高中數(shù)學第1部分第3章空間向量與立體幾何31空間向量其運算315空間向量數(shù)量積1數(shù)學教案

3．1.5空間向量的數(shù)目積[對應學生用書P59]空間向量的夾角在幫助日當?shù)卣馂膮^(qū)重修家園的過程中，中國某施工隊需要挪動一個大型的平均的正三角形面的鋼筋混凝土構件，已知它的質量為5000kg，在它的極點處罰別受大小同樣的力1，2，3而且每兩個力之間的夾角都是60°，(此中g＝10N/kg)．FFF問題1：向量1和－2夾角為多少？FF提示：120°.問題2：每個力最小為多少時，才能提起這塊混凝土構件？提示：設每個力大小為

|F0|

，協(xié)力為

|F|，則|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)(F1＋F2＋F3)26|F0|2.∴|F|＝6|F0|.∴|F0|＝50006250062500066×10＝3×10＝3(N)．1．空間兩個向量的夾角：定義圖示表示范圍已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，〈a，b〉[0，π]作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角假如〈a，b〉＝0，那么向量a與b同向；假如〈a，〉＝π，那么向量a與b反向；bπ假如〈a，b〉＝2，那么向量a與b相互垂直，記作a⊥b.向量的數(shù)目積兩個向量的數(shù)目積定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)目積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．①零向量與任何向量的數(shù)目積為0.a·b②兩非零向量a，b的夾角〈a，b〉能夠由下邊的公式求得cos〈a，b〉＝|a||b|.③a⊥b?a·b＝0(a，b是兩個非零向量)．④|a|2＝a·a＝a2.(2)運算律：①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.數(shù)目積的坐標運算在平面向量中，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，我們知道a·b＝a1a2＋b1b2，那么在空間向量中，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．則a·b為多少？提示：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.設空間兩個非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(2)|a|＝222xyz111(3)cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2＋z1z22.22＋z22＋y2121122特別地，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.1．數(shù)目積是數(shù)目(數(shù)值)，能夠為正，能夠為負，也能夠為零．2．數(shù)目積的運算不知足消去律和聯(lián)合律，即a·b＝b·c推不出a＝c；(a·b)c≠a(b·c)．3．空間向量的數(shù)目積與向量的模和夾角有關，能夠用來求解線段的長度和夾角問題．[對應學生用書P60]求空間向量的數(shù)目積[例1]已知長方體－1111中，＝1＝2，＝4，E為側面11的中心，ABCDABCDABAAADAABBF為A1D1的中點．求以下向量的數(shù)目積：BC·ED1；BF·AB1.[思路點撥]法一：基向量法：BC與ED1，BF與AB1的夾角不易求，可考慮用向量AB、AD、AA1表示向量BC、ED1、BF、AB1，再求結論即可．法二：坐標法：建系→求有關點坐標→向量坐標→數(shù)目積．[精解詳析]法一：(基向量法)如下圖，設AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)BC·ED＝BC·(EA＋AD)＝b·11(c－a)＋b＝1112|b|2＝42＝16.(2)BF·AB1＝(BA1＋A1F)·(AB＋AA1)＝c－a＋1b·(a＋c)＝|c|2－|a|22＝22－22＝0.法二：(坐標法)以A為原點成立空間直角坐標系，如下圖，則B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D(0,4,2)，F(xiàn)(0,2,2)，A(0,0,0)，B(2,0,2)，11∴BC＝(0,4,0)，ED1＝(－1,4,1)，BF＝(－2,2,2)，AB1＝(2,0,2)，(1)BC·ED1＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16；BF·AB1＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.[一點通]解決此類問題的常用方法有兩種：基向量法：第一選用基向量，而后用基向量表示有關的向量，最后利用數(shù)目積的定義計算．注意：基向量的選用要合理，一般選模和夾角都確立的向量．坐標法：關于建系比較方便的題目，采納此法較簡單，只要建系后找出有關點的坐標，從而得向量的坐標，而后利用數(shù)目積的坐標公式計算即可．