江西省贛州市2023屆高三下學(xué)期3月摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題含答案

贛州市2023年高三年級摸底考試數(shù)學(xué)（理科）試卷 2023年3月本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.2.已知i為虛數(shù)單位，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.3 B.2 C.1 D.3.在平面直角坐標(biāo)系中，角，均以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸的正半軸為始邊.若點(diǎn)在角的終邊上，點(diǎn)在角的終邊上，則（）A. B. C. D.4.某公司對2022年的營收額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖.在華中地區(qū)的三省中，湖北省的營收額最多，河南省的營收額最少，湖南省的營收額約2156萬元.則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.該公司2022年?duì)I收總額約為30800萬元B.該公司在華南地區(qū)的營收額比河南省營收額的3倍還多C.該公司在華東地區(qū)的營收額比西南地區(qū)、東北地區(qū)及湖北省的營收額之和還多D.該公司在湖南省的營收額在華中地區(qū)的營收額的占比約為35.6%5.已知點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng).當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，（）A. B. C. D.6.已知，則（）A.40 B.8 C. D.7.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，成等差數(shù)列，，則（）A. B. C. D.8.已知，，，則（）A. B. C. D.9.若函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.610.德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點(diǎn)，是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)在何處時(shí)，最大？問題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)時(shí)最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，是軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn).若的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.2 C.3 D.411.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、.橢圓在第一象限存在點(diǎn)，使得，直線與軸交于點(diǎn)，且是的角平分線，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.12.在棱長為6的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，.若，則實(shí)數(shù)的值為______.14.若實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值為______.15.已知函數(shù).若存在，，使不等式成立，則整數(shù)的值可以為______.（寫出一個(gè)即可）.16.已知函數(shù)，的定義域均為，且，.若的圖像關(guān)于直線對稱，且，有四個(gè)結(jié)論①；②4為的周期；③的圖像關(guān)于對稱；④，正確的是______（填寫題號(hào)）.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（本小題滿分12分）近年來，我國加速推行垃圾分類制度，全國垃圾分類工作取得積極進(jìn)展.某城市推出了兩套方案，并分別在，兩個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行.方案一：進(jìn)行廣泛的宣傳活動(dòng)，通過設(shè)立宣傳點(diǎn)、發(fā)放宣傳單等方式，向小區(qū)居民和社會(huì)各界宣傳垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時(shí)間等，定期召開垃圾分類會(huì)議和知識(shí)宣傳教育活動(dòng)；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內(nèi)分別設(shè)立分類垃圾桶，垃圾回收前端分類智能化，智能垃圾桶操作簡單，居民可以通過設(shè)備進(jìn)行自動(dòng)登錄、自動(dòng)稱重、自動(dòng)積分等一系列操作.建立垃圾分類激勵(lì)機(jī)制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換禮品等，激發(fā)了居民參與垃圾分類的熱情，帶動(dòng)居民積極主動(dòng)地參與垃圾分類.經(jīng)過一段時(shí)間試行之后，在這兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問卷調(diào)查，記錄他們對試行方案的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）請通過頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表）；（2）以樣本頻率估計(jì)概率，若滿意度得分不低于70分說明居民贊成推行此方案，低于70分說明居民不太贊成推行此方案.現(xiàn)從小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，用表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，平面平面，，，，分別為，的中點(diǎn)，且.（1）證明：；（2）若為等邊三角形，求直線與平面所成角的正弦值.20.（本小題滿分12分）已知拋物線，為其焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求拋物線的方程；（2）若，是上異于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于，問平面內(nèi)是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，請求出定點(diǎn)及該定值；若不存在，請說明理由.