2022-2023學(xué)年天津市寧河區(qū)蘆臺高二年級上冊學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年天津市寧河區(qū)蘆臺高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．橢圓上一點到一個焦點的距離為7，則點到另一個焦點的距離為（

）A．5 B．3 C．4 D．7【答案】B【分析】利用橢圓的定義即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點分別為，由定義可知：，因為橢圓方程為，所以，則，由題意知點到一個焦點的距離為7，則點到另一個焦點的距離為，故選：.2．已知等差數(shù)列滿足，則其前項之和為（

）A．90 B．180 C．99 D．81【答案】A【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式和前項和公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，得：，又其前項之和，故選：A.3．雙曲線的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可直接求出其漸近線方程.【詳解】∵雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴雙曲線的焦點在軸，，，且雙曲線的漸近線方程為，即.故選：C.4．如圖，在三棱錐中，點N為棱的中點，點M在棱上，且滿足，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】因為點為棱的中點，且，所以.故選：.5．設(shè)，則“”是“直線與直線”平行的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件【答案】C【分析】化簡求出直線與直線平行的充要條件,注意重合的情況，從而與判斷.【詳解】直線與直線:平行,;或;當(dāng)時，直線與直線重合，故不符合題意，，則“”是“直線:與直線平行”的充分必要條件.故選：C.6．記等比數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．12 B．18 C．21 D．27【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列，根據(jù)等比的中項性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】因為為等比數(shù)列的前項和，且，，易知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列所以，所以，解得.故選：C.7．已知拋物線的準(zhǔn)線是圓與圓的公共弦所在的直線，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出兩個圓的公共弦所在的直線方程，再求出拋物線方程作答.【詳解】將兩圓、的方程相減得：，顯然圓的圓心到直線距離1小于其半徑2，圓的圓心到直線距離小于其半徑，因此直線是圓與圓的公共弦所在的直線，即拋物線的準(zhǔn)線，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：C8．在公差不為零的等差數(shù)列中，依次成等比數(shù)列，前7項和為49，則數(shù)列的通項等于（

）A．n B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件及等比中項，利用等差數(shù)列的前項和公式及等差數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則因為依次成等比數(shù)列，所以，即，即，解得或（舍），因為等差數(shù)列的前7項和為49，所以，即，聯(lián)立，得，，所以數(shù)列的通項公式為.故選：C.9．設(shè)，為橢圓與雙曲線的公共的左右焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點M，是以線段為底邊的等腰三角形，且．若橢圓的離心率，則雙曲線離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件得到，結(jié)合橢圓的定義和離心率公式得到，求得的取值范圍，再由雙曲線的定義和離心率公式得到雙曲線的離心率，即可求解.【詳解】因為，為橢圓與雙曲線的公共的左右焦點，是以線段為底邊的等腰三角形，且，所以設(shè)（），因為橢圓的離心率，即，解得：，由于點在第一象限，所以雙曲線的離心率，因為，則，即，所以雙曲線的離心率取值范圍是.故選：D.二、雙空題10．已知拋物線（）上一點到其焦點的距離為．拋物線C的方程為____________；準(zhǔn)線方程為____________．【答案】

