考研高數(shù)知識點經(jīng)典例題6-8章

第六章多元函數(shù)微分學

§6.1多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性

(甲)內容要點

一、多元函數(shù)的概念

1.二元函數(shù)的定義及其凡何意義

設D是平面上的一個點集，如果對每個點尸(x,y)GD,按

照某一對應規(guī)則力變量z都有一個值與之對應，則稱z是變

量x,y的二元函數(shù)，記以z=/(x,y),。稱為定義域。

二元函數(shù)z=fCx,>')的圖形為空間一塊曲面，它在孫

平面上的投影域就是定義域D。

例如z=^\—x2-y2,D:x2+y2<I二元函

數(shù)的圖形為以原點為球心，半徑為1的上半球面，其定義域

D就是xy平面上以原點為圓心，半徑為1的閉圓。

2.三元函數(shù)與“元函數(shù)

u=f(x,y,z),(x,y,z)eQ空間一個點集，稱為三元函數(shù)

u=…,X")稱為〃元函數(shù)。

它們的幾何意義不再討論，在偏導數(shù)和全微分中會用到三元函數(shù)?條件極值中，可能會

遇到超過三個自變量的多元函數(shù)。

二、二元函數(shù)的極限

設/(x,y)在點(%,為)的鄰域內有定義，如果對任意￡>0,存在6>0,只要

J(x-Xo)2+(y->o)2<b,就有y)一H<￡

則記以limf(x,y)=A或limf(x,y)=A

稱當(x,y)趨于(%,%)時，f(x,y)的極限存在，極限值為A。否則，稱為極限不存在。

值得注意：這里(x,y)趨于(%,%)是在平面范圍內，可以按任何方式沿任意曲線趨于

(%,為)，所以二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限復雜，但考試大綱只要求知道基本概念和

簡單的討論極限存在性和計算極限值不象一元函數(shù)求極限要求掌握各種方法和技巧。

三、二元函數(shù)的連續(xù)性

1.二元函數(shù)連續(xù)的概念

若lim/(x,y)=/(/，%)則稱f(x,y)在點(4,加)處連續(xù)

yfo

若/(x,y)在區(qū)域。內每一點皆連續(xù)，則稱/(x,y)在。內連續(xù)。

2.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質

定理1(有界性定理)設/(x,y)在閉區(qū)域。上連續(xù)，則/(x,y)在。上一定有界

定理2(最大值最小值定理)設/(x,y)在閉區(qū)域。上連續(xù)，貝ij./■(》,>)在O上一定

有最大值和最小值max/(x,y)=M(最大值)，min/(x,y)=皿最小值)

(X,)*。(x,.v)eD

定理3(介值定理)設/(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，M為最大值，機為最小值，若

mWcWM,則存在(飛，升)6。，使得f(x0,y0)=C

(乙)典型例題

一、求二元函數(shù)的定義域

例1求函數(shù)z=arcsin'+J5的定義域

解：要求A<1B[J-3<A-<3;

又要求孫20即或xW0,yW0綜合上

述要求得定義域

-3<x<0,、[0<x<3

V或<

y<0y>0

例2求函數(shù)2=)4-_?一)，2+In(y2-2x+l)的定義域

解：要求4-x2-/>0和/-2x+l>0

即歸

[y2+\>2x

函數(shù)定義域D在圓V+V<22的內部(包括邊

界)和拋物線V+l=2x的左側(不包括拋物線上的點)

二、有關二元復合函數(shù)

例1設/1(x+y,x-y)=x2y+y2,校(x,y)

解：設x+y=〃，x-y=u解出x=—(〃+v),y=一(〃一u)

代入所給函數(shù)化簡/(w,v)=-(H+V)2(M-V)+—(H-V)2

84

11

故/(x,y)=-(x+y)(x-y)+-(x-y)

84

例2設/(x+y,孫)=/+3砂+y?+5,^/\x,y)

