教學(xué)資源 高中數(shù)學(xué)必修五第一章解三角形學(xué)案

§1.1.1正弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo):1.掌握正弦定理的內(nèi)容；2.掌握正弦定理的證明方法；3.會(huì)運(yùn)用正弦定理解斜三角形的兩類(lèi)基本問(wèn)題．學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會(huì)運(yùn)用正弦定理解斜三角形的兩類(lèi)基本問(wèn)題．學(xué)習(xí)難點(diǎn)：會(huì)運(yùn)用正弦定理解斜三角形的兩類(lèi)基本問(wèn)題．學(xué)習(xí)方法：自主-合作-探究學(xué)習(xí)過(guò)程（一）自主學(xué)習(xí)（二）合作探討當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=，則，同理可得，從而．新知：正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的的比相等，即．試試：（1）在中，一定成立的等式是（）．A．B.C.D.（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，則∠B等于．[理解定理]（1）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，，；（2）等價(jià)于，，．（3）正弦定理的基本作用為：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；．②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如；．（4）一般地，已知三角形的某些邊和角，求其它的邊和角的過(guò)程叫作解三角形．※典型例題例1.在中，已知，，cm，解三角形．變式：在中，已知，，cm，解三角形．例2.在．變式：在．總結(jié)提升1.正弦定理：2.正弦定理的證明方法：①三角函數(shù)的定義，還有②等積法，③外接圓法，④向量法.3．應(yīng)用正弦定理解三角形：①已知兩角和一邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角．(四)當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：1.在中，若，則是（）.A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．等邊三角形2.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，則a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2 C．1∶1∶ D．2∶2∶3.在△ABC中，若，則與的大小關(guān)系為（）.A.B.C.≥D.、的大小關(guān)系不能確定4.已知ABC中，，則=．5.已知ABC中，A，，則=．（五）反思質(zhì)疑§1.1.2余弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo):1.掌握余弦定理的兩種表示形式；2.證明余弦定理的向量方法；3.運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題．學(xué)習(xí)重點(diǎn):1.掌握余弦定理的兩種表示形式；2.用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題．學(xué)習(xí)難點(diǎn)：什么情況下使用余弦定理學(xué)習(xí)方法：自主-合作-探究學(xué)習(xí)過(guò)程（一）自主學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)1：在一個(gè)三角形中，各和它所對(duì)角的的相等，即==．復(fù)習(xí)2：在△ABC中，已知，A=45，C=30，解此三角形．思考：已知兩邊及夾角，如何解此三角形呢？（二）合作探討問(wèn)題：在中，、、的長(zhǎng)分別為、、.∵，∴同理可得：，．新知：余弦定理：三角形中任何一邊的等于其他兩邊的的和減去這兩邊與它們的夾角的的積的兩倍．思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？從余弦定理，又可得到以下推論：，，．[理解定理]（1）若C=，則，這時(shí)由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推論的基本作用為：①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；②已知三角形的三條邊就可以求出其它角．試試：（1）△ABC中，，，，求．（2）△ABC中，，，，求．例1.在△ABC中，已知，，，求和．變式：在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，則BC＝________．例2.在△ABC中，已知三邊長(zhǎng)，，，求三角形的最大內(nèi)角．變式：在A(yíng)BC中，若，求角A．（三）鞏固練習(xí)1.在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝，求最大角的余弦值．2.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求的值.學(xué)習(xí)小結(jié)1.余弦定理是任何三角形中邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；2.余弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三邊，求三角；②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊．知識(shí)拓展在△ABC中，若，則角是直角；若，則角是鈍角；若，則角是銳角．(四)當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：1.已知a＝，c＝2，B＝150°，則邊b的長(zhǎng)為（）.A.B.C.D.2.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、5、7，則最大角為（）.A．B．C．D．3.已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2、3、x，則x的取值范圍是（）.A．B．＜x＜5C．2＜x＜D．＜x＜54.在△ABC中，||＝3，||＝2，與的夾角為60°，則|－|＝________．5.在△ABC中，已知三邊a、b、c滿(mǎn)足，則∠C等于．（五）反思質(zhì)疑、§1.1正弦定理和余弦定理（練習(xí)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；2.掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形．學(xué)習(xí)重點(diǎn)進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；學(xué)習(xí)難點(diǎn)掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形．學(xué)習(xí)方法自主-合作-探究學(xué)習(xí)過(guò)程一、課前準(zhǔn)備復(fù)習(xí)1：在解三角形時(shí)已知三邊求角，用定理；已知兩邊和夾角，求第三邊，用定理；已知兩角和一邊，用定理．復(fù)習(xí)2：在△ABC中，已知A＝，a＝25，b＝50，解此三角形．二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究探究：在△ABC中，已知下列條件，解三角形.A＝，a＝25，b＝50；A＝，a＝，b＝50；A＝，a＝50，b＝50.※典型例題例1.在A(yíng)BC中，已知，，，試判斷此三角形的解的情況．