高中數(shù)學核心概念的教學設計

高中數(shù)學核心概念的教學設計第一頁，共六十四頁，2022年，8月28日目錄一.數(shù)學概念教學的重要性二.數(shù)學概念教學“教什么”三.數(shù)學概念教學典型案例分析第二頁，共六十四頁，2022年，8月28日一.數(shù)學概念教學的重要性知名華人數(shù)學家、哈佛大學教授丘成桐興沖沖地趕到杭州，去與一群剛在高考中取得好成績的數(shù)學尖子見面。結果卻讓他頗為失望：“大多數(shù)學生對數(shù)學根本沒有清晰的概念，對定理不甚了了，只是做習題的機器。這樣的教育體系，難以培養(yǎng)出什么數(shù)學人才?！钡谌摚擦捻?，2022年，8月28日李邦河院士：“數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！”概念教學常常采用“一個定義，幾項注意”的方式，以解題教學代替概念教學的做法，嚴重偏離了數(shù)學的正軌，必須糾正．否則，學生在數(shù)學上耗費大量時間、精力，結果可能是對數(shù)學的內容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學育人”終將落空．第四頁，共六十四頁，2022年，8月28日數(shù)學是用概念思維的，在概念學習中養(yǎng)成的思維方式，其遷移能力也最強．數(shù)學概念教學的意義，不僅在于使學生掌握“書本知識”，更重要的是讓他們從中體驗數(shù)學家概括數(shù)學概念的心路歷程，領悟數(shù)學家用數(shù)學的觀點看待和認識世界的思想真諦，學會用概念思維，進而發(fā)展智力和培養(yǎng)能力。第五頁，共六十四頁，2022年，8月28日二.數(shù)學概念教學“教什么”1.教數(shù)學概念的本質概念：反映事物本質屬性的思維產(chǎn)物.數(shù)學：空間形式和數(shù)量關系.數(shù)學概念：反映數(shù)學對象的本質屬性的思維產(chǎn)物.本質屬性：共有性，特有性，整體性；相對性：在一定范圍內保持不變的性質是“本質屬性”，而可變的性質則是“非本質屬性”。第六頁，共六十四頁，2022年，8月28日（1）概念教學的關鍵是揭示本質屬性示例1：集合概念的教學幼兒園孩子學習集合。應如何學習集合？示例2：數(shù)列概念的教學數(shù)列的本質是什么？應如何學習數(shù)列？第七頁，共六十四頁，2022年，8月28日示例3：函數(shù)概念的本質設A、B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A.其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集.第八頁，共六十四頁，2022年，8月28日進一步思考：函數(shù)的本質究竟是什么？A.“非空數(shù)集”是函數(shù)的本質屬性之一嗎？B.“單值對應”是函數(shù)的本質屬性之一嗎？C.“對應法則”是函數(shù)的本質屬性之一嗎？D.A同f同、但B不同的兩個函數(shù)，是否為同一個函數(shù)？E.函數(shù)本質上是一種人為約定的特殊“對應”.第九頁，共六十四頁，2022年，8月28日第十頁，共六十四頁，2022年，8月28日(2)凸顯概念本質的基本策略是“變式教學”變化當中保持不變的屬性就是事物的本質屬性。變式是變更對象的非本質屬性或本質屬性特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素。概念變式和非概念變式，統(tǒng)稱為概念性變式.第十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日示例4：復數(shù)的本質二元的復數(shù)不僅有數(shù)量意義,而且還有方向意義，“數(shù)量加方向”是復數(shù)的本質屬性。用幾何形式表示：它的意義是一個向量，其本質特征是向量的長度和方向;用三角形式表示：在z=r(cosθ+isinθ)中，r表示復數(shù)向量的長度，θ表示復數(shù)向量的方向；用代數(shù)形式表示:在z=a+bi中，復數(shù)向量的長度是“

”，“

”就表示了復數(shù)向量的方向。第十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日示例5：向量的數(shù)量積①代數(shù)表征：，說明兩個向量的數(shù)量積是3個實數(shù)的乘積。②幾何意義：叫做在的方向上的投影，故數(shù)量積在圖形上表征為兩條線段“長度”的乘積。③變式理解：第十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日(3)背會數(shù)學定義不等于掌握了數(shù)學概念示例6：一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么事件發(fā)生的概率P（A）=p。頻率穩(wěn)定于概率，是不是說頻率的極限是概率？頻率穩(wěn)定于p，能不能寫成：第十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日①只有大量試驗的頻率才能作為概率的估計.頻率總可以作為概率的估計,試驗次數(shù)的多少只是影響估計的精度,試驗次數(shù)隨實際問題而定.

