阿波羅尼奧斯圓錐曲線

關于阿波羅尼奧斯圓錐曲線第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日一、圓錐曲線的由來圓錐曲線是橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)稱，因為他們都可以通過“用平面截圓錐”來得到，所以叫圓錐曲線。第一個考察圓錐曲線的事希臘學者梅內赫莫斯（公元前375-前325）第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日

圓錐曲線的雛形他取三個頂點分別為直角銳角和鈍角的正圓錐，然后各作一個平面分別垂直于三個圓錐的一條母線，并與圓錐相截：他把所得三條截線分別稱為“直角圓錐截線”，“銳角圓錐截線”和“鈍角圓錐截線”，實際上就是今天我們所說的拋物線，橢圓，一支等軸雙曲線：這是圓錐曲線最早的名稱。第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日當時，這三種曲線均以圓錐曲面為基礎得到，但這三種曲線是分別以三種不同的圓錐曲面作為基礎得到的。約一百年后，古希臘的著名數(shù)學家阿波羅尼奧斯更詳盡、更系統(tǒng)地研究了圓錐曲線。第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日阿波羅尼奧斯的圓錐曲線論阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)，所有三種曲線只要以一種圓錐曲線為媒介就夠了，需要改變的只是界面的位置，而且作為媒介的圓錐曲面可以取上面三種中的任何一種第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日拋物線雙曲線第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日當截面與圓錐地面的夾角小于圓錐母線與圓錐地面的夾角時，截面是橢圓，當這兩角相等時，截線是拋物線，當前一個角大于后一個角時，截線是雙曲線。第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日簡介阿波羅尼奧斯（Apollonius)公元前262年出生于小亞細亞的玻爾加，公元前190年卒于古埃及的亞歷山大。亞歷山大時期第三位重要的數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德齊名，其貢獻涉及幾何學和天文學。第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日生平《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨作，可以說代表了希臘幾何的最高水平，直至17世紀笛卡爾、帕斯卡出場之前，始終無人能夠超越。阿波羅尼奧斯寫此書被后世譯者稱為“大幾何學家”。第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日《圓錐曲線論》全書共八卷，含487個命題。此書集前人之大成，且提出很多新的性質。他推廣了梅內克繆斯的方法，證明三圓錐曲線可以由同一個圓錐體截取而得，并給出拋物線、橢圓、雙曲線、正焦弦等名稱。他以圓錐體底面直徑為橫坐標，過頂點的垂線為縱坐標，這給后世坐標幾何的建立以很大的啟發(fā)。他在解釋太陽系內5大行星的運動時，提出了本輪均輪偏心模型，為托勒密的地心說提供了工具。第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日學習生涯阿波羅尼奧斯年青時到亞歷山大跟隨歐幾里得的后繼者學習，那時是托勒密三世（246BC—221BC）統(tǒng)治時期，到了托勒密四世（221BC—205BC）時代，他在天文學研究方面已頗有名氣。后來到過小亞細亞西岸的帕加馬王國居住與工作，晚年回到亞歷山大，并卒于該城。第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日貢獻阿波羅尼奧斯的主要成就是建立了完美的圓錐曲線論，總結了前人在這方面的工作，再加上自己的研究成果，撰成了《圓錐曲線論，將圓錐曲線的性質網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地。第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日除《圓錐曲線論》外，阿波羅尼奧斯還有好幾種著作，為后世學者（特別是帕波斯）所提及。列舉如下：1《截取線段成定比》2《截取面積等于已知面積》3《論接觸》4《平面軌跡》5《傾斜》6《十二面體與二十面體對比》第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日此外還有《無序無理量》、《取火鏡》、圓周率計算以及天文學方面的著述等。阿波羅尼奧斯和歐幾里得、阿基米德合稱為亞歷山大前期的三大數(shù)學家（約300BC—200BC），這是古希臘數(shù)學的全盛時期或“黃金時代”。第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日二、圓錐曲線的定義橢圓：平面上到兩定點F1,F2（焦點）的距離之和為定長的動點的軌跡稱為橢圓雙曲線：平面上到兩定點F1,F2（焦點）的距離之差的絕對值為定長的動點的軌跡稱為雙曲線拋物線：平面上到一定點F的距離與到一定直線的距離相等的動點的軌跡稱為拋物線。第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面上到一定點F的距離與到一不過該定點的定直線L的距離之比為常數(shù)e的動點的軌跡稱為圓錐曲線。e<1為橢圓e>1為雙曲線e=1為拋物線。第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日離心率的變化過程第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日離心率的連續(xù)量變從上圖可以看出：離心率的連續(xù)量變導致了曲線的之變：當e從小于1逐漸趨于1時，橢圓從右邊逐漸趨近于拋物線當e從大于1逐漸趨于1時，雙曲線的左支逐漸遠離原點，而右支從左邊逐漸趨近于拋物線。