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）函數(shù)，，記的極小值為，求函數(shù)的值域.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.（本小題滿分10分）[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)），曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程及曲線的普通方程；（2）已知，是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于原點(diǎn)），且，若曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值.23.（本小題滿分10分）[選修4-5；不等式選講]已知函數(shù).（1）若，解不等式；（2）證明：.贛州市2023年高三年級摸底考試數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題題號(hào)123456789101112答案BABDCDCDACBD11.解：由題意得，由橢圓定義得：.記，則，，則，，故，則（或由內(nèi)角平分線定理得到），則，即（負(fù)值已舍）.12.解：如圖，設(shè)，分別為棱，的中點(diǎn)，則三棱錐與三棱柱外接球相同.由余弦定理，由正弦定理外接圓半徑，設(shè)三棱柱外接球半徑為，則，則三棱錐外接球的表面積.二、填空題13.； 14.； 15.與中的任選一個(gè)即可；16.①②③④.16.解：由結(jié)合，，，由得：，即，結(jié)合得：，從而有，進(jìn)而得：，故4是的周期.又由的圖像關(guān)于直線對稱，即，從而可得：，從而有：，即，結(jié)合得，的圖像關(guān)于對稱，且，又，得.三、解答題17.解：（1）由…①當(dāng)時(shí)，……1分當(dāng)時(shí)，有…②……3分①-②得：，即……5分不符合上式，故……6分（2）由（1）知……7分故當(dāng)時(shí)，……8分當(dāng)時(shí)，……10分……11分因符合上式，故……12分18.解：（1）設(shè)小區(qū)方案一的滿意度平均分為，則……2分設(shè)小區(qū)方案二的滿意度平均分為，則……3分∵……4分∴方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎……5分（2）由題意可知方案二中，滿意度不低于70分的頻率為，低于70分的頻率為……6分現(xiàn)從小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，則……7分，……8分，……9分，……10分∴的分布列為012345……11分期望……12分19.證：（1）證明：如圖，連接，∵，為的中點(diǎn)，∴……1分又平面平面，平面平面，平面，故平面……2分∵平面，∴……3分又∵，且，，平面∴平面；而平面，∴……4分（2）解：由為等邊三角形，，得……5分如圖，過作的平行線軸，結(jié)合（1）知軸，，兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量……6分則……7分又，，得取，得，則……8分∵為的中點(diǎn)，∴……9分∵，∴……10分則……11分設(shè)直線與平面所成角為，則……12分20.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，則，而……2分所以……3分∴，所以……4分∴該拋物線的方程為……5分（2）法一：設(shè)，，，不妨設(shè)，∵，則，解得……6分①當(dāng)與軸不垂直時(shí)，，，此時(shí)直線的方程為：，整理得……7分∵，∴的方程為：，則直線恒過定點(diǎn)……8分∵，即，∴在以為直徑的圓上，該圓方程為……9分即當(dāng)為該圓心時(shí)，為定值……10分②當(dāng)軸時(shí)，，此時(shí)，∵，∴；當(dāng)時(shí)，也滿足……11分綜上，平面內(nèi)存在一個(gè)定點(diǎn)，使得為定值4……12分法二：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立……6分由題意，由韋達(dá)定理得：，……7分由，即解得……8分即，直線恒過定點(diǎn)……10分下同法一21.解：（1）法一：由得，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增……1分∴，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)無零點(diǎn)……2分②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)……3分③當(dāng)時(shí)，，又，……4分故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)……5分法二：方程等于解方程，記，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增……1分∴，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)，即無零點(diǎn)……2分②當(dāng)時(shí)，函數(shù)即有一個(gè)零點(diǎn)……3分③當(dāng)時(shí)，由，……4分故當(dāng)時(shí)，函數(shù)，即有兩個(gè)零點(diǎn)……5分（2）法一：由，得：……6分由（1）知：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，（不妨設(shè)），同時(shí)，也是的兩個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)與單調(diào)性完全相同……7分∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減……8分∴的極小值為……9分又滿足，即，代入上式得……10分又，∴……11分∴……12分法二：由，記，結(jié)合顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，故存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，，故存在兩個(gè)零點(diǎn)，（不妨設(shè)），下同法一注：，即或均可處理.22.解：（1）由曲線（為參數(shù)），得，∴曲線的普通方程為……1分又由，得，∴曲線的極坐標(biāo)方程為……3分又曲線，得，即……4分∴曲線的普通方程為……5分（2）由題意，設(shè)，則，又曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，∴即為點(diǎn)到直