變式：在A(yíng)BC中，若，，，則符合題意的b的值有_____個(gè)．例2.在A(yíng)BC中，，，，求的值．變式：在A(yíng)BC中，若，，且，求角C．三、總結(jié)提升1.已知三角形兩邊及其夾角（用余弦定理解決）；2.已知三角形三邊問(wèn)題（用余弦定理解決）；3.已知三角形兩角和一邊問(wèn)題（用正弦定理解決）；4.已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角問(wèn)題（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、兩解和無(wú)解三種情況）．※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：1.已知a、b為△ABC的邊，A、B分別是a、b的對(duì)角，且，則的值=（）.A.B.C.D.2.已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么這個(gè)三角形的最大角是（）.A．135° B．90°C．120°D．150°3.如果將直角三角形三邊增加同樣的長(zhǎng)度，則新三角形形狀為（）.A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．由增加長(zhǎng)度決定4.在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，則cosB＝．5.已知△ABC中，，試判斷△ABC的形狀．§1.2應(yīng)用舉例—①測(cè)量距離學(xué)習(xí)目標(biāo)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題學(xué)習(xí)重點(diǎn)進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；學(xué)習(xí)難點(diǎn)掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形．學(xué)習(xí)方法自主-合作-探究學(xué)習(xí)過(guò)程:（一）自主學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝，c＝2，則∠A為.復(fù)習(xí)2：在△ABC中，sinA＝，判斷三角形的形狀.（二）合作探討例1.如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A(yíng)的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，BAC=，ACB=.求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m).提問(wèn)1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？提問(wèn)2：運(yùn)用該定理解題還需要哪些邊和角呢？分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題題目條件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊.新知1：基線(xiàn)在測(cè)量上，根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的叫基線(xiàn).例2.如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法.分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題.首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn).根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離.變式：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得BCA=60°，ACD=30°，CDB=45°，BDA=60°.練：兩燈塔A、B與海洋觀(guān)察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀(guān)察站C的北偏東30°，燈塔B在觀(guān)察站C南偏東60°，則A、B之間的距離為多少？（三）鞏固練習(xí)1.隔河可以看到兩個(gè)目標(biāo)，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距km的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一個(gè)平面，求兩目標(biāo)A、B間的距離.2.某船在海面A處測(cè)得燈塔C與A相距海里，且在北偏東方向；測(cè)得燈塔B與A相距海里，且在北偏西方向.船由向正北方向航行到D處，測(cè)得燈塔B在南偏西方向.這時(shí)燈塔C與D相距多少海里？學(xué)習(xí)小結(jié)1.解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.2．基線(xiàn)的選?。簻y(cè)量過(guò)程中，要根據(jù)需要選取合適的基線(xiàn)長(zhǎng)度，使測(cè)量具有較高的精確度.(四)當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：PAC1.水平地面上有一個(gè)球，現(xiàn)用如下方法測(cè)量球的大小，用銳角的等腰直角三角板的斜邊緊靠球面，P為切點(diǎn)，一條直角邊AC緊靠地面，并使三角板與地面垂直，如果測(cè)得PA=5cm，則球的半徑等于（）.PACA．5cmB．C．D．6cm2.臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A(yíng)的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為（）.A．0.5小時(shí)B．1小時(shí)C．1.5小時(shí)D．2小時(shí)3.在中，已知，則的形狀（）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在中，已知，，，則的值是．5.一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A(yíng)處看到一個(gè)燈塔B在北偏東，行駛４h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東，這時(shí)船與燈塔的距離為km．（五）反思質(zhì)疑§1.2應(yīng)用舉例—②測(cè)量高度學(xué)習(xí)目標(biāo):1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量的問(wèn)題；2.測(cè)量中的有關(guān)名稱(chēng).學(xué)習(xí)重點(diǎn):能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量的問(wèn)題；學(xué)習(xí)難點(diǎn):不給出圖形的應(yīng)用題學(xué)習(xí)方法：自主-合作-探究學(xué)習(xí)過(guò)程:（一）自主學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)1：在A(yíng)BC中，，則ABC的形狀是怎樣？復(fù)習(xí)2：在A(yíng)BC中，、b、c分別為A、B、C的對(duì)邊，若=1:1:，求A:B:C的值.（二）合作探討新知：坡度、仰角、俯角、方位角方位角---從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平轉(zhuǎn)角；坡度---沿余坡向上的方向與水平方向的夾角；仰角與俯角---視線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角當(dāng)視線(xiàn)在水平線(xiàn)之上時(shí)，稱(chēng)為仰角；當(dāng)視線(xiàn)在水平線(xiàn)之下時(shí)，稱(chēng)為俯角.