如下圖，在棱長為1的正四周體ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別為棱AB，AD，DC的中點，試計算以下各式的值：AB·AC；(2)AD·DB；GF·AC；(4)AD·BC.解：在棱長為1的正四周體ABCD中，∵|AB|＝|AC|＝1，〈AB，AC〉＝60°，∴AB·AC＝|AB||11AC|cos60°＝1×1×＝；22∵|AD|＝|BD|＝1，〈AD，DB〉＝180°－60°＝120°，∴AD·DB＝|AD||DB|cos1201×1×11°＝－＝－2；21(3)∵|GF|＝2，|AC|＝1，又GF∥AC，∴〈GF，AC〉＝180°，∴GF·AC＝|GF||AC|cos180°＝11×1×(－1)＝－；22∵BC＝DC－DB，又〈DC，AD〉＝〈DB，AD〉＝120°，AD·BC＝AD·(DC－DB)＝AD·DC－AD·DB111×1×－2－1×1×－2＝0.2．已知a＝(－2,0，－5)，b＝(3,2，－1)，求以下各式的值：a·a；(2)|b|；(3)(3a＋2b)·(a－b)．解：(1)a·a＝a2＝(－2)2＋02＋(－5)2＝29；(2)||＝2＝32＋22＋(－1)2＝14；bb(3)法一：因為3＋2＝3(－2,0，－5)＋2(3,2，－1)＝(0,4，－17)，－＝(－2,0，abab5)－(3,2，－1)＝(－5，－2，－4)，因此(3a＋2b)·(a－b)＝(0,4，－17)·(－5，－2，－4)＝0×(－5)＋4×(－2)＋(－17)×(－4)＝60；法二：因為a·b＝(－2,0，－5)·(3,2，－1)＝(－2)×3＋0×2＋(－5)×(－1)＝－1，因此(3a＋2b)·(a－b)＝3a2－a·b－2b2＝3×29－(－1)－2×14＝60.利用數(shù)目積解決夾角和距離問題[例2]如下圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求AC′的長；求AC與AC的夾角的余弦值．[思路點撥]求線段長，要利用向量的方法求解，重點是找到表示AC的基向量，只要模與夾角均可知，則問題可求解，求夾角問題則是向量數(shù)目積的逆用．[精解詳析](1)∵AC＝AB＋AD＋AA，|AC|2＝(AB＋AD＋AA)2＝|AB|2＋|AD|2＋|AA|2＋2(AB·AD＋AB·AA＋AD·AA)42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.|AC|＝85.法一：設AC與AC的夾角為θ，∵ABCD是矩形，∴|AC|＝32＋42＝5.∴由余弦定理可得22285＋25－2585AC′＋AC－CC′＝cosθ＝＝.2AC′·AC2·85·510法二：設AB＝a，AD＝b，AA＝c，依題意得AC·AC＝(a＋b＋c)·(a＋b)a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c16＋0＋9＋4×5×cos60°＋3×5×cos60°8516＋9＋10＋＝，2285∴cosθ＝AC·AC＝285AC|·|AC|＝.|85×510[一點通]1．求兩點間的距離或某線段的長度，就是把此線段用向量表示，而后用|a|2＝a·a，即|a|＝a·a經過向量運算求|a|.2．關于空間向量a、b，有cos〈a，b〉＝a·b.|a||b|利用這一結論，能夠較方便地求解異面直線所成角的問題，因為向量的夾角的取值范圍π，故〈a，b〉∈π為[0，π]，而異面直線所成的角的取值范圍為0，0，時，它們相22π，π時，它們互補．等；而當〈a，b〉∈23．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA12，求異面直線BA1與AC所成角的余弦值．解：∵BA1＝BA＋AA1＝BA＋BB1，AC＝BC－BA，且BA·BC＝BB1·BA＝BB1·BC＝0，∴BA1·AC＝－BA2＝－1.又|AC|＝2，|BA|＝1＋2＝3，1BA1·AC－16∴cos〈BA1，AC〉＝＝＝－，|BA1||AC|666則異面直線BA1與AC所成角的余弦值為6.如圖，已知線段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且DCF＝30°，D與A在α的同側，若AB＝BC＝CD＝2，求AD的模．解：∵AD＝AB＋BC＋，|AD|2＝AD·AD＝(AB＋BC＋)·(AB＋BC＋)＝|AB|2＋|BC|2＋||22AB·BC＋2BC·＋2AB·.①AB＝BC＝CD＝2，∴|AB|＝|BC|＝||＝2.②又∵AB⊥α，BC?α，∴AB⊥BC.∴AB·BC＝0.③CD⊥BC，∴·BC＝0.④把②③④代入①可得|AD|2＝4＋4＋4＋2AB·12＋2|AB|||cos〈AB，〉12＋8cos〈AB，〉．⑤∵∠DCF＝30°，∴∠CDF＝60°.又∵AB⊥α，DF⊥α，AB∥DF.∴〈AB，DC〉＝〈DF，DC〉＝60°.∴〈AB，〉＝120°.代入⑤式獲得＝12＋8cos120°＝8，∴|AD|＝22.利用數(shù)目積解決平行和垂直問題[例3]已知空間三點A(－2,0,2)、B(－1,1,2)、C(－3，0,4)．設a＝AB，b＝AC.設|c|＝3，c∥BC，求c；(2)若ka＋b與ka－2b相互垂直，求k.[思路點撥](1)依據(jù)c與BC共線，設c＝λBC→依據(jù)模列出關系式→求λ；寫出ka＋b，利用垂直ka－2b的坐標→列關系式→求k.[精解詳析](1)∵BC＝(－2，－1,2)且c∥BC，∴設c＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ)．