高考數(shù)學二輪培優(yōu)講義專題二微點深化立體幾何中的軌跡與折疊問題

微點深化立體幾何中的軌跡與折疊問題1.運動變化中的軌跡問題的實質(zhì)是尋求運動變化過程中的所有情況，發(fā)現(xiàn)動點的運動規(guī)律.2.將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起，使其成為空間圖形，這類問題稱為立體幾何中的折疊問題，折疊問題常與空間中的平行、垂直以及空間角相結(jié)合命題，考查學生的空間想象力和分析問題的能力.熱點一以立體圖形為載體的軌跡問題【例1】(1)已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1與平面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，E為CC1的中點，P在對角面BB1D1D所在平面內(nèi)運動，若EP與AC成30°角，則點P的軌跡為()A.圓 B.拋物線 C.雙曲線 D.橢圓(2)(2018·寧波期中)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點P是平面AC內(nèi)的動點，若點P到直線A1D1的距離等于點P到直線CD的距離，則動點P的軌跡所在的曲線是()A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.直線解析(1)因為在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1與平面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，所以該平面六面體ABCD-A1B1C1D1是一個底面為菱形的直四棱柱，所以對角面BB1D1D⊥底面ABCD，AC⊥對角面BB1D1D.取AA1的中點F，則EF∥AC，因為EP與AC成30°角，所以EP與EF成30°角.設EF與對角面BB1D1D的交點為O，則EO⊥對角面BB1D1D，所以點P的軌跡是以EO為軸的一個圓錐的底面，故選A.(2)如圖，以A為原點，AB為x軸、AD為y軸，建立平面直角坐標系.設P(x，y)，作PE⊥AD于E、PF⊥A1D1于F，連接EF，易知|PF|2＝|PE|2＋|EF|2＝x2＋1，又作PN⊥CD于N，則|PN|＝|y－1|.依題意|PF|＝|PN|，即eq\r(x2＋1)＝|y－1|，化簡得x2－y2＋2y＝0，故動點P的軌跡為雙曲線，選B.答案(1)A(2)B探究提高研究立體幾何中點的軌跡問題一般先將問題平面化，將問題轉(zhuǎn)化為兩平面或曲線的交線，或者直接用平面解析幾何知識如圓錐曲線的定義或建系去處理.【題組訓練1】(1)(2018·紹興質(zhì)檢)如圖，若三棱錐ABCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到底面BCD的距離與到點A的距離之比為正常數(shù)λ，且動點P的軌跡是拋物線，則二面角ABCD的平面角的余弦值為()A.λ B.eq\r(1－λ2) C.eq\f(1,λ)D.eqD.eq\r(1－\f(1,λ2))解析由題意知，動點P的軌跡是以點A為焦點，直線BC為準線的拋物線，設點P在底面BCD內(nèi)的投影為點H，二面角ABCD的平面角的大小為θ，點P到直線BC的距離為d，則eq\f(|PH|,|PA|)＝λ，由拋物線的定義，得|PA|＝d，則sinθ＝eq\f(|PH|,d)＝eq\f(λ|PA|,d)＝λ，則cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\r(1－λ2)，故選B.答案B(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是()A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線解析點P到直線C1D1的距離即為點P到點C1的距離，所以在平面BB1C1C中，點P到定點C1的距離與到定直線BC的距離相等，由拋物線的定義可知，動點P的軌跡所在的曲線是拋物線，故選D.答案D(3)如圖，定點A和B都在平面α內(nèi)，定點Pα，PB⊥α，C是α內(nèi)異于A和B的動點，且PC⊥AC.那么，動點C在平面α內(nèi)的軌跡是()A.一條線段，但要去掉兩個點B.一個圓，但要去掉兩個點C.一個橢圓，但要去掉兩個點D.半圓，但要去掉兩個點解析由PB⊥α，可得PB⊥AC，又PC⊥AC，所以AC⊥平面PBC，則可得AC⊥BC，由于定點A和B都在平面α內(nèi)，動點C滿足AC⊥BC的軌跡是在平面α內(nèi)以AB為直徑的圓，而C是α內(nèi)異于A和B的動點，所以動點C在平面α內(nèi)的軌跡是在平面α內(nèi)以AB為直徑的圓(去掉兩個A、B).故選B.答案B熱點二立體幾何中的折疊問題【例2】(1)(2018·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r(2).將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中()A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直D.