2022-2023學年吉林省長春市高一年級上冊學期期末數學試題2【含答案】

2022-2023學年吉林省長春市高一上學期期末數學試題一、單選題1．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題直接寫出即可.【詳解】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，故命題“，”的否定是“，”.故選:D.2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式化簡集合，再根據并集的運算即可求解.【詳解】，，故.故選:D.3．下列函數既是奇函數，又在定義域內是減函數的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對于A,分析其單調性可判斷；對于B，分析其奇偶性可判斷；對于C，分析其奇偶性與單調性可判斷；對于D,分析其單調性可判斷.【詳解】對于A，的定義域為，在與上單調遞減，但在定義域內不是減函數，故A錯誤；對于B，設，則，故函數為偶函數，故B錯誤；對于C，設，定義域為，且,故為奇函數.又與在上都為減函數，故在上為減函數，故C正確；對于D，設，其定義域為，在定義域內不是減函數，故D錯誤.故選:C.4．設，則“”是“，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用正弦二倍角公式得到，求出或，從而得到故“”是“，”的必要不充分條件.【詳解】，故，故或，解得：或，故“”是“，”的必要不充分條件.故選：B5．古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇面.已知某扇面如圖所示，其中外弧線的長為，內弧線的長為，連接外弧與內弧的兩端的線段均為，則該扇面面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據扇形弧長公式可構造方程組求得圓心角和大小扇形的半徑，代入扇形面積公式中，作差即可得到扇面面積.【詳解】由題意知：該扇面面積為一個大扇形面積減掉一個小扇形的面積，設大扇形的半徑為，小扇形的半徑為，則，設扇形的圓心角為，則外弧線長為，內弧線長，，，，該扇面面積.故選：B.6．若，，，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】由題意可得，再利用基本不等式可得，求關于的一元二次不等式即可求解.【詳解】因為，所以，即，解得或（舍）.故，當且僅當時等號成立.所以的最小值為2.故選:C.7．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據對數函數的性質、指數函數及正弦函數的性質比較即可.【詳解】，即，，即，,即，故.故選:C.8．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩角和差正弦公式和輔助角公式可化簡已知等式求得，利用二倍角余弦公式得到后，利用誘導公式可求得結果.【詳解】，，.故選：D.二、多選題9．下列函數存在零點且零點在區(qū)間內的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】對于ACD，分析其單調性，結合零點存在定理可判斷；對于C，直接求零點可判斷.【詳解】對于A，在上單調遞增，且,故函數在內有零點，故A正確；對于B，，故,故在內有零點，故B正確；對于C，在上單調遞增，且，，故函數在內有零點，故C正確；對于D，在上單調遞增，且，，故函數在內有零點，故D正確.故選:ABCD.10．下列命題是真命題的是（

）A．若函數的定義域為，則函數的定義域為B．函數（其中且）的圖象過定點C．函數的單調遞減區(qū)間為D．已知在上是增函數，則實數的取值范圍是【答案】BD【分析】根據可求得的范圍，即為定義域，知A錯誤；由恒成立可知B正確；根據對數型復合函數單調區(qū)間的求法可知C錯誤；令分段函數每一段單調遞增且在分段處函數值大小關系符合單調遞增關系即可構造不等式組求得D正確.【詳解】對于A，的定義域為，即，，的定義域為，A錯誤；對于B，，圖象過定點，B正確；對于C，令，由知：，在上單調遞增，在上單調遞減，又在上單調遞增，的單調遞減區(qū)間為，C錯誤；對于D，在上是增函數，，解得：，即實數的取值范圍為，D正確.故選：BD.11．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經濟環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中使用.如圖，一個半徑為6米的筒車逆時針勻速轉動，其圓心O距離水面3米，已知筒車每分鐘轉動1圈，如果當筒車上一盛水桶M（視為質點）從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，經過t秒后，盛水桶M運動到P點，則下列說法正確的是（

）A．當秒時，米B．在轉動一周內，盛水桶M到水面的距離不低于6米的持續(xù)時間為20秒C．當時，盛水桶M距水面的最大距離為米D．盛水桶M運動15秒后筒車上另一盛水桶恰好露出水面，則轉動中兩盛水桶高度差的最大值為米【答案】ABCD【分析】以水輪所在平面為坐標平面，以水輪軸心為坐標原點，以平行于水面的直線為軸建立平面直角坐標系,點距離水面的高度關于時間的函數為，根據題意可得，再逐項分析即可.【詳解】如圖建立平面直角坐標系,點距離水面的高度關于時間的函數為，由題意可得，解得.又筒車每分鐘轉動1圈，則.所以.由，解得，所以，則.當時，筒車旋轉，即，故，故A正確；由，可得，故，解得.故盛水桶M到水面的距離不低于6米的持續(xù)時間為20秒，故B正確；時，，因為，所以在上單調遞增，所以，故C正確；設盛水桶M運動15秒后筒車上另一盛水桶恰好露出水面，則,所以轉動中兩盛水桶高度差的最大值為米，故D正確.故選:ABCD.12．已知函數與的定義域均為，且，，為偶函數，則（

