大學(xué)高等數(shù)學(xué)上冊1.1數(shù)列的極限

大學(xué)高等數(shù)學(xué)上冊1.1數(shù)列的極限第一頁，共56頁?！案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”引例1、割圓術(shù)：播放——劉徽§1.1.1數(shù)列極限的定義2第二頁，共56頁。正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積3第三頁，共56頁。引例2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”4第四頁，共56頁。例如5第五頁，共56頁。注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)6第六頁，共56頁。播放數(shù)列的極限的定義7第七頁，共56頁。問題:當(dāng)

無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:8第八頁，共56頁。9第九頁，共56頁。如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：10第十頁，共56頁。幾何解釋:其中11第十一頁，共56頁。數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.注意：幾何解釋:12第十二頁，共56頁。例1.已知證明數(shù)列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當(dāng)時,就有故13第十三頁，共56頁。例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時,就有故故也可取也可由N

與有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取14第十四頁，共56頁。例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N

時,就有故的極限為0.第十五頁，共56頁。§1.1.2收斂數(shù)列的性質(zhì)證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時,有定理1.收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時,假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N

時,故假設(shè)不真!滿足的不等式16第十六頁，共56頁。定理2收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.雖有界但不收斂.數(shù)列17第十七頁，共56頁。定理3.收斂數(shù)列的保序性.證:取18第十八頁，共56頁。19第十九頁，共56頁。§1.1.3收斂數(shù)列的四則運(yùn)算定理4

.若則有20第二十頁，共56頁?！?.1.4

數(shù)列收斂的判別法例5.例6見書。

21第二十一頁，共56頁。準(zhǔn)則1(夾逼定理)

證:由條件(2),當(dāng)時,當(dāng)時,令則當(dāng)時,有由條件(1)即故第二十二頁，共56頁。例7.證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由23第二十三頁，共56頁。準(zhǔn)則2(單調(diào)有界數(shù)列必有極限

)

(證明略)第二十四頁，共56頁。例8.設(shè)證明數(shù)列極限存在.證:利用二項式公式,有25第二十五頁，共56頁。大大正又比較可知26第二十六頁，共56頁。根據(jù)準(zhǔn)則2可知數(shù)列記此極限為e,e為無理數(shù),其值為即有極限.又

子數(shù)列的收斂性第二十七頁，共56頁。*********************定理7.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.證:設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng)時,有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當(dāng)時,有從而有由此證明*********************28第二十八頁，共56頁。由此性質(zhì)可知,若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限,例如，

發(fā)散!則原數(shù)列一定發(fā)散.說明:定理9.任意有界數(shù)列必有收斂的子數(shù)列。（證明略）29第二十九頁，共56頁。思考與練習(xí)1.如何判斷極限不存在?方法1.

找一個趨于∞的子數(shù)列;方法2.找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.2.已知,求時,下述作法是否正確?說明理由.設(shè)由遞推式兩邊取極限得不對!此處30第三十頁，共56頁。故極限存在，備用題

1.設(shè)

,且求解：設(shè)則由遞推公式有∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故利用極限存在準(zhǔn)則31第三十一頁，共56頁。2.

設(shè)證:顯然證明下述數(shù)列有極限.即單調(diào)增,又存在“拆項相消”法第三十二頁，共56頁。劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的《重差》對《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn).他的“割圓術(shù)”求圓周率“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法:33第三十三頁，共56頁。柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)

校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn).對數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,34第三十四頁，共56頁。1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽35第三十五頁，共56頁。1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽36第三十六頁，共56頁。“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽37第三十七頁，共56頁?！案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽38第三十八頁，共56頁?！案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽39第三十九頁，共56頁?！案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽40第四十頁，共56頁?！案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽41第四十一頁，共56頁。“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽42第四十二頁，共56頁?！案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——劉徽43第四十三頁，共56頁。44第四十四頁，共56頁。45第四十五頁，共56頁