【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)得到其焦點為，準(zhǔn)線方程為（），結(jié)合條件得到，即可求解.【詳解】因為拋物線（），所以拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為（），由于拋物線上的點到其焦點的距離為，則有，解得：，所以拋物線C的方程為，準(zhǔn)線方程為，故答案為：；.三、填空題11．已知數(shù)列滿足，則____________．【答案】2【分析】首先根據(jù)數(shù)列的遞推公式，確定數(shù)列的前幾項，由此確定數(shù)列的周期，再求.【詳解】因為，所以，，，，所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，.故答案為：212．設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓離心率等于__________．【答案】【詳解】設(shè)到位于軸上方，坐標(biāo)為，∵為等腰直角三角形，∴，即，即，∵，∴，，∴．13．?dāng)?shù)列的前n項和為，若，則____________．【答案】【分析】利用裂項相消法求和.【詳解】因為，所以.故答案為：14．在長方體中，，，，點為的中點，則點到平面的距離為____________．【答案】##【分析】作出長方體，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量及向量，由空間向量求點到平面的距離方法，即可求解.【詳解】作出長方體，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：因為，，，點為的中點，所以，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則有，令，取，所以點到平面的距離，故答案為：.15．若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是____________．【答案】【分析】作出圖形，考查直線過點以及直線與曲線相切時實數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由，可得，整理可得，即，其中，故曲線表示圓的下半圓，作出直線與曲線的圖形如下圖所示：當(dāng)直線過點時，，當(dāng)直線與曲線相切時，，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.由題意,可得，且，解得，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時，直線與曲線有公共點，因此b的取值范圍為.故答案為：.四、解答題16．已知圓的圓心在直線上，且與直線：相切于點.（1）求圓的方程；（2）求過點與圓相切的直線方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）先得到過點且與直線：垂直的直線方程，與聯(lián)立求得圓心即可；（2）若過點的直線斜率不存在，即直線是判斷，若過點的直線斜率存在，設(shè)直線方程為，再根據(jù)直線與圓相切求解.【詳解】（1）過點與直線：垂直的直線的斜率為，所以直線的方程為，即.由，解得.所以.故圓的方程為：.（2）①若過點的直線斜率不存在，即直線是，與圓相切，符合題意；②若過點的直線斜率存在，設(shè)直線方程為，即，若直線與圓相切，則有，解得.此時直線的方程為，即.綜上，切線的方程為或.17．已知為等差數(shù)列，前項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和為.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可計算得到公比的值，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式可列出方程組，解出首項和公差的值，即可求得和的通項公式；（Ⅱ）先根據(jù)第（Ⅰ）題的結(jié)論得到數(shù)列的通項公式，然后運用錯位相減法求出前項和．【詳解】（Ⅰ）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則．故，解得，由題意，得，解得．；．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．，①，②①②，得．．【點睛】關(guān)鍵點點睛：已知等差等比數(shù)列求通項公式，主要方法是解方程組，等差等比數(shù)列相乘的形式的數(shù)列求和，利用錯位相減法處理即可，屬于中檔題.18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是等邊三角形，平面，E，F(xiàn)，G，O分別是的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的大小；(3)線段上是否存在點M，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)不存在，答案見解析【分析】（1）先證、，即可由線線垂直證線面垂直；（2）以O(shè)點為原點分別以O(shè)A，OG，OP所在直線為x軸，y軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面，平面的法向量，即可由法向量的夾角得出兩平面的夾角；（3）設(shè)，，求出，可得，整理得，由，方程無解，即可得不存在這樣的點M【詳解】（1）證明：因為是正三角形，O是的中點，所以．又因為平面平面，所以．平面，所以面．（2）以O(shè)點為原點分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，則又平面的法向量，所以．所以平面與平面所成角為．（3）假設(shè)線段上存在點M，使得直線與平面所成角為，則直線與平面法向量所成的夾角為，設(shè)，，所以所以，整理得，，即不存在這樣的點M．19．已知點F為橢圓的右焦點，A為橢圓的左頂點，橢圓的離心率為，連接橢圓的四個項點得到的菱形的面積為4．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點A作斜率為k的直線交橢圓于另一點B，①求的取值范圍；②若，求k的值．【答案】(1)(2)①；②【分析】(1)利用和可得到，由題意可得到，聯(lián)立可求得，即可求得答案；(2)①設(shè)點，求出，利用數(shù)量積可得到，結(jié)合即可求解；②設(shè)直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立得到一元二次方程，利用韋達定理可得到的坐標(biāo)，再利用兩點距離公式即可求解【詳解】（1）由，得，再由，解得，由橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4可得，即，解方程組，解得，所以橢圓的方程為；（2）①由（1）可得，所以根據(jù)題意可得，設(shè)點，則∴由題意得，所以，，即的取值范圍為；②由①可知，由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為，于是A、B兩點的坐標(biāo)滿足方程組，消去y并整理得，，所以，得，從而，所以，兩邊平方可得整理得，即，解得，滿足，