2021年高考數(shù)學的立體幾何多選題附解析

2021年高考數(shù)學的立體幾何多選題附解析一、立體幾何多選題1.已知三棱錐A-BCD的三條側棱AC,AD兩兩垂直，其長度分別為Q，b,c?點人在底而BCD內的射影為點久B,C,D所對面的而積分別為，SrS/S”在下列所給的命題中，正確的有OA-SA?sbBCO=S；:B.<. iC.若三條側棱與底而所成的角分別為e,0L片，則siii+siii+sin2/）=1：D.若點M是而BCD內一個動點，且與三條側棱所成的角分別為&2,02,N，則cos2a2+COS2024-COS2/2=1?【答案】ACD【分析】由RuOOA與RmO'AD相似，得邊長關系，進而判斷A正確：當M與。重合時，注意線面角與線線角的關系，即可得C正確：構造長方體，建立直角坐標系，代入夾角公式計算可得D正確：代入特殊值，可得B錯誤.【詳解】由三棱錐A-BCD的三條側棱AB,AC,AD兩兩垂直，則將三棱錐A-BCD補成長方體ABFC-DGH^連接DO并延長交BC于則AO±BC.對A：由RuO'OA與RmO'AD相似，則O=d0x0rD又“冷BCQD,冷BCOO,TOC\o"1-5"\h\z? ?1 yiS；=—BCO'A=-BG-O'A?（2 ）4所以“?S、BW=S；，故A正確.I 3對B：當a=b=c=1 S；=S：=S：=g，則S：+S：.+S：=j,時，而f五_3/3,此時S；>S；+SW故B不正確.Ln一—r-八”一品— 「 ——-~———aI2 2 8 8'J J 對D：分別以AB.AC,AD為x,y,z軸，建立空間直角坐標系.設M(x,y,z),則AM=(x,y,z),IAMI=jF+b+z?,AB=(a,0.0),AC=(。,八。)，AD=(0^c)所以C0S2a+C0S202+C0S212AM-AB2，AMACAMAD?>22Q 君t= + + =1,所以D正確.\AM[\AM[\AM\對C：當M與0重合時，40，面BCD、由D有cos2a+cos2角+cos2/2=1,由各側棱與底而所成角與側棱與所40成角互為余角，可得C正確.ACDACD【點睛】關鍵點睛：本題考查空間線而角、線線角、而積關系的問題，il?算角的問題關鍵是建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，利用數(shù)量積的公式代入計算，解決這道題目還要結合線面角與線線角的關系判斷.2.如圖.一個結晶體的形狀為平行六而體ABCD-A&iGD，其中，以頂點A為端點的三條棱長都等于1,且它們彼此的夾角都是60S下列說法中正確的是（）A.（認+4總+45,二2|41）B.人在底而ABCD上的射影是線段BD的中點與平而ABCD所成角大于45。BQ與AC所成角的余弦值為@【答案】AC【分析】對A,分別計算（趴+麗+而）’和正2,進行判斷；對B,設BD中點為0,連接兒0,假設人在底iiuABCD上的射影是線段BD的中點，應得AlOAB=0,計算ApABP,即可判斷出在底飛BCD上的射影不是線段BD的中點：對C,計算，根據(jù)勾股左理逆泄理判斷得AA±AC,俱IJ與平而ABCD所成角為Z^AC,再計算tanZAjAC；對D,計算，AC以及BD；AC,再利用向量的夾角公式代入計算夾角的余弦值.【詳解】對A,由題意，AA…-AB=AA…-AD=AD-A=1x1xcos60+AB+ADj=AAX+AB~4-AD2+2AA=AB+2ABAD+2A4*-AZ）=l+l+l+3x2x1=6,AC=AB+AD'所以AC=（AB+A￡））=AB+2ABAD+AD=14-1+1=3,所以（鬲+而+而）'=2（正『=6,故A正確；對B,設BD中點為0,連接A］O,I II?A}O=A.A+AO=AA+-AC=AA+-AD+-AB,若人在底而ABCD上的射影是線段BD的中點，則人。，平而ABCD,則應刁Q?