解：：x?+3孫+>2+5=(x?+2盯+y2)+盯+5

=(x+y)2+孫+5

.-.f(x,y)=x2+y+5

例3設z=8+/(五-1),當y=l時，z=光，求函數(shù)井口z

解：由條件可知

X=]+/(五-1)，令五-1="，則/(“)=x—\=(?+1)2—1=u2+2u

f(x)=x2+2x,z=yfy+x—i

三、有關二元函數(shù)的極限

?工

例1討論lim(l+—)R(aHO常數(shù))

1v(*+y)

解：原式=lim(1+—r

孫_

(1Yv1

而lIi*m1+——…令f=%Xy-lim(l+-#)’=’

又lim--------=lim-------=—

y^a孫(X+>))：工+馬。

X

原式=/

2

y

例2討論lim4L

；Zox+y

解：沿＞原式=1磔/于二°

lx4

沿>=戊2,原式=lim—

x+l2x41+/2

原式的極限不存在

3

X2|-y|2

例3討論lim4J

T4+2

y.0人r十yv

解：???X4+y2>2x2\y\(v(x2-\y\)2>0)

33

2

f而x|yR1..1

0<.11.<^-=-b2

x+y2x2|y|27

而1星評=。；

lim0=0

x->0

)T0乙y->0

用夾逼定理可知原式=0

§6.2偏導數(shù)與全微分

(甲)內容要點

一、偏導數(shù)與全微分的概念

1.偏導數(shù)

二元：設z=/(x,y)

dzf(x+^x,y)-f(x,y)

-.lim

=Z；Uy)Ax

r)7f(x,y+\y)-f(x,y)

△)'

三元：設”=/(x,y,z)

$A，)；新融.);

2.二元函數(shù)的二階偏導數(shù)

設z=/(x,y),

14=斤@，＞)=梟韻，］^"(乂＞)=2年)

oxoxoxuxoydyox

(X，＞)=梟打TT=＜：(X，y)=T-(韻

oyaxdxdyaydyay

3.全微分

設z=f(x,y),增量Az=/(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)

若Az=AAr+BAy+OQ(AX)2+出了)

當Ax—?0Ay—＞0時

則稱z=f(x,y)可微，而全微分dz=AAv+BQ

定義：dx=Ax,dy=^y

定理：可微情況下，A=f；(x,y),B=f；Xx,y)

-,-dz=f"(x,y)dx+f；(x,y)dy

三元函數(shù)u=f(x,y,z)

全微分du=f"(x,y,z)dx+f'y\x,y,z)dy+￡(x,y,z)dz

4.相互關系

常用連續(xù)ndf{x,y)存在丁優(yōu)溫g’)存在

5.方向導數(shù)與梯度(數(shù)學一)

二、復合函數(shù)微分法一一鎖鏈公式

模型I.設z=f(u,v),u=w(x,y),v=v(x,y)

,.dzdzdudzdvdzdzdudzdv

則r——=-------+--------:——=---------+-------

dxdudxdvdxdydudydvdy

模型H.設〃=f(x,y,z),z=z(x,y)

EIdu,,dzdudz

則L+仁’而=力+殊

模型III.設〃=f(x,y,z),y=y(x),z=z(x)

思考題：設z=f(u,v,w),w=w(u,v),u-w(r),v=v(z),r=r(x,y)

求手Hz的鎖鏈公式，并畫出變量之間關系圖.

OX

三、隱函數(shù)微分法

設F(x,y,z)-0確定z=z(x,y)

則生=-二；生=-芻(要求偏導數(shù)連續(xù)且E'HO)

oxF.dyF.

