高中數(shù)學411定積分背景-面積和路程問題(一)教案北師大選修22

定積分的背景——面積和行程問題教課過程:一、問題引入師：1.求下列圖中暗影部分的面積：師：關(guān)于哪些圖形的面積，大家會求呢？（學生回想，回答）師：關(guān)于x0，x1，y0，yx2圍成的圖形（曲邊三角形）的面積如何來求呢？（一問激起千層浪，直截了當，讓學生明確本節(jié)課的所要學習的內(nèi)容，關(guān)于學生未知的東西，學生常常比較好奇，激發(fā)他們的求知欲）今日我們一同來研究這種曲邊圖形的面積的求法。二、學生活動與意義建構(gòu)1、讓學生自己研究，議論（3—4分鐘）2、讓學生說出自己的想法希望學生說出以OAB的面積近似取代曲邊三角形的面積，但偏差很大，如何減小偏差呢？希望學生議論得出將曲邊三角形進行切割，形成若干個曲邊梯形。（在議論的過程中浸透分割的思想）師：如何計算每個曲邊梯形的面積呢？（經(jīng)過議論希望學生能出以下三種方案，在議論的過程中，讓學生想到以直代曲，給學生創(chuàng)新的時機）方案一方案二方案三方案一：用一個矩形的面積近似取代曲邊梯形的面積，梯形切割的越多，三角形的面積越小，小矩形的面積就能夠近視取代曲邊梯形的面積。方案二：用一個大矩形的面積來近似取代曲邊梯形的面積，梯形切割的越多，三角形的面積越小，大矩形的面積來近似取代曲邊梯形的面積。方案三：以梯形的面積來近似取代曲邊梯形的面積。（關(guān)于此中的隨意一個曲邊梯形，我們能夠用“直邊”來取代“曲邊”（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲），這三種方案是本節(jié)課內(nèi)容的核心，故多花點時間指引學生研究，議論得出，讓學生領(lǐng)會“以曲代直”的思想，從近似中認識精準，給學生研究的時機）師：這樣，我們就能夠計算出隨意一個小曲邊梯形的面積的近似值，進而能夠計算出整個曲邊三角形面積的近似值，（乞降），而且切割越細，面積的近似值就越精準，當切割無窮變細時，這個近似值就無窮迫近所求的曲邊三角形的面積。如何求這個曲邊三角形的面積，以方案一為例：⑴切割細化將區(qū)間0,1平分紅n個小區(qū)間0,1，1,2，，i1,i，，n1,n，每個nnnnnnn區(qū)間的長度為ii11x軸的垂線，進而獲得nxn（學生回答），過各個區(qū)間端點作nn個小曲邊梯形，它們的面積分別記作S1，S2，，Si，，Sn。⑵以直代曲1,ifi1i2對區(qū)間i上的小曲邊梯形，以區(qū)間左端點i1對應的函數(shù)值1為nnnnn一邊的長，以x1為鄰邊的長的小矩形的面積近似取代小曲邊梯形的面積。即nfi2S1xi11innn（當切割很細時，在i1,i上任一點的函數(shù)值作為矩形的一邊長都能夠，常取左右端點nn或中點，這樣為此后定積分的定義埋下了伏筆，為學生的解題供給了方法）⑶作和因為每個小矩形的面積是相應的小曲邊梯形面積的近似值，因此n個小矩形面積之和就是所求曲邊三角形面積S的近似值：nSi（復習符號的運用）i1⑷迫近當切割無窮變細時，即x無窮趨近于0（n趨勢于）當n趨勢時，11無窮趨近于1，21無窮趨近于2，故上式的結(jié)果無窮趨近于1，nn31，即所求曲邊三角形面積是1。（在迫近的過程中，難點是求3n213122232nn12n1在此應給學生一些時間研究自然數(shù)的平方和，6最幸虧講數(shù)列知識時增補進去。新教材有好多知識點前后次序編排的有所不當，有好多知識應當先有伏筆，而不是要用到什么就增補什么，在研究分析幾何中直線部分時，這個問題也有所表現(xiàn)）3、分紅兩組，分別以方案二、方案三按上述四個步驟從頭計算曲邊三角形的面積，并將操作過程和計算結(jié)果與方案一進行比較。（設計的目的是培育學生的合作溝通的能力，優(yōu)化解題方案）師：請用流程圖表示求曲邊三角形面積的過程4、反省在求曲邊梯形面積過程中，你以為最讓你感覺困難的是什么？（如何切割，乞降迫近是兩大難點）（在新課程的講堂教課過程中，常常性地問學生一些這樣的問題，能夠讓學生對自己的學習過程起到一個自查作用，查漏補缺，對培育學生學習數(shù)學的自查意識是一個很好的門路，也能夠活躍講堂氛圍）三、數(shù)學應用1、典型例題師：在方案一中，和式fx1xfx2xfxnx（*）表示曲邊梯形的面積的近似值，這一和式不單是有直觀的幾何意義，還有豐富的實質(zhì)背景。例1：火箭發(fā)射后ts的速度為vt（單位m/s），假設0t10，對函數(shù)vt按（*）式所作的和擁有如何的意義？解：將區(qū)間0,10平分紅n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為t，在每個小區(qū)間上取一點，挨次為t1,t2,,ti,,tn，固然火箭的速度不是常數(shù)，但在一個小區(qū)間內(nèi)其變化很小，能夠用vt1來取代火箭在第一個小區(qū)間上的速度，這樣，vt1t火箭在第一個時段內(nèi)運轉(zhuǎn)的行程同理

vt2

t

火箭在第二個時段內(nèi)運轉(zhuǎn)的行程進而Sn

vt1

t

vt2

t

vti

t

vtn

t火箭在10s內(nèi)運轉(zhuǎn)的行程總和這就是函數(shù)

vt

在時間區(qū)間

0,10

上按（*）式所作的和的實質(zhì)背景。（因為學生首次碰到這種問題，語言表達比較困難，故教師在教課過程中最好采納對話式教課，邊說邊寫，規(guī)范板書）例2：如圖，有兩個點電荷A、B，電量分別為qA、qB，固定電荷A將電荷B從距A為a處移到距A為b處，求庫侖力對電荷B所做的功。先剖析，再讓學生試試書寫，而后投影解題過程。（設計兩道例題的目的，一是培育學生的文字表達能力，二是讓學生領(lǐng)會數(shù)學在物理上的應用，也為后邊的定積分的物理意義變力所做的功，變速運動的位移埋下伏筆）學生練習：課本P46練習四、回首反省知識點：⑴求曲邊梯形面積的四個步驟；⑵數(shù)學知識在物理上的應用。反省消化：⑴對今日學習的內(nèi)容，你感覺有什么困難？