而=0,又因為應.AB=\Xa+-AD+，而］?而二一忒.AB+，而?AB+，而一―， ，+，呂+±I22 222 24I2，故B錯誤；對D,?5Dx=7j5+a\-A5〃C=ab+7j5.所叫昭］J（Ab+AA^-AB）=y/2^AC\=XAB+A2=>/3,陌?走=（麗+研一麗）-⑼+而）=而?AB+AD2+AA=AB+AA1而一殛，一麗?而=1,心<吆走〉二筒角二右=￡,故D不正確;對0阿卜|卒卜屁在"AC中，IA,AI=l,IACI=V2,IACI=>/3,所以\A飛［+\AP［=\ACL所以±A{C,所以與平而ABCD所成角為ZA/C,又tanZA1AC=八2>1,即ZAjAC>45\故C正確：故選：AC【點睛］方法點睛：用向疑方法解決立體幾何問題，需要樹立"基底"意識，利用基向量進行線性運算，要理解空間向量概念、性質、運算，注意和平而向量類比：同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，利用向量的夾角公式求解.3.在正方體ABCD-\qCXD｛中，A、N分別是棱AB>cq的中點，的頂點P在棱cq與棱qq上運動，有以下四個命題正確命題的序號是（）A.平而MBf^ND、B.平而MBf，平而NDA在底飛BCD上的射影圖形的而積為定值在側面DQCD上射影圖形是三角形【答案】BC【分析】取N與P重合，結合勾股左理可判斷A選項的正誤；利用而而垂直的判立泄理可判斷B選項的正誤：分點P在棱CG、G9上運動兩種情況討論，利用三角形的而積公式可判斷C選項的正誤；取點P與點。重合，判斷MBf在側面DQCD上射影圖形形狀，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，設正方體ABCD-A.B力.的棱長為2,如下圖所示：

當點P與點TV重合時，若ND】，下MB/, B、Nu平而MB.P,則NQ，B、N,由勾股建理可得DN=JCN+C\D；二書，同理可得B、N=$RD\=2近,.?bN+D'MwgA,則nd與BIN不垂直，假設不成立，A選項錯誤：對于B選項，取3$的中點E，連接A￡、EN,在正方體ABCD—ABC?中，BBJg,且E、N分別為BB、、cq的中點，則B\EHC\NRB\E=C\N所以，四邊形B.ENQ為平行四邊形，則ENIIB.C.且EN=B.C,,?：Apj/BG且A￡]=B]C],所以，fDJ/EN且A]9=EN,所以，四邊形AfNDi為平行四邊形，所以，A\E叫N,B、E=BM,ZA1B,E=ZB1BM=90,所以，Rt-A,BE=R/BBM,xx所以，ZB1A1E=ZBBpW，所以，Z/l.EB,+ZBB.M=ZA.EB,+ZB{A,E=905,:.ZB\FE=90所以，BM±AR,?.?平而AA]B]B9B[Mu平面AA{BXB,/.RM±AXD{,v/41D1HA1E= ,￡￡>]、A]Eu平而NDlAx,/.MB」平而NDR,?.?MB】u平而MBf,所以，平而MBf,平而NDA,B選項正確：對于C選項，設正方體ABCD-A占GP的棱長為a.若點尸在棱cq上運動時，小仲在底飛BCD上的射影為5BC,此時，射影圖形的而積為S,,冊。=L/-I=1若點P在棱上運動時，設點p在底而ABCD上的射影點為G,則GeCD,且點G到AB的距離為在底面ABCD內的射影為MB,貝在底面ABCD內的射影為^MBa綜上所述，在底而ABCD內的射影圖形的而積為左值，C選項正確;對于D選項，當點P與G重合時，P、兩點在平而UGCD上的射影重合，此時，在側而DGCD上的射影不構成三角形，D選項錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：證明而而垂直常用的方法：面面垂直的定義;面而垂直的判定定理.在證明而而垂直時，一般假設而面垂直成立，然后利用而而垂直轉化為線而垂直，即為所證的線而垂直，組織論據(jù)證明即可.