|c|＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)，ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.5解得k＝2或k＝－2.[一點通]向量平行與垂直問題主要有兩種題型：平行與垂直的判斷；利用平行與垂直求參數(shù)或其余問題，即平行與垂直的應用．5．將本例中條件“若向量ka＋b與ka－2b相互垂直”改為“若向量ka＋b與a＋kb相互平行”，其余條件不變，求k的值．解：a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，ka＋b＝(k－1，k,2)，a＋kb＝(1,1,0)＋(－k,0,2k)＝(1－k,1,2k)，ka＋b與a＋kb平行，ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－1，k,2)＝λ(1－k,1,2k)．k－1＝λ(1－k)，k＝－1，k＝1，∴k＝λ·1，∴λ＝－1，或λ＝1.2＝λ·2k，∴k的值為±1.6．已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求證：AD⊥BC.證明：∵AB⊥CD，AC⊥BD，AB·＝0，AC·BD＝0，AD·BC＝(AB＋BD)·(AC－AB)AB·AC＋BD·AC－AB2－AB·BDAB·AC－AB2－AB·BDAB·(AC－AB－BD)＝AB·DC＝0.∴AD⊥BC，從而AD⊥BC.7．已知空間四邊形OABC中，M，N，P，Q分別為BC，AC，OA，OB的中點，若AB＝OC，求證：PM⊥QN.證明：如圖，設＝a，＝b，OC＝c，又P、M分別為OA、BC的中點．PM＝OM－112(b＋c)－2a12[(b－a)＋c]．11同理，QN＝ON－OQ＝2(a＋c)－2b1＝－2[(b－a)－c]．∴PM·QN＝1[(－)＋1]·－[(b－a)－c]2bac21－|2|c2．＝－(|－|)4ba又AB＝OC，即|b－a|＝|c|.PM·QN＝0，PM⊥QN，∴PM⊥QN.1．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a1＝λb1，則a∥b(b≠0)?a2＝λb2，a3＝λb3.a1a2a3但不等價于＝＝.b1b2b32．在辦理兩向量夾角為銳角或鈍角時，必定要注意兩向量共線的狀況．[對應課時追蹤訓練(二十二)]1．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量AB與AC的夾角為________．分析：AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)，∴cos〈AB，AC〉＝3＝1，∴32×22AB，AC〉＝60°.答案：60°2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，則|2a－3b|＝________.分析：a·b＝2×3×cos60°＝3.∴|2a－3b|＝4|a|2－12a·b＋9|b|2＝4×4－12×3＋81＝61.答案：613．若AB＝(－4,6，－1)，AC＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥AB，a⊥AC，則a＝________________________________________________________________________.a·AB＝0，分析：設a＝(x，y，z)，由題意有a·AC＝0，代入坐標可解得：|a|＝1，33x＝13，x＝－13，y＝4，或y＝－4，13131212z＝13z＝－13.34123412答案：13，13，13或－13，－13，－134．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，則p·q＝________.分析：∵p＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)，q＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.答案：－15．如圖，120°的二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在兩個半平面內，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD的長為________．分析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，AC·AB＝0，BD·AB＝0.又∵二面角為120°，∴〈CA，BD〉＝60°，2＝||2＝(CA＋AB＋BD)2CA2＋AB2＋BD2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝164，||＝241.答案：2416．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值；若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．解：ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)(7，－4，－16)．∵(ka＋b)∥(a－3b)，k－25k＋3－k＋517＝－4＝－16，解得k