四、幾何應用(數(shù)學一)

1.空間曲面上一點處的切平面和法線

2.空間曲線上一點處的切線和法平面

(乙)典型例題

例1求〃二(工廠的偏導數(shù)

y

解半=Z(土尸,A-Z-X'

oxyyyyy

”=(當Z如三

dzyy

例2設〃=/(x,y,z)有連續(xù)的一階偏導數(shù),又函數(shù)y=y(x)及z=z(x)分別由下列兩式確定

du

exy—xy=2和e"=求r區(qū)

解華=/1+/咨+-牛

axaxax

由exy-xy=2兩邊對光求導，得e"[y+尢蟲]-(y+x蟲)=0

dxdx

解出—(分子和分母消除公因子(e“-1))

dxx

由e，=7皿1兩邊對x求導，得e'=sin("-z)在)

*t(x-z)dx

解出名=1一，(1)

dxsin(x-z)

所以包=班上江+[1_"5一％些

dxdxxdysin(x-z)dz

例3設>=y(x),z=z(x)是由z=4\x+y)和尸(x,y,z)=O所確定的函數(shù)，其中/具有一

階連續(xù)導數(shù)，尸具有一階連續(xù)偏導數(shù)求二

dx

解分別在兩方程兩邊對X求導得

的

和

1

JZ區(qū)/dz

=+1+

區(qū)+一于+4'

化簡

<dx

辦

心

+號+O

區(qū)=z

V

解出裊號審

例4設〃=/(x,y,z)有連續(xù)偏導數(shù)，z=z(>,y)由方程

xex-ye-'=ze]所確定求力，

解一：令F(x,y,z)=xe*-ye-'-z"得"'=(x+l)e*,耳=-(y+l)e>,

p=_(z+1)"則用隱函數(shù)求導公式得

Hz_工'_x+l〃rdz_y+1y-2

dxF；z+1'dyz+1

"=/+走"+/'，上

dx，xJzdxJxJzz+1

2=4+/咨=4―/：?號

dydyz+1

du="dx+"dy=(f；+f'ex'!)dx+-f^^ey~:)dy

oxdyz+1z+1

解二：在xex-yey-zez兩邊求微分得

(1+x)exdx-[\+y)eydy=(1+z)e~dz

(1+x)exdx-(1+y)eydy

解出dz=

(l+z)ez

代入du=f；dx+f'dy+f'dz

(1+%)e'dr-(1+y)eydy

(l+z'z

合并化簡也得血=（G/駕e『+GY號e”

例5設/（，，,u）具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足夏=1,

du"加~

g(X，y)=/孫,g"一/)，求需+需

解：u=xy,v=^(x2-y2)

返二理+2返二/_陛

dxdu3vdydu.3v

需=用居卜患％前十5

a「方]a"dua"3v2悸卜暮白翳當代入上式

3xdu加~3x3w3vdxdxLdu」ovouoxovox

故,：,fa2g?2壯a2/+2c孫Wa"+/2

8v23v'

巧2尤第

所以:翳+需"+*￡+，+/

=r2+y-2

例6已知F(-,—)=0確定z=z(x,y)其中F(〃,u),z(x,y)

zz

均有連續(xù)編導數(shù)，求證x孕+y孕=z

oxOy

XV

證：F(u,v)=F(-,—)=G(x,y,z)=0

zz

G：=E/，G；=E，，G；=E：(一力+F：(一_

zzzz

根據(jù)隱函數(shù)求導公式

dz_G：_zF：3z_G；_zF"

派G；xF^+yF'dyG；xF't+yF'

