專題19等腰三角形（測試）（教師版含解析）-2023年中考一輪復(fù)習(xí)講練測（浙江專用）

2023年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)一輪講練測（浙江專用）專題19等腰三角形（測試）班級(jí)：________姓名：__________得分：_________注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．本試卷所選題目為浙江地區(qū)中考真題、模擬試題、階段性測試題.一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，DA⊥AB．設(shè)∠CAD=38°，則∠ADB＝（

）A．60° B．62° C．64° D．66°【答案】C【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，再由直角三角形兩銳角互余得到∠B+∠ADB=90°，由三角形外角的性質(zhì)得到∠ADB=∠C+∠CAD，則∠B+∠C+∠CAD=90°，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DA⊥AB，∴∠BAD=90°，∴∠B+∠ADB=90°，∵∠ADB=∠C+∠CAD，∴∠B+∠C+∠CAD=90°，∴2∠B+38°=90°，∴∠B=26°，∴∠ADB=64°，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，熟知直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB>AC，以點(diǎn)A為圓心，AC的長為半徑作弧交AB于點(diǎn)D，連接DC；再以點(diǎn)D為圓心，DC的長為半徑作弧交CB的延長線于點(diǎn)E．若BE=BD，∠E=15°，則（

）A．AB=2AC B．BC=BD+DEC．AD=2BE D．CE=AB+AC【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)逐步求解∠ABC=30°,∠ADC=45°,∠BAC=90°,再證明BC=2AC,從而可得結(jié)論．【詳解】解：∵BE=BD，∠E=15°，∴∠E=∠BDE=15°,∴∠ABC=15°+15°=30°,由作圖可得：DE=DC,∴∠E=∠DCE=15°,∴∠ADC=30°+15°=45°,由作圖可得：AD=AC,∴∠ADC=∠ACD=45°,∴∠BAC=90°,∴BC=2AC，BC＞AB∴AB＜2AC，故選項(xiàng)A不正確；根據(jù)勾股定理AB=BC2-AC2=∴BD=AB-AD=3AC-AC=∴BD+DE=3故選項(xiàng)B不正確；∵BE=BD=3-1∴2BE=2故選項(xiàng)C不正確；∴CE=BC+BE=2AC+BD=AC+AD+BD=AC+AB.故選項(xiàng)D正確；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是作一條線段等于已知線段，等腰三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，掌握“30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”是解本題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形是等腰三角形.其作法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)各項(xiàng)的尺規(guī)作圖進(jìn)行分析，再根據(jù)等腰三角形的判定逐個(gè)分析即可．【詳解】A選項(xiàng)，由作法可知，AD=AC，即△ADC是等腰三角形，不滿足題意；B選項(xiàng)，在△ADC中，∵∠C=90°，∠B=30°∴AC=又由作法可知，CD=BD=在Rt△ABC中，AB∴AC＞CD，即∴AD＞CD，即AD＞C選項(xiàng)，由作法可知，AD=BD，即△ADB是等腰三角形，不滿足題意；D選項(xiàng)，由作法可知，∠BAD=∠DAC=1∴∠BAD=∠B=30°，即△ADB是等腰三角形，不滿足題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖和等腰三角形的判定．熟知尺規(guī)作圖是本題解題的關(guān)鍵．4．（2021·浙江寧波·?？既＃┤鐖D，∠ABC是一個(gè)銳角，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，交射線BC于點(diǎn)D，E，若∠ABC=35°,∠BAD=30°，則∠DAE的度數(shù)是（

）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠ADE=65°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠AED=∠ADE=65°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】解：∵∠ABC=35°,∠BAD=30°，∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=65°，由作圖可知，AD=AE，∴∠AED=∠ADE=65°，∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=50°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2022·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）性質(zhì)“等腰三角形的三線合一”，其中所指的“線”之一是（

）A．等腰三角形底角的平分線 B．等腰三角形腰上的高C．等腰三角形腰上的中線 D．等腰三角形頂角的平分錢【答案】D【分析】根據(jù)在等腰三角形中，頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：等腰三角形中三線合一，即在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握三線合一中的三線分別指頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線．6．（2022·浙江金華·?？家荒＃┤鐖D，在等邊三角形ABC中，AB=8，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M、N，作MD⊥BC，垂足為D，作NE⊥BC，垂足為E，則DE的長為(