②把“用頻率估計概率”錯誤地理解為用頻率的穩(wěn)定值估計概率或頻率的穩(wěn)定值是概率的估計等.

頻率的穩(wěn)定值就是概率,但僅從試驗中我們無法知道頻率的穩(wěn)定值具體是多少.第十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日③

“試驗次數(shù)少頻率不準確”

“隨著試驗次數(shù)的增加頻率越來越接近概率”.頻率隨試驗結果而改變,沒有準確與不準確的問題.試驗結果確定了,頻率就定了.試驗次數(shù)的增加，不能絕對保證頻率越來越接近概率.只是當實驗次數(shù)很大時，事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小.第十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日（4）概念教學應“淡化形式，注重實質”陳省身：“當然不能考定義、定理，只能考具體問題，看你能不能把定義落實到例子上”。示例7：對稱軸，角；導數(shù)，定積分思考：，是指數(shù)函數(shù)嗎？，是對數(shù)函數(shù)嗎？給出一個函數(shù)，怎么知道它能否變成一個指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)呢？第十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.教數(shù)學概念的過程示例8：直線的方向向量與平面的法向量①為什么要提出方向向量與法向量的概念？如何來刻畫直線與平面的方向？為什么要用向量平行來刻畫直線的方向？為什么要用向量的垂直來刻畫平面的方向？①李祎.基于探究學習的數(shù)學教學策略研究,《數(shù)學通報》，2009年第2期第十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日示例9：函數(shù)的單調性（形式化過程）單調性教學設計大體從三個層次展開：首先，觀察圖像，描述變化規(guī)律，如上升、下降，從幾何直觀角度加以認識；其次，結合圖、表，用自然語言描述，即因變量隨自變量的增大而增大（或減?。蛔詈?，用數(shù)學符號語言描述變化規(guī)律，逐步實現(xiàn)用精確的數(shù)學語言刻畫函數(shù)的變化規(guī)律。第十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日教學的困惑：從圖像上不難獲得圖像“上升”或“下降”的直觀特征，但為什么還要進一步來研究它呢？解釋和說明：“上升”“下降”是一種日常語言，用日常語言描述“單調增”“單調減”這樣的數(shù)學性質是不夠準確的。能否用數(shù)學語言來描述函數(shù)的這種特點呢？如果可以的話，又該如何來描述呢？這時結合圖像的特點，即它是“函數(shù)”的圖像，從而根據(jù)函數(shù)的意義，自然過渡到第二個層次。第二十頁，共六十四頁，2022年，8月28日教學的難點：如何用符號化的數(shù)學語言來描述遞增的特征，這其中有兩個難點：第二十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日3.教數(shù)學概念的方法數(shù)學概念是基于問題解決的需要而建立的。但有的數(shù)學概念本身就蘊含著解決問題的方法。這時教師在教學中需要著重思考：概念解決的是什么類型的問題？解決問題的思路與方法是什么？不能將數(shù)學概念教學簡單化，以為學生會利用概念進行推理和運算就是理解了概念。第二十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日示例10：古典概型與幾何概型解決問題：隨機試驗中某一事件發(fā)生的概率；適用條件：兩者均是等可能概型，古典概型適用于試驗結果有限個的情形，幾何概型適用于試驗結果無限多的情形。

解決方法：辨別；計算。

第二十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日概率模型的類型，是相對而言的。一個靶子如圖所示，飛鏢手隨機地擲一個飛鏢扎在靶子上，假設飛鏢既不會落在靶心，也不會落在兩個區(qū)域之間，求飛鏢落在4號區(qū)域的概率。