dzdz

則得x—+y—=z

oxdy

2

x--u"+v+zdu3v加

例7設求

y=u+vz5dz

2

x=-u+u+z

解：對的兩邊求全微分，得

y=〃+vz

dx=-2udu+du+dz2udu-dv=-dx+dz

=><

dy=du+zdv+vdzdu+zdv-dy-vdz

=>而_z小+(z-v)dz+dy

2uz+1

亂_2udy+tZx-(14-2uv)dz

2uz+1

〉—du——---z---,—3v_____1___,d—u—-z---v----

3x2uz+1dx2uz+1dz2uz+1

§6.3多元函數(shù)的極值和最值

（甲）內容要點

一、求z=，（x,y）的極值

第一步〔然;2求出駐點⑷山

（攵=1,2,…

第二步令yk）fyy（xk,yk）-匕0，以）F

若AA.＜0則/（七,券）不是極值

若△*=（）則不能確定（有時需從極值定義出發(fā)討論）

若△*＞（）則是極值

若/二（々，”）＞0則/（4.,%）為極小值

進一步

若/X?,九）＜。則/（4,”）為極大值

二、求多元（〃？2）函數(shù)條件極值的拉格朗日乘子法

求〃=/（再,…，兌）的極值

血（一,…，怎）=0

約束條件＜：（〃?＜〃）

.em（Xl，.~，Z）=0

令F=E（X，…,x“，4,…,兒“）=/（和…,x.）+Z4e（Xi，,rJ

i=l

E=o

F：=0

Fj=9i（X|,…,x“）=0

產(chǎn)工=。,"，…，x"）=°

求出（甘,…,只）（A=1,2,…,/）是有可能的條件極值點，一般再由實際問題的含義確

定其充分性，這種方法關鍵是解方程組的有關技巧。

三、多元函數(shù)的最值問題（略）

（乙）典型例題

一、普通極值

例1求函數(shù)Z=/+y4_工2一2個一>2的極值

解導4—導4~尤一2y

乎=半=0,得x+y=2/=2y3

要求

oxdy

故知x=y,由此解得三個駐點

x=0X=1x=—\

y=0,J=T

步12~，器5-2

又=-2,

dxdy

在點(b1)處

8=生⑺產(chǎn)一2,0=第,.|)=10

A（i,i）=1°，

dxdy

\^AC-B-=96>0

又A=10>0,(U)是極小值點

極小值Z[]）=—2在點（-1,-1）處

(-1)=-2,c=|^r|(-i,-i)=10

=10,8=

ifdxdy

A=AC-B2=96>0

A=10>0,-1,-1）也是極小值點

極小值Z|（T,_|）=-2在點（0,0）處

4科,_A_氏

9=-2,=-2

"dxd

(o.o,'_y

(0.0)力(0.0)

△=AC-82=0不能判定

這時取X=￡,y=T■（其中￡為充分小的正數(shù)）則Z=2￡4>0

而取x=y=戌寸Z=2￡4-4/<0由此可見（0,0）不是極值點

例2設z=z(x,y)是由/-6xy+l0y2-2yz-z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x,y)的

極值點和極值。

解因為x2-6xy4-10/-2yz-z2+18=0

每一項對x求導，Z看作X,y的函數(shù)，得

2x-6y-2y生-22生=0,(1)

oxox

每一項對y求導，z看作x,y的函數(shù)，得

()z()z

-6x4-20y-2z-2y-——2z—=0.(2)

dydy

3Z

一=0,

令x-3y=0,x=3y,

ax得故<

az

-=0,-3x+10>'-z=0,z=y.

a)

將上式代入T—6xy+10y~-2yz—z~+18=0,可得

x-9,x--9,

y=3,或y=-3,

z=3.z=-3.

Hz

把（l）的每一項再對無求導，z和丁看作的函數(shù),得

dx

2-2點—2弓)2_22售=0,

dxoxdx"

Hz

把（1）的每一項再對y求導，z和一看作的函數(shù),得

dx

3zd~zdzdzd~z

-6-2------2y---------2------------2z-------=0,

dxdxdydydxdxdy

Hz

把（2）的每一項再對y求導，z和3看作xj的函數(shù),得

dy

20—2$一2M2>詈-2仔>_2z普=0,

dydydydyoy~

所以A嘮B=^~-1C-_5

…=2'辦2

(933)口dxdy

,1又A=L>0,從而點（9,3）是z（x,y）的極小值點，極小值

故AC-B2=—>0,

366

為z(9,3)=3.

類似地，由

A-逅---B-3~Z---C--I

——一個6—奇——一天。一獷1-97.-“__]

可知AC-B2=—>0,又4=一!<0,所以點(一9,—3)是2(羽田的極大值點，極

366

大值為z(—9,—3)=-3.