4?如圖，正方體ABCD-gCR的棱長為3,點E,F分別在CCt,BB】上,}E=2EC?BF=2FB{點M在側內（包含邊界）運動，且滿足直線BM〃平而REF，則（）A.過內￡,F的平而截正方體所得截而為等腰梯形B.三棱錐U—EFM的體積為泄值c.動點M所形成軌跡的長度為屁D.過〃，E,M的平而截正方體所得截而面積的最小值為3皿【答案】BCD【分析】4"BEF即可得B選由題做出過0,E，F(xiàn)的平而截正方體所得截面為梯形D\EFN,進而計算即可排除4"BEF即可得B選BM//'KimD{EF，由等體積轉化法得耳嚴陽=丫"_。嚴=B-D1EF=項正確：取人人靠近￡點的三等分點丹，DQ靠近D點的三等分點/,易知M的軌跡為線段其長度為扇，故c選項正確：過M點做比的平行線交人人于P,交DD、于0,連接BPQE，易知過B,E,M的平面截正方體所得截面即為平行四邊形BPOE,進而得當H位于點/時，截面而積最小，為四邊形ABEI的面積，且面積為S=ABBE=3g.【詳解】解：對于A選項，如圖，取中點G,連接Afi,由點F分別在CC[9上，QE=2E}云=2丘「故四邊形AQEG為平行四邊形，故AfiUDfi,由于在△AQG,F為BQ中點，3)2>當N為AB】中點時，有NFI!Afi/9，故過LE3)2>F的平而截正方體所得截而為梯形D\EFN此時D、N=32EF=V3r+l?=5/10＞故梯形PEFN不是等腰梯形，故A選項錯誤：對于B選項，三棱錐D,-EFM的體積等于三棱錐M—D.EF的體積，由于BMH平面口￡已故三棱錐M-D.EF的體積等于三棱錐B-D.EF的體積，三棱錐8-呻的體積等于三棱錐U—BEF的體積，而三

棱錐D,-BEF的體積為泄值，故B選項正確：對于C選項，取靠近A點的三等分點H,D9靠近￡＞點的三等分點/，易知HB//A.G//NF,由于叭別=I,NFgF=F故平而BH/〃平面D\EF，故M的軌跡為線段M，其長度為彳而，故C選項正確：對于D選項，過M點做施的平行線交人兒于P，交于。，連接則過B,E,M的平而截正方體所得截面即為平行四邊形BPO￡，易知當H位于點/時，平行四邊形BPOE邊BP最小，且為AB,此時截而平行四邊形BPO￡的面積最小，為四邊形ABEI的而積，且而積為S=ABBE=3頂，故D選項正確；故選:BCDDi G【點睛】本題解題的關鍵在于根據(jù)題意，依次做出過9,E，F(xiàn)的平而截正方體所得截而為梯形D'EFN,過3,E，M的平而截正方體所得截面即為平行四邊形BP0E,進而討論AD選項，通過BMII平而D、EF，并結合等體積轉化法得5.=Vw-AEF=VfEF=\-BEF知B選項正確，通過構造而而平行得M的軌跡為線段進而討論C選項，考查回歸轉化思想和空間思維能力，是中檔題.5.已知正方體ABCD-的棱長為2,點0為兒9的中點，若以0為球心，八6為半徑的球面與正方體ABCD-AP年勺棱有四個交點F,F,G,H,則下列結論正確的是（）A。//平而EFGHAC，平而WGH與平面EFGH所成的角的大小為45°D.平而EFGH將正方體ABCD-A/D,分成兩部分的體積的比為1:7【答案】ACD【分析】如圖，計算可得EbG”分別為所在棱的中點，利用空間中點線而的位宜關系的判斷方法可判斷A、B的正確與否，汁算出直線AB與平而EFGH所成的角為45。后可得C正確，而幾何體BHE-CGF為三棱柱，利用公式可求英體積，從而可判斷D正確與否.【詳解】如圖，連接。4，則。4=丁州+1=需，故棱與球而沒有交點.同理，棱與球而沒有交點.因為棱與棱BC之間的距禽為2忑〉點，故棱3c與球面沒有交點.