第二十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日示例11：導數(shù)與定積分解決問題：導數(shù)求解的是瞬時變化率問題；定積分求解的是總量問題。解決思路：導數(shù)是辯證轉化與否定之否定思想的成功運用；定積分是“化整為零、積零為整”的辯證思想的成功應用。第二十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日導數(shù)概念的引入——百米跑老師：小王的100米成績是12秒，很快的速度。這里講的是他跑這100米的平均速度，在他撞線時肯定有速度，我們能否知道他撞線時的速度？學生議論：不知道加速度呀；也不一定是勻加速呀……老師明確說明：百米賽跑剛起跑加速度大，中間幾乎是勻速，沖刺時又可能加速，整個過程不可能是勻加速運動。第二十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日學生的討論陷入了僵局。這時老師就處于不能自己講又不能一味等的兩難境地。合理的問題引導才是讓學生思維突破的上策。老師引導：速度是路程與時間的比值，我們能不能找一種近似的方法來描述撞線的速度呢？受到啟發(fā)后，隨即有同學舉手回答：用最后1秒里跑的路程除以時間，或者是找出最后一段時間里的路程除以時間。(很多同學認可！)第二十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日老師繼續(xù)引導：假設第12秒里小王跑了10米，那么第12秒里的平均速度就是10米/秒，我們可以用10米/秒來近似地描述他撞線的速度。如果他在最后的0.5秒里跑了5.5米，那么他在最后半秒里的速度是11米/秒，我們也可以用這個速度近似描述他撞線的速度。請同學思考：這種用一段較短時間里的平均速度近似描述撞線速度的辦法，怎樣描述才會更精確一些呢？第二十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日學生搶著回答：時間取得越短越精確。另一學生又站起來說：時間越來越小漸漸趨向于0時，平均速度就越來越接近于瞬時速度。同學們喜形于色，議論紛紛。老師繼續(xù)引導：那平均速度與瞬時速度是不是一回事呀？同學齊答：不是。……第二十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日4.教數(shù)學概念的聯(lián)系在講某個概念時，首先要在宏觀上認識這個概念在數(shù)學知識體系中的地位與作用，不要一開始就把焦點放在概念的定義、內涵等具體內容上。首先思考“為什么要引入這個概念，這個概念與相鄰概念之間有何聯(lián)系與區(qū)別”等問題，這樣就能在頭腦中建立由基本概念構成的概念系統(tǒng)。第三十頁，共六十四頁，2022年，8月28日教師在教學中把這種觀念傳遞給學生，學生就會圍繞這個概念逐步構建起一個概念網(wǎng)絡，網(wǎng)絡的結點越多、通道越豐富，概念理解就越深刻，面臨復雜問題時，就容易產(chǎn)生思維指向，實現(xiàn)轉化、遷移，這正是形成數(shù)學能力的基本要素!示例12：函數(shù)的零點定義：對于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點。第三十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日示例13：單調性、斜率、正切、導數(shù)A.單調性B.斜率直線是線性的，它描述的是均勻變化，是最簡單的變化。即直線在某個區(qū)間