二、條件極值問題

例1在橢球面泉+學+奈=1第一卦限上尸點處作切平面，使與三個坐標平面所圍四面

體的體積最小，求P點坐標。

.2x2y2z

解：設P點坐標(x,y,z),則橢球面在P點的切平面的法向量為(了-，3v，萬石)

221

切平面：-x(X-x)+-y(Y-y)+-z(Z-z)=O

22I

—xX+—浮+―zZ—2=0

259-2

x軸截距(y=o,z=o)x=—

X

y軸截距(Z=0,X=0)Y=-

y

4

z軸截距(x=o,y=o)z=?所以四面體的體積

z

j_2594_150

6xyzxyz

222

約束條件|r+y+|r-1=0O>o，y>o，z>o)用拉格朗日乘子法，令

?八150..x2y2z2..

F=F(x,y,2,之)=二+〃不+港+至-1)

xyzDDN

1502/1

F：=—x=0(1)

fyz25

1502An

F；尸2+—y=0⑵

xyz9

1502A八

F：=-------r+—z=0⑶

孫z~4

X222

卜y+:一1=0(4)

*3222

450

用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3）得------1-2/1=0

xyz

則24=當

(5)

xyz

將(5)分別代入(1),(2),(3)得

532

_5_

所以p點坐標為（）而最小體積V=156

元2+22=]

例2求坐標原點到曲線C：\）一的最短距離。

2x-y-z=1

解：設曲線C上點（x,y,z）到坐標原點的距離為d,令w=d2=X2+y2+z2,

約束條件r+y2—z2—1=0,2x—y—z—1=0用拉格朗日乘子法，令

F=F(x,y,z,44)=(x2+y2+z2)+2(x2+y2-z2—l)+//(2x-y—z—1)

F'=2x+2Ar+2〃=0(1)

=2y+2狗-〃=0⑵

￡'=2z-24z-4=0(3)

-x2+y2-z2-1-0(4)

F；=2x-y_z-]=0⑸

首先，由（1）,（2）可見,如果取7=-1,則4=0,由(3)可知z=0,再由(4),(5)得

￡+y2_]=o,2九_y_l=0

這樣得到兩個駐點4(0,—1,0),鳥《,|,0)其次，如果取4=1,由(3)得4=0,再由

(1)(2)得》=0,〉=0這樣⑷成為-z2=l,是矛盾的，所以這種情形設有駐點。

最后，討論/1/-1情形，由(1)(2),(3)可得

、二一七‘"缶’2=缶代入⑷，⑸消去4得3無一期+8=°此方

程無解，所以這種情形也沒有駐點。

綜合上面討論可知只有兩個駐點，它們到坐標原點的距離都是1,由實際問題一定有最

短距離，可知最短距離為1。

另外，由于C為雙曲線，所以坐標原點到C的最大距離不存在。

例3已知函數(shù)2=/。,)0的全微分a=2%小-2)山,并且/1(1,1)=2.求/(龍，30在橢圓域

D=](x,y)x2+上4上的最大值和最小值。

4

解法1由dz=Ixdx-2ydy可知

z=/(x,y)=_?一/+c

再由/(1,1)=2,得C=2,故

z=f(x,y)=x2-y2+2

令%=2尤=0,%=—2y=0,解得駐點(0,0).

oxdy

在橢圓/+—=1上，z=九2一(4一412)+2,即

4

z=5x2-2(-1<x<1),

其最大值為由玨=3,最小值為2=|戶0=-2,

再與/(0,0)=2比較，可知f\x,y)在橢圓域D上的最大值為3,最小值為-2。

解法2同解法1,得駐點(0,0).

用拉格朗日乘數(shù)法求此函數(shù)在橢圓/+匯=1上的極值。

4

設L—x~-y~+2.+“尸+q—1),

=2x+2Ax=0,

2

令<4=-2y+5y=o，

L!,—x2+----1=0

I4

解得4個可能的極值點(0,2),(0,-2),(1,0)和(-1,0).