因為正方體的棱長為2,而2(來，球面與正方體A.BCD-.RD*的棱有四個交點￡,EG,H,所以棱AB,CD,CGB\B與球面各有一個交點，如圖各記為E,FGH.因為AOAE為直角三角形，故AE=/。應―%=J6_5=］，故E為棱AB的中點.同理FGH分別為棱CD、CGB占的中點.由正方形ABCD.EF為所在棱的中點可得EF7/BC,同理GH〃BC,椒EFHGH，故E,F,G、H共而.由正方體ABCD-A^CDi可得A\正〃BC,故\DJIEF因為A*Dx<z平而EFGH,EFu平而EFGH,故人口〃平而EFGH,故A正確.因為在直角三角中，殆=2近,BC=2,ZA3c=90。，”C與BC不垂直，故￡(2與611不垂直，故AC，平而EFGH不成立，故B錯誤.由正方體ABCD一￡q可得BC，平面AAQB，而州Bu平而AA,B,B,所以BC^A.B,所以EF^A/【詳解】【詳解】44在正方形AAQB中，因為E,77分別為的中點，故EH^A.B,因為EFCEH=E,故A0，平而EFGH,所以為直線與平而EFGH所成的角，而ZBEH=45。，故直線AB與平而EFGH所成的角為45°,因為ABHAXB{,故勺坊與平而所成的角的大小為45。.故C正確.因為￡、F、G、H分別為所在棱的中點，故幾何體BHE-CGF為三棱柱，其體積為八xlxlx2=l,而正方體的體積為&2故平而EFGH將正方體ABCD-A.B力.分成兩部分的體積的比為1:7，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查空間中線而位置的判斷、空間角的計算和體積的汁算，注意根據(jù)球的半徑確左哪些棱與球而有交點，本題屬于中檔題.6.如圖，矩形ABCD中，AB=2AD=2,E為邊AB的中點?將△ADE沿直線DE翻折成△￡￡〉￡（點兒不落在底而BCDE內），若M在線段AC上（點M與A，C不重合），則在△ADE翻轉過程中，以下命題正確的是（）A.存在某個位亶，使DE±ACB.存在點M，使得BM，平而\DC成立C.存在點M，使得MB〃平面ADE成立D.四棱錐￡—BCDE體積最大值為加4【答案】CD【分析】利用反證法可得A.B錯誤，取M為AC的中點，取AQ的中點為八連接MJE,可證明A/B//平而ADE,當平而"DE，平田CDE時，四棱錐4-BCDE體積最大值，利用公式可求得此時體積為匹?則ZCDF=45b,DF=至,故CF2=4+，-2x遲x2x#=?,2 2222故DC'HDF'+CF'gpZCFDH--2若CA]±DE,因為A[D=A￡,DF=FE，故人尸，DE，而A許r>AC= ,故DE，平而人[心因為CFu平而A/C,故DE^CF,矛盾，故A錯.若BM，平而因為口反平面故BM±DC,因為DC±CB,BMcCB=B,故CD，平而A.CB,因為ACu平而￡CB,故CD，￡C,但AjD<CD，矛盾，故B錯.當平而州DE，平而BCDE時，四棱錐￡-BCDE體積最大值，由前述證明可知A.F^DE，而平面平而BCDE=DE,A,Fu平而A力E,故，平而BCDE,TOC\o"1-5"\h\z因為^?￡〉￡為等腰直角三角形，A{D=A{E='，故AF=一, 23又四邊形BCDE的面積為2xl--xlxl=-,2故此時體積為、￡至二邑故D正確.22 4對于C,如圖(2)，取M為A&的中點，取的中點為/,連接MIJE,則W〃CDJM=-CD,WBE〃CD、BE==CD,

