徑；求△AOB的面積。如圖2,Q是反比例函數y=12〔x>0〕圖像上異于點P的另一點，以Q為x圓心，QO為半徑畫圓與坐標軸分別交于點C、D。求證：DO?OC=BO?OA。L)證明：■.■ZAOB=9011,SZAOB是的中弦AB所對的圓周角,二陽是①卩的直徑.⑵解：設點P坐標対<m,n)<m>0,n>0),丁點P是反比例III數Y=—<^>0)團象上一點'.'.mii=42■I如答飢過點F作PXIlx軸于點M,PN丄y軸于點汕則OM=m,ON=n.由垂徑定理可知，點引為OA中點，點N為Cffi中點；.■-OA=2OMr=2m^OB=2ON=2nj.'.S^\ob=—3-0*0A=—x2nx.2iiL=2mn=2x12=2斗.22C3)■-證明::若點Q為反比例團數y=—(x>0>團象上異干點P的另一點,x參照(2〉』［司理可得；Scdd=-00*CO245.2則有：SicoD^s^AOE^-,即1bo*oa=1do-co,22反比例函數相關練習題1.如圖，直Sy=-x上有一長為J2動線段MN,作MH、NP都平行y軸交在條件〔2〕下，第一象限內的雙曲Sy=k