又f(0,2)=-2,f(0,-2)=-2,/(1,0)=3,/(-1,0)=3,再與/(0,0)=2比較，得/(x,y)在。上的最

大值為3,最小值為-2。

第七章多元函數(shù)積分學

§7.1二重積分

(甲)內容要點

-、在直角坐標系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序問題

模型I：設有界閉區(qū)域

D={(x,y)\a<x<b,例(x)WyW仍(x)}

其中一(x),仍(%)在［a,b］上連續(xù),/(x,y)在

。上連續(xù)，則

b02。)

JJ/(*,y)da=JJf(x,y)dxdy=^dxj/(九,y)dy

DDa仍(x)

模型n：設有界閉區(qū)域

D={(x,y)|c<y<d,(p^y)<x<^p2(y)}

其中一(y),*2(y)在Cd］上連續(xù)，/(x,y)

在。上連續(xù)

d%(y)

則jjf(x,y)dcrf(x,y)dxdy=^dyJf(x,y)dx

DDcg(y)

關于二重積分的計算主要根據(jù)模型i或模型n,把二重積分化為累次積分從而進行計算,

對于比較復雜的區(qū)域D如果既不符合模型I中關于D的要求，又不符合模型II中關于D的

要求，那么就需要把D分解成一些小區(qū)域，使得每一個小區(qū)域能夠符合模型1或模型II中

關于區(qū)域的要求，利用二重積分性質，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和,

而每個小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進行計算。

在直角坐標系中兩種不同順序的累次積分的互相轉化是一種很重要的手段，具體做法是

先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區(qū)域D,然后根據(jù)D再把二重積

分化為另外一種順序的累次積分。

二、在極坐標系中化二重積分為累次積分

在極坐標系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定。對7進行積分，然后再對

。進行積分，由于區(qū)域D的不同類型，也有幾種常用的模型。

模型I設有界閉區(qū)域

其中Qi(。),/(6)在3。］上連續(xù)，/(x,y)=/(/cos8,/sin8)在。上連續(xù)。

P仍(6)

則JJ/(x,y)da=jj/(/cos0./sinO)ydydO=j/(/cos0,/sin0)ydy

DDa8(6)

模型n設有界閉區(qū)域

D={(y,^)|a<^<AOSyW9(6)}其中

夕(6)在［a,Bl上連續(xù)，

/(x,y)=/(/cos仇/sin6)在。上連續(xù)。

B叭6)

則JJ/(羽y)do=j|/(/cos6,/sinO^^ydO=^d0j/(/cos仇ysin。)典y

DDa0

(乙)典型例題

一、二重積分的計算

例1dxdy,其中。由和y軸所圍區(qū)域

D

11,

解：如果jjey心心=|dx^e~ydy

DOx

那么先對"丁求原函數(shù)就不行，故考慮另一種順序的累

次積分。

1y

jje~ydxdy=jdy^e~ydx

D00

這時先對X積分，e-廣當作常數(shù)處理就可以了。

例2計算JJyl\y-x2\dxdy

|A1<1

0<y<2

1_x2_________2_________

解：原式=J么|yjx2-ydy+J^y-x2dy

-iL°『

=-|||j(2-x2')2dx-^-+^

JT3T,乙

例3求/=jj(yjx2+y2+y)d(j

D

x2+y2<4

D:/o

u+l)2+y2>l

解mu

D。大眼。小康

JJ+do=JJJf+fdb+o(對稱性)

D大網(wǎng)。大1國

2萬2

216

=jdgjrdr—兀

00°3

34

,2—2cos030

JJ=JJ'?+—^b+0=jr1dr-一

。小HID小圜X09

+/+y)db=苧(34一2)

9

解二：由積分區(qū)域對稱性和被積函數(shù)的奇偶性可知

D

jjJ/+y2do=2jjy/x24-y2d(J

DDx

原式=2Jj+y2do■+JjJX?+y2do

_Dg。上2

7t

22712

12

=2\de\rd7+\deJrdr

00至-2cos?