22故/M//BE/M=BE即四邊形為平行四邊形，故化/小乂,因為田口平而力E,3乂8平而人.口￡，故MB〃平而AQE,故C正確.本題考查立體幾何中的折疊問題，注意對于折疊后點線而的位卷的判斷，若命題的不成立，往往需要利用反證法來處理，本題屬于難題..已知直三棱柱ABC-AP中，AB±BC,AB=BC=BB,D是AC的中點，0為￡C的中點.點P是BG上的動點，則下列說法正確的是（）A.當點P運動到中點時，直線Af與平而AEG所成的角的正切值為邏5.無論點P在3C］上怎么運動，都有Af±OB〕c.當點尸運動到Bq中點時，才有片尸與。紇相交于一點，記為0,且0%=mD.無論點？在Bq上怎么運動，直線兒戶與4B所成角都不可能是36。 J【答案】ABD【分析】FP構造線而角加占，由已知線段的等量關系求tanZPA\E=——的值即可判斷A的正誤：AE利用線而垂直的性質，可證明人尸，OB】即可知B的正誤：由中位線的性質有學=；可Q\2知C的正誤；由直線的平行關系構造線線角為,結合動點P分析角度范囤即可知D的正誤【詳解】直三棱柱ABC-AP,中，AB±BC,AB=BC=BB,選項&中，當點P運動到BC】中點時，有￡為QC］的中點，連接AE.EP,如下圖示XCj即有￡P，面FP…直線￡P與平而44G所成的角的正切值:tanZPAe=—}AE￡P=1陰,AE=JabJ+bF=￡BBi/.tanzP/AE=-八》故&il?「確選項B中，連接B、C,與EC】交于&并連接如下圖示5由題意知，B/CG為正方形，即有QC±而4B±BC且ABC-AB.C,為直三棱柱，有屬坊，而B/g,BC.cz而B/C*G??心，BC、，又AQCIBIC=d??EC】，而AQC,Odu而AdC,故Bq±OB】同理可證：AB±O坊，又￡BcBCI=B??OB】,而AB%又Afu而A/G,即有Af±OB「故B正確選項C中，點P運動到中點時，即在△A.B.C中Af、O坊均為中位線???Q為中位線的交點???根據(jù)中位線的性質有:選項D中，由于A\BJ1AB，直線￡P與AB所成角即為AB］與Af所成角：ZB\PX結合下圖分析知：點P在BG上運動時B當P在“或G上時，ZB}A}P最大為45°、“iP在BC沖點上時'ZBAP最小為arctan>arctan—=30°{X 2 3曲川/不可能是30。，故D正確故選：ABD【點睛】本題考查了利用射影定理構造線面角，并計算苴正弦值；利用線而垂直證明線線垂直；中位線的性質：中位線交點分中位線為42的數(shù)量關系：由動點分析線線角的大小8.在邊長為2的等邊三角形ABC中，點分別是邊AC.AB上的點，滿足DE//BCAr\且一二2,(2e(04))/將沿直線DE折到么4?￡的位置?在翻折過程中，AC下列結論不成立的是()A.在邊A'E上存在點F,使得在翻折過程中，滿足BF〃平而ACDB.存在0-,使得在翻折過程中的某個位置，滿足平而A0C，平而BCDEC.若幾二；一當二面角A'_DE_B為直二而角時，1"31=迥 )2 4D.在翻折過程中，四棱錐M-BCDE體積的最大值記為/(A),/(2)的最大值為手【答案】ABC【分析】對于A.在邊AE上點F,在ADk取一點N,便得FN//ED,在ED上取一點H,使得NH//EF,作HG//BE交BC于點、G,即可判斷出結論.(1對于B,0,-,在翻折過程中，點”在底而BCDE的射影不可能在交線BC上，即I2J可判斷出結論.對于C,2=1,當二而角A-DE-B為直二而角時，取ED的中點M,可得AM，平而BCDE.可得\AfB\=\M+BK，結合余弦定理即可得出.對于D.在翻折過程中，取平\ED，平而BCDE,四棱錐A-BCDE體積/(2)=--SBCD￡-V32=2-r,壯(0,1),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可得出.