探究：AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法.分析：選擇基線(xiàn)HG，使H、G、B三點(diǎn)共線(xiàn)，要求AB，先求AE在中，可測(cè)得角，關(guān)鍵求AC在中，可測(cè)得角，線(xiàn)段，又有故可求得AC例1.如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角=54，在塔底C處測(cè)得A處的俯角=50.已知鐵塔BC部分的高為27.3m，求出山高CD(精確到1m)例2.如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南15的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在東偏南25的方向上，仰角為8，求此山的高度CD.問(wèn)題1：欲求出CD，思考在哪個(gè)三角形中研究比較適合呢？問(wèn)題2：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根據(jù)條件，易計(jì)算出哪條邊的長(zhǎng)？變式：某人在山頂觀(guān)察到地面上有相距2500米的A、B兩個(gè)目標(biāo)，測(cè)得目標(biāo)A在南偏西57°，俯角是60°，測(cè)得目標(biāo)B在南偏東78°，俯角是45°，試求山高.（三）鞏固練習(xí)1.為測(cè)某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，測(cè)得塔基B的俯角為45°，則塔AB的高度為多少m？2.在平地上有A、B兩點(diǎn)，A在山的正東，B在山的東南，且在A(yíng)的南25°西300米的地方，在A(yíng)側(cè)山頂?shù)难鼋鞘?0°，求山高.學(xué)習(xí)小結(jié)利用正弦定理和余弦定理來(lái)解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫(huà)方位圖，要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化.(四)當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：1.在A(yíng)BC中，下列關(guān)系中一定成立的是（）.A．B．C．D．2.在A(yíng)BC中，AB=3，BC=，AC=4，則邊AC上的高為（）.A．B．C．D．3.D、C、B在地面同一直線(xiàn)上，DC=100米，從D、C兩地測(cè)得A的仰角分別為和，則A點(diǎn)離地面的高AB等于（）米．A．100B．C．50D．504.在地面上點(diǎn)，測(cè)得一塔塔頂和塔基的仰角分別是和，已知塔基高出地面，則塔身的高為_(kāi)________．5.在A(yíng)BC中，，，且三角形有兩解，則A的取值范圍是．（五）反思質(zhì)疑§1.2應(yīng)用舉例—③測(cè)量角度學(xué)習(xí)目標(biāo)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問(wèn)題.學(xué)習(xí)重點(diǎn)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問(wèn)題.學(xué)習(xí)難點(diǎn)如何解決角度的實(shí)際問(wèn)題和理解方向角方位角的概念.學(xué)習(xí)方法自主-合作-探究學(xué)習(xí)過(guò)程一、課前準(zhǔn)備復(fù)習(xí)1：在中，已知，，且，求.復(fù)習(xí)2：設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A=，，求的值.二、新課導(dǎo)學(xué)※典型例題例1.如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32的方向航行54.0nmile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離?(角度精確到0.1，距離精確到0.01nmile)分析：首先由三角形的內(nèi)角和定理求出角ABC，然后用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB.例2.某巡邏艇在A(yíng)處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時(shí)的速度沿著直線(xiàn)方向追去，問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？※動(dòng)手試試練1.甲、乙兩船同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，甲船以每小時(shí)10(＋1)km的速度向正東航行，乙船以每小時(shí)20km的速度沿南60°東的方向航行，1小時(shí)后甲、乙兩船分別到達(dá)A、C兩點(diǎn)，求A、C兩點(diǎn)的距離，以及在A(yíng)點(diǎn)觀(guān)察C點(diǎn)的方向角.練2.某漁輪在A(yíng)處測(cè)得在北45°的C處有一魚(yú)群，離漁輪9海里，并發(fā)現(xiàn)魚(yú)群正沿南75°東的方向以每小時(shí)10海里的速度游去，漁輪立即以每小時(shí)14海里的速度沿著直線(xiàn)方向追捕，問(wèn)漁輪應(yīng)沿什么方向，需幾小時(shí)才能追上魚(yú)群？三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1.已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；2．已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問(wèn)題的解.※知識(shí)拓展已知ABC的三邊長(zhǎng)均為有理數(shù)，A=，B=，則是有理數(shù)，還是無(wú)理數(shù)？因?yàn)?，由余弦定理知為有理?shù)，所以為有理數(shù).學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：1.從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為（）.A．B．=C．+=D．+=2.已知兩線(xiàn)段，，若以、為邊作三角形，則邊所對(duì)的角A的取值范圍是（）.A．B．C．D．3.關(guān)于的方程有相等實(shí)根，且A、B、C是的三個(gè)內(nèi)角，則三角形的三邊滿(mǎn)足（）.A．B．C．D．4.△ABC中，已知a:b:c=(+1):(-1):，則此三角形中最大角的度數(shù)為.5.在三角形中，已知:A，a，b給出下列說(shuō)法:(1)若A≥90°，且a≤b，則此三角形不存在(2)若A≥90°，則此三角形最多有一解(3)若A＜90°，且a=bsinA，則此三角形為直角三角形，且B=90°(4)當(dāng)A＜90°，a<b時(shí)三角形一定存在(5)當(dāng)A＜90°，且bsinA<a<b時(shí)，三角形有兩解其中正確說(shuō)法的序號(hào)是.§1.2應(yīng)用舉例—④解三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問(wèn)題；2.掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用；3.能證明三角形中的簡(jiǎn)單的恒等式．學(xué)習(xí)重點(diǎn)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解三角形.學(xué)習(xí)難點(diǎn)如何適當(dāng)選用公式解題。.學(xué)習(xí)方法自主-合