)A．10 B．83 C．11 D．【答案】D【分析】連接MP，NP，交AB，AC于點(diǎn)J，K，利用對(duì)稱性可得MJ=PJ，PK=KN，【詳解】連接MP，NP，交AB，AC于點(diǎn)J，K∵點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M、N，∴MJ=PJ，∵ΔABC∴∠ABC=∠ACB=60°∴∠MPD=∠NPE=30°設(shè)BP=x，則CP=8-x在RtΔBPJ中，∵∴BJ=1由勾股定理可得，JP=B∴MP=2JP=3∴MD=3∴DP=M同理可得，PE=3∴DE=DP+PE=3故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·二模）如圖，已知Rt△ABC，AC=BC=2，將△ABC繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到△ADE，直線BD、CE相交于點(diǎn)F，連接AF，則下列結(jié)論中：①AB=22；②△ABD∽△ACE；③∠BFC=45°；④F為BD的中點(diǎn)，其中正確的有（

A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④【答案】C【分析】①根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，直接求出AB的長度即可；②由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證明△ABD∽△ACE即可判斷；③由△ABD∽△ACE，可得∠DBA＝∠ECA，∠FGB＝∠CGA，進(jìn)而∠BFC＝∠BAC＝45°即可判斷；④證明△ABD為等腰三角形即可判斷．【詳解】①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，AC＝BC＝AE＝DE＝2，∵∠ACB=90°，∴AB＝AD=AC2②∵ABAC=∴∠DAE＋∠EAB＝∠CAB＋∠EAB，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD∽△ACE，故②正確；③設(shè)AB、CE交于點(diǎn)G，如圖所示：∵△ABD∽△ACE，∴∠DBA＝∠ECA，又∵∠FGB＝∠CGA，∴∠BFC＝∠BAC＝45°，故③正確；④∵∠BFC＝∠BAC＝45°，∴A、C、B、F四點(diǎn)共圓，∴四邊形ACBF為圓內(nèi)接四邊形，∴∠BFA＋∠BCA＝180°，∵∠BCA=90°，∴∠BFA＝90°，∴AF⊥BD，∵AB＝AD，∴△ABD為等腰三角形，∴AF為BD上中線，即F為BD中點(diǎn)，故④正確；綜上分析可知，①②③④都正確，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的相關(guān)知識(shí)，證明△ABD∽△ACE是解題的關(guān)鍵．8．（2022·浙江舟山·校聯(lián)考三模）如圖，△ABC、△DBE和△FGC均為正三角形，以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G在△ABC的各邊上，DE和FG相交于點(diǎn)H，若S四邊形ADHF=S△HGE，A．a(chǎn)+c=2b B．b2+c2=a【答案】B【分析】分別用含a，b，c的代數(shù)式表示S四邊形ADHF與【詳解】解：∵∠EDB=∠A=60°，∴DE∥AF同理：FG∥AB∴四邊形ADHF為平行四邊形，∵在△HGE中∠HGE=∠HEG=60°，∴△HGE為等邊三角形，∵GE=b+c-a，AD=a-b，AF=a-c，∴SS∴32a-ca-b故選：B.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形及等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是要會(huì)用含a，9．（2021·浙江湖州·模擬預(yù)測）如圖，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD為BC邊的中線，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F．若AC＝2，則線段EF的長為（）A．35 B．4515 C．2【答案】B【分析】過點(diǎn)B作BH⊥BC，交CF的延長線于H，由勾股定理可求AD的長，由面積法可求CE，由“AAS”可證△ACD≌△CBH，可得CD＝BH＝1，AD＝CH＝5，通過證明△ACF∽△BHF，可得BHAC=FHFC＝【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥BC，交CF的延長線于H，∵AD為BC邊的中線，AC＝BC＝2，∴CD＝BD＝1，∴AD＝AC2+CD2∵S△ACD∴CE＝1×25＝2∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，∴∠ADC＝∠H，在△ACD和△CBH中，∠ADC=∠H∠ACD=∠CBH=∴△ACD≌△CBH（AAS），∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝5，∵AC⊥BC，BH⊥BC，∴AC∥BH，∴△ACF∽△BHF，∴BHAC=FH∴CF＝25∴EF＝CF﹣CE＝253﹣25故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，等邊△ABC和等邊△DEF的邊長相等，點(diǎn)A、D分別在邊EF，BC上，AB與DF交于G，AC與DE交于H．要求出△ABC的面積，只需已知（