對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直解析若AB⊥CD，BC⊥CD，則可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因為AB＝1，BC＝AD＝eq\r(2)，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某個位置，使得AB⊥CD.答案B(2)(2018·北京海淀區(qū)調(diào)考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E為BC的中點，F(xiàn)為線段AD上的一點，且AF＝eq\f(3,2).現(xiàn)將四邊形ABEF沿直線EF翻折，使翻折后的二面角A′EFC的余弦值為eq\f(2,3).①求證：A′C⊥EF；②求直線A′D與平面ECDF所成角的大小.①證明連接AC交EF于點M，由平面幾何的知識可得AC＝eq\r(5)，EF＝eq\f(\r(5),2)以及eq\f(AM,MC)＝eq\f(FM,ME)＝eq\f(3,2)，則AM＝eq\f(3\r(5),5)，MC＝eq\f(2\r(5),5)，MF＝eq\f(3\r(5),10).故AM2＋MF2＝AF2，則AC⊥EF，于是A′M⊥EF，CM⊥EF，又A′M∩CM＝M，故EF⊥平面A′MC，又A′C平面A′MC，故A′C⊥EF.②解由①知，二面角A′EFC的平面角就是∠A′MC，即cos∠A′MC＝eq\f(2,3).根據(jù)余弦定理，得A′C＝eq\r(A′M2＋MC2－2A′M·MCcos∠A′MC)＝1.因為A′C2＋MC2＝eq\f(9,5)＝A′M2，所以A′C⊥MC.而由(1)知A′C⊥EF，且MC∩EF＝M，所以A′C⊥平面ECDF.因此，∠A′DC就是直線A′D與平面ECDF所成的角.由于A′C＝CD＝1，所以∠A′DC＝∠CA′D＝eq\f(π,4)，故直線A′D與平面ECDF所成的角為eq\f(π,4).探究提高立體幾何中的折疊問題，關鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關系和度量關系的變化情況，一般地翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.【題組訓練2】(1)(2018·諸暨調(diào)研)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是()A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的內(nèi)心C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心解析由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O為△AEF的垂心.答案A(2)(2018·杭州一模)如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BCD＝90°，且BC＝eq\r(3)CD＝3.將△ABC沿BC的邊翻折，設點A在平面BCD上的射影為點M，若點M在△BCD內(nèi)部(含邊界)，則點M的軌跡的最大長度等于__________；在翻折過程中，當點M位于線段BD上時，直線AB和CD所成的角的余弦值等于__________.解析由題意可得點A的射影M的軌跡為△BCD的中位線，其長度為eq\f(1,2)CD＝eq\f(\r(3),2)；當點M位于線段BD上時，AM⊥平面BCD，取BC中點為N，AC中點為P，∴∠MNP或其補角即為直線AB和CD所成的角，則由中位線可得MN＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(\r(3),2)，PN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(3\r(2),4)，又MP為Rt△AMC斜邊AC的中線，故MP＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(3\r(2),4)，∴在△MNP中，由余弦定理可得cos∠MNP＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)))\s\up12(2),2×\f(\r(3),2)×\f(3\r(2),4))＝eq\f(\r(6),6).答案eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(6),6)(3)(2018·浙江三市質(zhì)檢)如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M為線段BC的中點，D為線段BC上一點，且BD＝BA，沿直線AD將△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD.①證明：平面AMC′⊥平面ABD；②求直線C′D與平面ABD所成的角的正弦值.①證明因為△ABC為等腰三角形，M為BC的中點，所以AM⊥BD，又因為AC′⊥BD，AM∩AC′＝A，所以BD⊥平面AMC′，因為BD平面ABD，所以平面AMC′⊥平面ABD.②解在平面AC′M中，過C′作C′F⊥AM交AM于點F，連接FD.由①知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF為直線C′D與平面ABD所成的角.設AM＝1，則AB＝AC＝AC′＝2，BC＝2eq\r(3)，MD＝2－eq