可以將拋物線看成是e趨向于1時橢圓和雙曲線的極限形式第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日圓錐曲線統(tǒng)一形式在直角坐標系下，三種不同的圓錐曲線的方程也可以具有統(tǒng)一的形式。見P163.17世紀的開普勒和18世紀的歐拉就已經(jīng)有了這種從運動的、變化的觀點，把各種圓錐曲線看做是在同一個系統(tǒng)中的看法。第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)學的統(tǒng)一美從給出三種圓錐曲線分別的定義到統(tǒng)一的定義，讓我們看到數(shù)學的“統(tǒng)一美”。只有抓住了不同事物共同的本質，才能用統(tǒng)一的觀點，統(tǒng)一的語言來描述幾種不同的事物。事物的本質是內在的，當我們用統(tǒng)一的語言把它敘述出來時，這種內在的本質就外化了，讓我們有一種透過現(xiàn)象看到本質的快感。第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日開普勒的行星定律開普勒（15711630）第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日開普勒的行星定律開普勒的行星定律是以布拉赫數(shù)十年對於行星運行的觀察數(shù)據(jù)為基礎，再花十多年功夫才找到一個吻合布拉赫數(shù)據(jù)的數(shù)學模型。他終於在1609年完成了火星運行的數(shù)學理論。第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日開普勒的行星定律第一定律：行星沿橢圓軌道繞太陽運行，太陽位於橢圓的一個焦點之上。第二定律：在相等時間內，連接每顆行星與太陽的向徑所掃過的面積皆相等。第三定律：每顆行星繞太陽運動的公轉周期的平方與它們到太陽的平均距離的立方成正比。第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日開普勒的行星定律太陽火星開普勒的發(fā)現(xiàn)，為圓錐曲線的研究添上了一層實際的意義。第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日三個宇宙速度與發(fā)射體的軌跡第一宇宙速度(環(huán)繞地球速度)V1=7.91km/s，第二宇宙速度(脫離地球速度)：V2=11.2km/s第三宇宙速度（脫離太陽系速度）V3=16.7km/s在V1<V<V2,發(fā)射體的軌道是橢圓V=V2，發(fā)射體的軌道是拋物線（的一半）V>V2,發(fā)射體遠離，軌道是雙曲線一支（的一半），不再回到地球。第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日V2<=V<V3,發(fā)射體的軌道是以太陽為一個焦點的橢圓，發(fā)射體成為一個人造行星。V>=V3，發(fā)射體將掙脫太陽的引力，飛到太陽系以外去。第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日三、拋物線的應用能反射光線的鏡面的縱剖面是一條拋物線，它有一個特性：從置放在拋物線焦點的點光源發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射后的光線都是平行的；反之，入射的平行光線經(jīng)拋物線反射后的光線都經(jīng)過焦點第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日拋物線的應用汽車前燈第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日拋物線的應用太陽灶：利用太陽光為平行光，經(jīng)過拋物鏡面的反射而集中于焦點，在焦點處產(chǎn)生高溫（焦點的由來）F90285第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日拋物線的應用礦山爆破時，在爆破點處炸開的礦石的軌跡是不同的拋物線。根據(jù)地質、炸藥的因素可以算出這些拋物線的范圍。這個范圍的邊界又是一條拋物線，叫做“安全拋物線”。見教材P168:圖3.5.13第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日雙曲線的建筑方面的應用雙曲線繞虛軸旋轉形成單葉雙曲面，單葉雙曲面上有兩族直母線。在建筑上可以把鋼筋作為兩族直母線，使他們構成單葉雙曲面。這樣設計的建筑物非常輕巧又堅固。第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日單葉雙曲面之冷卻塔27121455第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日廣州電視塔小蠻腰其設計師是荷蘭IBA事務所的馬克·海默爾和芭芭拉·庫伊特。有一天，我在廚房把一些彈性橡皮繩綁在兩個橢圓形的木盤之間，一個在底部，一個在頂部。當我開始旋轉頂部橢圓的時候，一個復雜的形狀出現(xiàn)了。我開始激動起來，要從這個簡單的想法開始，把它發(fā)展成一個建筑物。第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日小蠻腰第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日小蠻腰第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期日雙曲線在航海中的應用海上航行的輪船有一種“雙曲線時差定位法”，就是利用“雙曲線上的點到兩焦點的距離之差為一個常數(shù)”的原理設計的。第37頁，共39頁，2023年，2月20日，