）A．△BDG與△CDH的面積之和 B．△BDG與△AGF的面積之和C．△BDG與△CDH的周長之和 D．△BDG與△AGF的周長之和【答案】C【分析】根據(jù)題意只要求出等邊三角形的邊長即可求解，設(shè)BG=a，BD=b，DG=c，CD=d，DH=e，CH=f，等邊三角形邊長為x，證明△AFG∽△DBG，同理可得△AHE∽△DHC，根據(jù)相似三角形三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】設(shè)BG=a，BD=b，DG=c，CD=d，DH=e，CH=f，等邊三角形邊長為x，則FG=x-c，AG=x-a，∵∠F=∠B=60°,∠AGF=∠BGD∴△AFG∽△DBG，∴AGDG=FG∴ax-a∴a-cx=∴x=a+c或a=c，同理△AHE∽△DHC，可得x=e+f或e=f，①當(dāng)a=c時(shí)，△BDG是等邊三角形，同理△DCH為等邊三角形，此時(shí)△BDG和△DCH的周長之和為a+b+c+d+e+f=3x，②當(dāng)x=a+c時(shí)，∴FG=a=BG，又∵∠AGF=∠DGB，∴△BDG≌△FAG，則AF=b，AE=d，同理△AHE≌△DHC，則a+b+c+d+e+f=x+x+b+d=x+x+x=3x．綜上所述，只需已知△BDG與△CDH的周長之和，即可求出△ABC的邊長，也可求出等邊三角形△ABC面積．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，證明△AFG∽△DBG，△AHE∽△DHC得出比例式是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2019·浙江·?？家荒＃鰽BC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為50°，底角∠B的度數(shù)為_______________．【答案】70°或20°【分析】當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，設(shè)AB的垂直平分線交線段AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，先求得∠A，再由三角形內(nèi)角和定理可求得∠B；同理，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，可求得∠DAB的度數(shù)，再利用等腰三角形和三角形外角的性質(zhì)可知∠B=1【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1，設(shè)AB的垂直平分線交線段AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，∵∠ADE=50°，DE⊥AB，∴∠A=90°-50°=40°，∵AB=AC，∴∠B=當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2，設(shè)AB的垂直平分線交線段AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，∵∠ADE=50°，DE⊥AB，∴∠DAB=90°-50°=40°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B+∠C=∠DAB，∴∠B=1綜上可知∠B的度數(shù)為70°或20°，故答案為：70°或20°．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，以及三角形外角的性質(zhì)，注意分類討論是解題的關(guān)鍵，否則就會(huì)漏解．12．（2013·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，等邊△ABC的邊長為3，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，且BP=1，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)．若∠APD=60°，則【答案】2【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AB=BC=AC=3，∠【詳解】解：如圖，∵△ABC∴AB=∴∠BAP∵∠APD∴∠APB∴∠BAP又∠B∴△BAP∴ABCP∵AB=∴CP=∴32解得：CD=故答案為：23【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是推出△BAP13．（2010·浙江·統(tǒng)考中考模擬）如圖，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，且點(diǎn)F在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為______cm．【答案】3【分析】由題意得AD=FD，AE=FE，故陰影部分的周長可以轉(zhuǎn)化為△ABC的周長．