）A．函數的圖像關于直線對稱 B．C．函數的圖像關于點對稱 D．【答案】ACD【分析】根據為偶函數，可判斷A；由題意可得，，求出的對稱中心可判斷BC；由的對稱性可判斷函數的周期為，故，賦值求解即可判斷D.【詳解】因為為偶函數，所以，故函數的圖像關于直線對稱，故A正確；因為，所以，即①.因為②，所以③.①+③，得，故函數的圖像關于點對稱，故C正確，B錯誤；因為函數的圖像關于直線對稱，所以.①-②，得，所以.所以，即函數的周期為.所以.在中，令，可得④，在中，令，可得，即⑤.⑤-④，得，故，故D正確.故選:ACD.【點睛】關鍵點睛：函數的對稱性：若，則函數關于中心對稱；若，則則函數關于對稱.三、填空題13．__________．【答案】【詳解】分析：根據誘導公式以及特殊角三角函數值得結果.詳解：點睛：本題考查誘導公式，考查基本求解能力.14．已知函數，則______.【答案】0【分析】根據分段函數的解析式直接求解即可.【詳解】因為，所以.因為，所以.所以.故答案為:0.15．熱搜度指網站從搜索引擎帶來最多流量的關鍵詞及其內容的熱度，著名的物理學家牛頓在世紀提出了牛頓冷卻定律，描述溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒質傳遞熱量逐漸冷卻時所遵循的規(guī)律.統(tǒng)計學家發(fā)現(xiàn)熱搜度也遵循這樣的規(guī)律，即隨著時間的推移，熱搜度會逐漸降低，假設事件的初始熱搜度為，經過時間（天）之后的熱搜度變?yōu)椋渲袨槔鋮s系數.假設某事件的冷卻系數，則經過______天后該事件的熱搜度將降到初始的以下（參考數據：，天數取整數）.【答案】【分析】由可直接解不等式求得結果.【詳解】由題意知：，當時，，即，，又，，即經過天后，該事件熱搜度將降到初始的以下.故答案為：.16．已知等邊三角形三個頂點分別在函數與圖象上運動，且原點在線段上，則______.【答案】或##或【分析】由函數對稱性可知，根據等邊三角形性質可知；設，分別討論在和上兩種情況，與直線方程聯(lián)立可求得，與直線方程聯(lián)立可求得，由此可構造方程求得的值.【詳解】在線段上，與均關于原點對稱，則關于坐標原點對稱，，又為等邊三角形，；設所在直線為，則，①當在上時，，由得：，，；由得：，，，，解得：；②當在上時，，由得：，，；由得：，，；，解得：；綜上所述：或.故答案為：或.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用函數的對稱性求解參數值的問題，解題關鍵是能夠根據反比例函數的對稱性，確定與的垂直關系，從而可利用的長度關系構造方程求解.四、解答題17．已知函數，（，且）．(1)求函數的定義域；(2)判斷函數的奇偶性，并證明．【答案】(1)(2)函數為定義域上的偶函數，證明見解析【分析】（1）由題意可得，解不等式即可求出結果；（2）令，證得，根據偶函數的定義即可得出結論.【詳解】（1）由，則有，得．則函數的定義域為．（2）函數為定義域上的偶函數．令，則，又．則，有成立．則函數為在定義域上的偶函數．18．已知，且.(1)求的值；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）結合已知等式和角的范圍可確定的正負，利用同角三角函數平方關系與已知等式構造方程組求得，由此可得；（2）利用二倍角正切公式可求得，利用誘導公式化簡所求式子，根據正余弦齊次式的求法直接求解即可.【詳解】（1），，又，；則由得：（舍）或，.（2）由（1）得：，.19．已知函數.(1)用“五點法”畫出在上的圖象（要求列表、描點、畫圖）；(2)將的圖象向下平移個單位，橫坐標擴大為原來的倍，再向左平移個單位后，得到的圖象，求的最小正周期與對稱中心.【答案】(1)圖象見解析(2)最小正周期，對稱中心為【分析】（1）根據“五點法”依次列表、描點，即可作出函數圖象；（2）根據三角函數平移和伸縮變換原則可求得；根據正弦型函數最小正周期可得；令，可解得對稱中心橫坐標，結合此時可求得對稱中心.【詳解】（1）列表如下：則可描點，作出圖象如下圖所示，（2）向下平移個單位得：，將橫坐標擴大為原來的倍得：；將向左平移個單位得：；的最小正周期；令，解得：，此時，的對稱中心為.20．已知函數，，且的最大值為.(1)求常數的值；(2)求的最小值以及相應的值.【答案】(1)(2)當時，【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式可化簡得到；根據，結合最大值可構造方程求得的值；（2）根據可知當時，取得最小值，由此可得最小值和對應的的值.【詳解】（1），當時，，，解得：.（2）由（1）知：，且當時，，當，即當時，.21．近來，國內多個城市紛紛加碼布局“夜經濟”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進而提升區(qū)域經濟發(fā)展活力．某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間x（單位：天）的函數關系近似滿足（k為常數，且），日銷售量（單位：件）與時間x（單位：天）的部分數據如下表所示：x10152025305055605550已知第10天的日銷售收入為505元．(1)給出以下四個函數模型：①；②；③；④．請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數模型來描述日銷售量與時間x的變化關系，并求出該函數的解析式；(2)設該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值．【答案】(1)選②，(2)【分析】（1）由第10天的日銷售收入為505元，求出，再根據表中數據可知時間變換時，先增后減，則選模型②，再利用待定系數法求出參數，即可得解；（2）分和，兩種情況討論，結合基本不等式和函數的單調性即可得出答案.【詳解】（1）解：因為第10天的日銷售收入為505元，則，解得，由表格中的數據知，當時間變換時，先增后減，函數模型：①；③；④都是單調函數，所以選擇模型②：，由，可得，解得，由，解得，所以日銷售量與時間的變化的關系式為；（2）解：由（1）知，所以，即，當時，，當且僅當時，即時等號成立，當時，為減函數，所以函數的最小值為，綜上可得，當時，函數取得最小值.22．設函數.(1)證明：在上單