上的平均變化率

，與直線上任意一點x0的瞬時變化率（導數(shù)）

是相同的，都等于這條直線的斜率k。

第三十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日C.正切D.導數(shù)導數(shù)是平均變化率的極限，即表示瞬時變化率。其幾何意義是切線的斜率：遞增；遞減。第三十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日三.數(shù)學概念教學典型案例分析數(shù)學中的概念大多有其發(fā)生、發(fā)展和完善的經(jīng)歷，教師在講概念之前一定要研究清楚概念的來龍去脈，對概念本身要有深入的理解．對概念的“前世今生”理解不透徹，就不能揭示概念產(chǎn)生的合理性和必然性，還有可能誤導學生．所以，概念課前教師必須深入研究概念、正確理解概念，做到知其然，知其所以然．第三十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日人教版教材：數(shù)學概念、數(shù)學方法與數(shù)學思想的起源與發(fā)展都是自然的!如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成過程、它的應用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味!第三十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日在教學前需要對概念進行學術解構和教學解構：學術解構是指從數(shù)學學科理論角度對概念的內涵及其所反映的思想方法進行解析,包括概念的內涵和外延、概念所反映的思想方法、概念的歷史背景和發(fā)展、概念的聯(lián)系、地位作用和意義等。第三十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日教學解構是在學術解構的基礎上,對概念的教育形態(tài)和教學表達進行分析,重點放在概念的發(fā)生發(fā)展過程的解析上,包括對概念抽象概括過程的“再造”、辨析過程(內涵與外延的變式，正例和反例的舉證)和概念的運用(變式應用)等。第三十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日案例1：函數(shù)的奇偶性（1）學習背景分析小學數(shù)學：二年級“美麗的對稱圖形”（認識并畫出：畫一畫）；五年級“圖形的變換——軸對稱”（方格紙上研究軸對稱：量一量，數(shù)一數(shù)）初中數(shù)學：初二“軸對稱”（坐標系中研究軸對稱的特征和性質）高中數(shù)學：函數(shù)的對稱性——奇偶性；方程曲線的對稱性第三十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日（2）學習價值分析認識論的價值：經(jīng)歷從特殊（具體函數(shù)）到一般（抽象函數(shù)）、從具體（運算）到抽象（概括）的思維過程，經(jīng)由直觀分析到演繹證明、從自然語言到符號表示，使學生認識到數(shù)學研究是一條從感性走向理性、從粗糙走向精細的發(fā)展之路。方法論的價值：奇偶性概念蘊涵的數(shù)學思想是“轉化思想”。即對于一個確定的奇函數(shù)或偶函數(shù)，如果已知該函數(shù)圖像在y軸一側的特征，便可推知該函數(shù)圖像y軸另一側的特征。第三十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日（3）直觀特征為何要量化？為什么需要將圖像的對稱特征用形式化的符號表示出來，并以此作為函數(shù)奇偶性的定義?“符號表示是一種數(shù)量關系的表示，目的是準確地表達圖像上點與點之間位置關系的規(guī)律”；“從數(shù)量角度研究空間形式是數(shù)學上的要求”；“圖像特征本質上是函數(shù)性質的直觀表現(xiàn)，用函數(shù)符號來反映圖像的對稱性是一種回歸”；“函數(shù)的奇偶性是函數(shù)自身的一種性質，因而需要用對應關系體現(xiàn)的性質來下定義”等。第四十頁，共六十四頁，2022年，8月28日（4）需要嚴格證明嗎？結合具體函數(shù)圖像觀察和運算檢驗,不難得出“y=f(x)的圖像關于y軸對稱,等價于f(-x)=f(x)”.是否要求學生對該結論進行證明呢?數(shù)學是講“道理”的科學,看上去“顯然成立”的結論往往需證明,這是理性精神的體現(xiàn).培養(yǎng)理性精神、發(fā)展理性思維能力是高中數(shù)學的教學目標.引導學生對上述結論進行嚴格證明,不僅可以發(fā)展學生的邏輯思維能力,對于學生形成言必有據(jù)的科學態(tài)度也頗有裨益.第四十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日①