【詳解】將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，∴AD=FD，AE=FE．∵等邊△ABC的邊長為1cm，∴AB=BC=AC=1cm，∴則陰影部分圖形的周長為：BC+BD+CE+FD+FE=BC+BD+CE+AD+AE=BC+AB+AC=3（cm）．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及折疊的問題，折疊問題的實(shí)質(zhì)是“軸對(duì)稱”，解題的關(guān)鍵是找出經(jīng)軸對(duì)稱變換所得的等量關(guān)系．14．（2022·浙江衢州·模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，∠ABC=150°．利用尺規(guī)在BC、BA上分別截取BE、BF，使BE=BF；分別以E、F為圓心，大于12EF的長為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點(diǎn)G；作射線BG交DC于點(diǎn)H．若AD=3+1，則【答案】2【分析】如圖所示，過點(diǎn)H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，得到CH=BC=3+1，從而求出HM，CM的長，進(jìn)而求出BM的長，即可利用勾股定理求出【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，∴∠ABH=∠CBH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=3∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，∴∠CBH=∠CHB，∴CH=BC=3∴HM=1∴CM=C∴BM=BC-CM=3∴BH=H故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確求出CH的長是解題的關(guān)鍵．15．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，M為AB的中點(diǎn)，P為BC上任意一點(diǎn)，則t=PM+PA的范圍是______．【答案】3【分析】分別求出PM+PA的最大值和最小值即可．作點(diǎn)M關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)N，垂足為E，連接AN交BC于點(diǎn)P，則此時(shí)t=PM+PA最小，作AF⊥MN于點(diǎn)F，AD⊥BC于點(diǎn)D，可得出四邊形AFED為矩形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形，即可求得AN的值；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，t=CM+CA最大，作MD⊥CA于點(diǎn)D，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及勾股定理即可得出MC的值，從而得出CM+CN的值，即為所求．【詳解】解：如圖（1），作點(diǎn)M關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)N，垂足為E，連接AN交BC于點(diǎn)P，則此時(shí)t=PM+PA最小，且t=AN，作AF⊥MN于點(diǎn)F，AD⊥BC于點(diǎn)D∴四邊形AFED為矩形∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴AM=BM=1，∠B=30°∴AD=1，ME=NE=12∴EF=AD=1，AF=DE=3∴NF=EF+EN=∴t=AN=如圖（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，t=CM+CA最大作MD⊥CA于點(diǎn)D，∵∠BAC=120°∴∠AMD=∠BAC-∠MDA=30°∴MD=32∴MC=7∴t=7∴3故答案為：3≤t≤【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．16．（2022·浙江溫州·溫州市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）圖1是一輛卸貨車實(shí)物圖，折線ABC是支架，BD為可伸縮的液壓支撐桿，測得BC=10，CD=2，DE=3，∠ABC=∠CDE=135°，∠EFG=90°，圖2是卸貨車不工作時(shí)的側(cè)面示意圖，此時(shí)AB與FG在同一直線上，CD∥AB，且∠DEF=135°，則BF=________，圖3是卸貨車工作時(shí)的側(cè)面示意圖，折線CDE可繞點(diǎn)C上下旋轉(zhuǎn)，且∠CDE始終保持不變，EF始終保持與地面垂直，當(dāng)BD⊥DE時(shí)，F(xiàn)G與【答案】