【詳解】對于A.在邊AE上點F,在A7)上取一點N/使得FN//ED,ftED上取一點H,使得NH//EF.作HG//BE交BC于點G,如圖所示，則可得FN平行且等于BG,即四邊形BGNF為平行四邊形，aNGIIBE,而GN始終與平面ACD相交，因此在邊AE上不存在點F,使得在翻折過程中，滿足BF〃平而AfCD,A不正確.(1\對于B.Ae0,-,在翻折過程中，點A在底而BCDE的射影不可能在交線3c上，因I2J此不滿足平而A'BC,平而BCDE,因此B不正確.對于C.A=p當二而角A-DE-B為直二而角時，取ED的中點M,如圖所示:

可得AM可得AM，平而BCDE,則\AfB\="旭+BK=J(八)2+l+(-)2-2xlx-xcosl20°二八八一＞因此Y2 2 2 2 4C不正確；對于D.在翻折過程中，取平［fUAED,平而BCDE,四棱錐-BCDE體積/(幾)=*/肚加?屁=2一，，2已(0,1),廣(兄)=1一3護，可得入=￡時，函數(shù)/(兄)取得最大值/(2)= 正［1一［)=久!因此D正3確3) 9 確.綜上所述，不成立的為ABC.故選：ABC.【點睛】本題考查了利用運動的觀點理解空間線而面面位置關系、四棱錐的體積汁算公式、余弦定理、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值，考查了推理能力空間想象能力與計算能力，屬于難題.9?如圖.ABCD-MBd為正方體，下列結論中正確的是()4 RAC】,平而BBQD，平而ACS】Bq與底而BCC\B\所成角的正切值是血D.過點A】與異而直線A￡＞與隅成60角的直線有2條【答案】ABD【分析】由直線與平而垂宜的判立判斷A與B；求解與底而BCCQ所成角的正切值判斷C：利用空間向量法可判斷D.【詳解】【詳解】對于A選項，如圖，在正方體ABCD-'BCXDX中，BBJ平而 ,A.C,u平而 ，則BB、±A}CX,由于四邊形Adqq為正方形，則AG±Bp,因此，￡6，平而BBQD，故A正確；對于B選項，在正方體ABCD-AgR中，D0，平面ABCDACa平面ABCD,-AC±D0,因為四邊形ABCD為正方形，所以，4c±BD,?.?DD,nBD=D,：.AC，平面BBpp,???BD、u平而BB.D.D,:.AC±BD],同理可得，B】C,-ACC\BC=C,:.BQ,平MACBX,故B正確：對于C選項，由GD，平面BCC圖，得ZC.BD,為與平mBCC.B,所成角，且tanZC1BD1=-A=、故c錯誤；BC}2對于D選項，以點力為坐標原點，04、DC、所在直線分別為x、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1,則A(IQO)、D(QO,O)、C(0,0)、5,(144),m=(i,o,o),eg=(i,o,i),設過點人且與直線DA、CB.所成角的直線的方向向量為m=(1,”z),cos<CBrm>=CB]?m-P+zlCB\in邁?y+F則cos<DA.niDA,則cos<DA.niDA,hiV72+?+|亍r+Z2=3yi=分整理可得 消去y并整理得#+2z—i=o,解得z=_i+JI或+4乙+1z=—1—>/2,由已知可得切5血，所以，z=-l+V2>可得y=±立立疔，因此，過點￡與異而直線AQ與成6。角的直線有2條，D選項正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：證明線而垂直的