2

「4416J16/c-

=2—4+(—4---)=—(3/r—2)

3399

二、交換積分的順序

2aJ20r

例1交換\dxf/(x,y)dy的積分順序

o懸？

解原式=JJ于(x,y)dxdy

D

其中D由y=d2ax-X2和y=N2ax以及

x=2。所圍的區(qū)域

D=D}UD2UD3

y=J2ax解出x=—

由"2。

y^^lax-x1解出x=a±&2_y2

因此按另一順序把二重積分化為累次積分對三塊小區(qū)域得

aa-a2a2a2a

原式=jf(x,y)dx^-^dyjf(x,y)dx+jdyJf(x,y)dx

o《°a+\ja2-y2a￡

五五

例2設，'(y)連續(xù)，證明

令x-"+)=---sint,則dx=---costdt,

222

1a-y

a2----------COSta

/=Jj-^-7----------dt=可r(y)dy=7r[/(a)-/(0)]

0^cos/0

22

三、二重積分在幾何上的應用

1、求空間物體的體積

例1求兩個底半徑為R的正交圓柱面所圍立體的體積

解設兩正交圓柱面的方程為Y+y2=R2和*2+Z2=R2,它們所圍立體在第一卦限

中的那部分體積

V,=jjylR'-x1dxdy

D

其中。為OSxWR,0<y<yjR2-x2

R>!R2-X2_______R0

因此X=J公j」R2-￡dy=「R2-爐灶=4R3

0003

而整個立體體積由對稱性可知

V=8V,=—/?3

13

例2求球面V+y2+z2=4R2和圓柱面/+卜2=2&（火>0）所圍（包含原點那一

部分）的體積

解匕=叫也/?2-％2-y2dxdy

D

其中。為孫平面上y=^2Rx-x2與x軸所圍平面區(qū)域用極坐標系進行計算

￡

.__________~22Reos0________

v=4yj4R2-r2rdrdO=4jd6jJ4H?一

D00

32/?'?...tz)j323Jr2

=e)xd/z8=，R(y--)

2、求曲面的面積(數(shù)學一)

§7.2三重積分（數(shù)學一）

（甲）內容要點

一、三重積分的計算方法

1、直角坐標系中三重積分化為累次積分

(1)設。是空間的有界閉區(qū)域

Q={(%,y,z)|z,(x,y)<z<z2(x,y),(x,y)eD}

其中。是孫平面上的有界閉區(qū)域，Z](x,y),Z2(x,y)在D上連續(xù)函數(shù)/(x,y,z)在。上

連續(xù)，則

.z2(x,y)

川/(%,y,z)dv=jjdxdyjf(x,y,z)dz

CD4(x,y)

(2)設已={0,%2).<24￡,(x,y)e￡>(z)}

其中力⑵為豎坐標為z的平面上的有界閉區(qū)域，則

P

JJJf(x,y,z)dv=jdzJJf(x,y,z)dxdy

CaD(z)

2、柱坐標系中三重積分的計算

J|j/(x,y,z)dxdydz=jj|/(rcos6,rsin0.z)rdrd0dz

cQ

相當于把a,y)化為極坐標(幾。)而z保持不變

3、球坐標系中三重積分的計算

x=0sinJcos。p>0、

y=psin0sin(pO<0<7T

z=pcos00<(p<2萬)

jjj/(x,y,z)dxdydz=jjj/(psin0cos(p,psin6sin0,pcos3)p2sin3dpelOd(p

(乙)典型例題

一、有關三重積分的計算

例1計算JJJAY2Z3公“ydz,其中。由曲面2=q,y=x,x=l,z=0所圍的區(qū)域

1xxy

解JUxy2z3dxdydz=jdx^dy^xy~z3dz

Q000

xndx=—

364

22,2,222

?7Y

例2計算叫*+方+J世dydz淇中。由曲面三+/+