52-2【分析】（1）過點(diǎn)E作EM，過點(diǎn)D作DM⊥EM，垂足為M，并延長至AB的延長線，交于點(diǎn)P，過點(diǎn)C作CN⊥AB延長線與點(diǎn)N，由FB=FP+NP-NB即可求得結(jié)果；（2）過點(diǎn)C作CH⊥BD于H，連接BE，GE，過點(diǎn)F作FF'⊥AB于點(diǎn)F'，延長AB，過點(diǎn)C作CM⊥AM于點(diǎn)M，延長ED，過點(diǎn)C作CI⊥EI于點(diǎn)I，過點(diǎn)C作CN⊥EF'于點(diǎn)N，計(jì)算出點(diǎn)【詳解】解：①如圖所示，過點(diǎn)E作EM，過點(diǎn)D作DM⊥EM，垂足為M，并延長至AB的延長線，交于點(diǎn)P，過點(diǎn)C作CN⊥AB延長線與點(diǎn)N，∵∠EFG=90°，∠DEF=135°，∴∠DEM=135°-90°=45°，∵DE=3，∴在Rt△DEM中，EM=DM=32∵CN⊥PN，DP⊥NP，且CD=2∴FN=NP+FP=2∵∠ABC=∠CDE=135°，∴∠CBN=180°-135°=45°，且BC=10∴CN=BN=5∵FB=FP+NP-NB，∴FB=5故答案為：52②由上述的計(jì)算可知，EF=CN-EM=5過點(diǎn)C作CH⊥BD于H，連接BE，GE，過點(diǎn)F作FF'⊥AB于點(diǎn)F'，延長AB，過點(diǎn)C作CM⊥AM于點(diǎn)M，延長ED，過點(diǎn)C作CI⊥EI于點(diǎn)I，過點(diǎn)C作∵∠ABC=∠CDE=135°，BD⊥DE，∴∠CDH=135°-90°=45°，∠CDI=180°-135°=45°，∵CD=2，BC=10∴在Rt△CDH，Rt△BCH，DH=CH=DI=CI=1，BH=B∴EI=DE+DI=3+1=4，BD=BH+HD=3+1=4，在Rt△BDE中，DE=3，BD=4∴BE=B在Rt△CEI中，CE=∵∠ABC=135°，∴∠CBM=45°，∵∠CMB=90°，BC=10∴在Rt△CBM中，CM=BM=∵∠CMB=∠CNF∴四邊形CMF∴CM=NF'=設(shè)BF'=y，EF'∵在Rt△BF'CE2=C∴x2解得：x1=11∴FF故答案為：65【點(diǎn)睛】本題主要考查的是直角三角形的勾股定理與實(shí)際的運(yùn)用，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作出輔助線，熟練掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共0分)17．（2019·浙江·?？家荒＃┤鐖D，△ABC中，①AB＝AC，②∠BAD＝∠CAD，③BD＝CD，④AD⊥BC．請(qǐng)你選擇其中的兩個(gè)作為條件，另兩個(gè)作為結(jié)論，證明等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)定理．【答案】見解析.【分析】以△ABC中，①AB=AC，②∠BAD=∠CAD做為條件，可求出③BD=CD，④AD⊥BC做為結(jié)論，從而證明了三線合一．【詳解】已知：①AB＝AC，②∠BAD＝∠CAD．求證：③BD＝CD，④AD⊥BC．證明：在△ABD與△ACD中，∵AB∴△ABD≌△ACD(SAS)．∴BD＝CD，AD⊥BC．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是求出全等，三線合一的結(jié)論可證．18．（2020·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，點(diǎn)A，D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求證：BE＝CF．（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）70°【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得出∠B=∠C，結(jié)合已知條件，依據(jù)AAS即可證明△ABE≌△DCF；(2)由(1)得：∠C=∠B=40°，△ABE≌△DCF，由全等三角形的性質(zhì)得出AB=CD，證出CD=CF，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵在△ABE和△DCF中，∠A=∠D∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE＝CF；（2）解：由（1）得：∠C＝∠B＝40°，△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，又∵AB＝CF，∴CD＝CF，∴∠D＝∠CFD＝12（180°﹣40°）＝70°【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的等邊對(duì)等角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；利用全等的性質(zhì)求證線段相等是一種常見思路，利用三角形內(nèi)角和求角度也是常見思路，關(guān)鍵是將已知條件轉(zhuǎn)化到目標(biāo)三角形中．19．（2022·浙江麗水·一模）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，線段AB的端點(diǎn)落在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求作圖（所作圖形頂點(diǎn)為格點(diǎn)，每小題作出一個(gè)即可）．圖1：以AB為腰的等腰三角形

