高中數學第十章復數1022第1課時復數乘法新人教B必修第四冊新人教B高一第四冊數學教案

10．2.2復數的乘法與除法第1課時復數的乘法[課程目標]1.能運用復數的乘法運算法例進行簡單的計算；2.掌握虛數單位“i”的冪的規(guī)律進行化簡求值．知識點一復數的乘法[填一填]復數乘法法例一般地，設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，稱z1z2(或z1×z2)為z1與z2的積，并規(guī)定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.運算律對隨意復數z1，2，3，有z1·2＝2·1，(1·2)·3＝1·(2·3)，1(z2＋3)＝zzzzzzzzzzzzzz1·z2＋z1·z3.復數的乘方n個同樣的復數z相乘時，仍稱為z的n次方(或n次冪)，并記作zn，即zn＝z×z××z.n個當m，n均為正整數時，

mnm＋nmnmnnnnzz＝z，(z)＝z，(z1z2)＝z1z2.[答一答]如何理解復數代數形式的乘法法例？提示：(1)在進行復數代數形式的乘法運算時，牢牢抓住與多項式乘法的同樣點和不一樣點進行計算，不要死記結論．乘法對加法的分派律的逆向使用是為了因式分解；互換律是為聯合律做準備的．關于能使用乘法公式計算的兩個復數的乘法，用乘法公式更簡捷，如平方差公式、立方差公式、完整平方公式等．知識點二共軛復數的性質[填一填]設z＝a＋bi(a，b∈R)．(1)|－|＝|z|；z(2)z·－2－2z＝|z|＝|z|；(3)z∈R?－，非零復數z為純虛數－＝0；z＝z?z＋z(4)z＋－＝2，z－－＝2bi；zaz(5)＝z±zz1z1．121212122zz221．i的乘方．對隨意n∈N＋，都有：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.2211＋i1－i與i有關的幾個常用結論：(1＋i)＝2i，(1－i)＝－2i，i＝－i，1－i＝i，1＋i＝i.2．共軛復數的性質．設ω＝－1＋3iω＝－1－3i，則其共軛復數，則二者擁有以下關系：12223ω1＝ω2＝1；(2)1＋ω＋ω＝0；12(3)2＝ω22；ω1或ω2＝ω1(4)ω1－－＝ω2且ω1＝ω2；(5)ω·ω＝1，ω＝1＝1，ω；1212ω1ω2ω3n＝1，ω3n＋1＝ω，ω3n＋2＝ω2.種類一復數的乘法運算[例1]計算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[剖析]應用復數的乘法法例及運算律求解．[解](1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i(9－12i＋33i－44i2)＋2i53＋21i＋2i53＋23i.三個或三個以上的復數相乘可按從左到右的次序運算或利用聯合律運算，混淆運算與實數的運算同樣，關于能夠使用乘法公式計算的兩個復數相乘，用乘法公式計算將更加簡捷，如平方差公式、完整平方公式等.[變式訓練1](1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于(D)A．20＋15iB．20－15iC．－20－15iD．－20＋15i分析：原式＝(3＋4i－6i＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i＋4i＋2＝－20＋15i.應選D.(2)已知(x＋i)(1－i)＝y，則實數x，y分別為(D)A．x＝－1，y＝1B．x＝－1，y＝2C．x＝1，y＝1D．x＝1，y＝2分析：由于(x＋i)(1－i)＝y，所以(x＋1)＋(1－x)i＝y，由復數相等的充要條件得x＋1＝y，

x＝1，解得

應選

D.1－x＝0，

y＝2.種類二i的冪的運算[例2](1)試求i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7，i8的值；(2)由n＋233521000，i3333，i1999的值．(1)推斷i(n∈N)的值有什么規(guī)律，并求i，i，i[剖析]利用i的乘方運算找尋in(n∈N＋)的值的規(guī)律．[解](1)i1i2i3i4i5i6i7i8i－1－i1i－1－i1(2)由(1)可推斷得，對隨意n∈N＋，有i4n－3＝i，i4n－2＝－1，i4n－1＝－i，i4n＝1，i23i4×6－1＝－i；i352＝i4×88＝1；i1000＝i4×250＝1；i3333＝i4×834－3＝i；i1999＝i4×500－1＝－i.由上述公式可知，虛數單位i的乘方有周期性，最小正周期為4，利用此周期性可快速解決有關i的乘方的計算問題.[變式訓練2]計算：11＋i22(1)(2＋i15)－(2)；(2)1＋i＋i2＋＋i100；(3)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．i1＋i222i11113解：(1)原式＝(2＋i16)－222＝(2＋i)－211＝2＋i－i＝2＋i－i＝2＋ii＝2＋2i.1－i1011－i原式＝1－i＝1－i＝1.2(3)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i－4i＋i)＋(28－4i－21i＋23i)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.種類三共軛復數性質的應用[例3]已知z∈C，z為z的共軛復數，若z·z－3iz＝1＋3i，求z.[解]方法一：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＝a－bi，由題意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，a2＋b2－3b＝1，a＝－1，a＝－1，則有－3a＝3，解得或b＝3.b＝0所以z＝－1或z＝－1＋3i.方法二：原方程可化為－3iz－3i＝1－z·z.由于z·z＝|z|2∈R，所以－3iz－3i＝－3iz－3i＝3i＋3i，z所以(z＋

z

)3i

＝－6i

，即

z＋

z

＝－2.令z＝x＋yi(

x，y∈R)，代入

z＋

z

＝－2可解得

x＝－1.把z＝－1＋yi

代入原方程可得

y＝0或

y＝3，所以

z＝－1或

z＝－1＋3i.1.若復數

z的代數形式已知，依據共軛復數的定義能夠寫出

z

，再進行復數的四則運算.必需時，需經過復數的運算確立復數

z的代數形式，再依據共軛復數的定義求

z

.2.適合地使用共軛復數的性質可簡化運算

.[變式訓練3]已知復數z知足(z－2)(2－i)＝2(i為虛數單位)，求z的共軛復數z和z·z的值．解：設z＝x＋yi，由(z－2)(2－i)＝2，x＝142x，142＋y－4＝2，5得2x＋2yi－4－xi＋y＋2i＝2，解得即z＝5＋5yxy＝5，i.所以z的共軛復數為142；z＝－i55z·z＝|z|2＝142＋－22＝8.551．在復平面內，復數(2－i)2對應的點位于(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，對應的點為(3，－4)，位于第四象限，應選D.2．已知a，b∈R，i是虛數單位，若

a－i

與2＋bi

互為共軛復數，則(a＋bi)

2＝(

D)A．5－4i

B．5＋4iC．3－4i

D．3＋4i分析：此題考察復數的運算，共軛復數的觀點．a－i與2＋bi互為共軛復數．∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.3．當z＝－1－i時，z100＋z50＋1的值等于(D)2A．1B．－1C．iD．－i222分析：∵z＝－2＋2i，∴z＝－i.z4＝－1，∴z