在函數(shù)y=f(x)的圖像上任取一點P(x,f(x))；②

寫出點P關于y軸的對稱點(-x,f(x))；③

根據(jù)圖像對稱性的定義，(-x,f(x))也在函數(shù)y=f(x)的圖像上，由此得到f(-x)=f(x)；④

由于以上步驟可逆，因而從“對于定義域內的任意x，都有“f(-x)=f(x)”出發(fā)，也可獲得“y=f(x)的圖像關于y軸對稱”的結論．第四十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日（5）能培養(yǎng)哪些能力？一是直觀基礎上的分析和概括能力．①從整體到局部，即“函數(shù)圖像的特征”向“點與點之間的位置關系”的轉化——分析能力．②從“形”到“數(shù)”，即“點與點之間的位置關系”向“點的坐標之間的關系”的轉化——分析能力．第四十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日③從特殊到一般，即借助具體的x的值和對應的f(x)的值，歸納得到“圖像上橫坐標互為相反數(shù)的兩個點，其縱坐標相等”——概括能力．④形式化表示,即“若x1=-x2，則f(x1)=f(x2)”，簡記為“f(-x)=f(x)”——符號表達能力．第四十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日函數(shù)y=f(x)的圖像關于y軸對稱→存在點與點之間位置關系的規(guī)律性→因為點的橫坐標、縱坐標分別表示自變量的值和其對應的函數(shù)值，所以自變量的值之間具有某種特殊關系時，對應的函數(shù)值之間也會呈現(xiàn)特定的關系→列出函數(shù)值對應表，觀察和歸納得到“若x1=-x2，則f(x1)=f(x2)”→“f(-x)=f(x)”第四十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日二是推理論證能力．引導學生利用對稱性的定義證明非邏輯手段獲得的以下命題，發(fā)展學生的演繹證明能力．命題:若函數(shù)y=f(x)的圖像關于關于y軸對稱，則f(-x)=f(x)；反之，也成立．第四十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日（6）遷移價值分析發(fā)揮思維的遷移作用,獲得超越課本的數(shù)學知識。一般地，對于函數(shù)y=f(x)，若其圖像關于直線x=m對稱，如何用對應關系f來表示這一圖像特征呢？若其圖像關于點Q(a,b)對稱，又如何用對應關系f來表示這一圖像特征呢？第四十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日函數(shù)圖象的對稱性：第四十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日方程曲線的對稱性：第四十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日案例2：斜率不同版本的教材，其處理方式不同。大體有兩類：（1）用傾斜角的正切值定義斜率人教A版、鄂教版、湘教版。比如人教A版：確定直線位置的幾何要素→傾斜程度→傾斜角→斜率→過任意兩點的斜率公式第五十頁，共六十四頁，2022年，8月28日①傾斜角代數(shù)化的理由斜率公式反映出斜率在聯(lián)系兩點的坐標與直線傾斜角的優(yōu)越性；(解析思想)(列方程之需)斜率在研究直線平行與垂直上的作用；一次函數(shù)y=kx+b中k的幾何意義。第五十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日②斜率使用正切的理由首先與“坡度”概念一致。坡面的鉛直高度和水平長度的比。（垂直變化率）其次，不管是銳角變化，還是鈍角變化，反映的都是傾斜角越大，斜率越大。第三，正切值就是直線的變化率，這樣，采用正切值與導數(shù)保持了一致性。第五十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日③用傾斜角的正切值定義斜率的弊端為什么有了角已能確定直線的前提下，還一定要將其代數(shù)化？采用坡度的例子只能說明傾斜角為銳角的情形，傾斜角為鈍角時是解釋不清楚的．把代數(shù)形式的表示縮小到了“正切”，為何要用正切？學生可能知其然，不知其所以然。第五十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日（2）直接用變化率定義斜率根據(jù)“兩點確定一條直線”可知，兩點就可刻畫直線的傾斜程度?！奥省笔侵竷蓚€相關數(shù)的比值，x變化單位長時，看y變化了多少，實質是對x和y變化的快慢程度的刻畫。角越大，傾斜程度越大，該特定比值越大。第五十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日比如北師大版：傾斜角0≤A<90時，??當橫坐標x從0到l，增加一個單位時，縱坐標y從0增加到k(k>0)，我們稱k為這條直線的斜率．??通常我們把tanA也叫做直線的斜率．傾斜角90≤A<180時，??當橫坐標x從0到l，增加一個單位k時，縱坐標y從0減少到k(k>0)，我們稱-k為這條直線的斜率．第五十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日解析幾何的本質是用“數(shù)”刻畫“形”，因而用數(shù)刻畫直線的傾斜程度，符合解析幾何的思想。傾斜角本身包含了形，用它來刻畫直線的傾斜程度，就像“傾斜角相等→兩直線平行”一樣，看似直觀，卻不能體現(xiàn)解析幾何的思想。第五十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日教學思路新構想：兩點確定一條直線，一點呢？→一點無法確定直線的方向→兩點可以確定直線的方向→直線定、傾斜程度定→用兩點刻畫直線的傾斜程度→聯(lián)想坡度引出斜率概念→已知兩點與任一動點→直線的兩點式。第五十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日一點加一傾斜角也可確定直線→任一動點和已知點，與傾斜角存在怎樣的聯(lián)系？→動點運動所形成的直線的傾斜程度，用斜率刻畫，發(fā)現(xiàn)它就是傾斜角的正切值→直線的點斜式。第五十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日案例3：三角函數(shù)（1）三角函數(shù)的認知基礎三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，同時又是銳角三角函數(shù)的上位概念；教學要以函數(shù)思想為指導，以銳角三角函數(shù)概念為認知起點，突破用直角三角形定義三角函數(shù)的思維局限，以坐標系和單位圓為定義工具，促進任意角三角函數(shù)定義的有效生成。第五十九頁，共六十四頁