圖2：以AB為邊的平行四邊形

圖3：以AB為對(duì)角線的平行四邊形【答案】見解析【分析】根據(jù)等腰三角形和平行四邊形的判定結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)作圖即可．【詳解】解：如圖1，△ABC是以AB為腰的等腰三角形；如圖2，四邊形ABCD是以AB為邊的平行四邊形；如圖3，四邊形ACBD是以AB為對(duì)角線的平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了作等腰三角形，作平行四邊形，熟練掌握網(wǎng)格特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．20．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）在①AD=AE，②∠BAE=∠CAD這兩個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，請(qǐng)完成問題的解答．問題：如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E在邊BC上（不與點(diǎn)B，C重合）連結(jié)AD，AE．若______，求證：BD=CE．【答案】①或②【分析】選擇條件①，可得到∠ADE=∠AED，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可推出∠ADB=∠AEC，再利用AB=AC得到∠B=∠C，則可根據(jù)“AAS”可判斷△ABD≌△ACE，從而得到BD=CE；選擇條件②，可得到∠BAD=∠CAE，利用AB=AC得到∠B=∠C，則可根據(jù)“ASA”可判斷△ABD≌△ACE，從而得到BD=CE．【詳解】證明：選擇條件①的證明為：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ADB=∠AEC，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，∠B=∠C∠ADB=∠AEC△ABD≌△ACE（AAS），∴BD=CE；選擇條件②的證明為：∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，∠B=∠CAB=AC△ABD≌△ACE（ASA）∴BD=CE．故答案為：①或②【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)∶全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．本題也考查了等腰三角形的性質(zhì)、等角的補(bǔ)角相等的知識(shí)．21．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖1所示的晾衣架，支架的基本圖形是菱形．如圖2，晾衣架伸縮時(shí)，點(diǎn)E在射線DP上滑動(dòng)，菱形的形狀也隨之發(fā)生變化．已知每個(gè)菱形的邊長均等于20cm，且DF=FE=(1)求證：相鄰兩根晾衣架之間的水平距離（AB、BC）相等；(2)當(dāng)晾衣架沿著DC方向平移時(shí)，∠CFG的度數(shù)逐漸減小．若∠CFG從120°逐漸減小到60°時(shí)，求點(diǎn)E在射線DP上移動(dòng)的距離．【答案】(1)見解析(2)20【分析】（1）如圖所示，連接AC，NH，只需要證明四邊形ANHB是平行四邊形，得到AB=NH，同理可證四邊形BCHN是平行四邊形，得到BC=NH，即可證明結(jié)論；（2）分別求出當(dāng)∠CFG=120°時(shí)，當(dāng)∠CFG=60°時(shí)DE的長，即可得到答案．（1）解：如圖所示，連接AC，NH，∵四邊形BNMH是菱形，∴AN∥BH，又∵AN=BH，∴四邊形ANHB是平行四邊形，∴AB=NH，同理可證四邊形BCHN是平行四邊形，∴BC=NH，∴AB=BC（2）解：如圖1所示，當(dāng)∠CFG=120°時(shí)，過點(diǎn)F作FQ⊥DE于Q，∴∠DFE=120°，∵DF=EF，∴DE=2QE，∠EFQ=60°，∴QE=EF?sin∠EFQ=103cm；∴DE=203cm；如圖2所示，當(dāng)∠CFG=60°時(shí)，同理可求得DE=20cm，∴點(diǎn)E【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（2020·浙江·模擬預(yù)測）如圖1，△ABC和△CDE均為等腰三角形，AC=BC，CD=CE，AC>CD，∠ACB=∠DCE=α，且點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連結(jié)BE(1)求證：AD=BE．(2)如圖2，若α=90°，CM⊥AE于M．若CM=7，BE=10，試求AB的長．(3)如圖3，若α=120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，EN=a，CM=b，直接寫出AE的值（用a，b的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)AB=26(3)AE=2a+2【分析】（1）根據(jù)“SAS”證明ΔACD≌ΔBCE（2）設(shè)AE交BC于點(diǎn)H，由全等三角形的性質(zhì)得出∠CAD=∠CBE，AD=BE=10，證出∠AEB=∠ACH=90°，ΔCDE是等腰直角三角形，得出CM=DM=ME=7，得出DE=2CM=14，求出AE=24（3）由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠CDM=∠CEM=30°，∠CMD=90°，DM=EM．由全等三角形的性質(zhì)得∠BEC=∠ADC=150°，AD=BE，然后由30°角的性質(zhì)和勾股定理求出DE和BE，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在ΔACD和ΔAC=BC∠ACD=∠BCE∴ΔACD≌∴AD=BE；（2）解：設(shè)AE交BC于點(diǎn)H，如圖2所示：由（1）得：ΔACD≌∴∠CAD=∠CBE,AD