統(tǒng)計(jì)學(xué)第五章參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

統(tǒng)計(jì)學(xué)第五章參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)第一頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日推斷統(tǒng)計(jì)：利用樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體某些性質(zhì)或數(shù)量特征進(jìn)行推斷。隨機(jī)原則總體樣本總體參數(shù)統(tǒng)計(jì)量推斷估計(jì)參數(shù)估計(jì)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)抽樣分布第二頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的性質(zhì)無(wú)限總體有限總體不放回放回樣本樣本放回不放回樣本樣本獨(dú)立性和同一性同一性當(dāng)n/N≤5%時(shí)，有限總體不放回抽樣等同于放回抽樣無(wú)限總體第三頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布統(tǒng)計(jì)量：即樣本指標(biāo)。樣本均值樣本成數(shù)樣本方差如：第四頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日抽樣分布：某一統(tǒng)計(jì)量所有可能的樣本的取值形成的分布。性質(zhì)數(shù)字特征0≤P（Xi）1∑P（Xi）=1均值E（X）方差E[x-E(x)]2第五頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日樣本均值的抽樣分布（簡(jiǎn)稱均值的分布）抽樣總體樣本均值X,(N)均值μ=∑Xi/Nx,(n)樣本均值是樣本的函數(shù)，故樣本均值是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量，它的概率分布稱為樣本均值的抽樣分布。第六頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日無(wú)限總體均值：方差：有限總體放回抽樣？樣本均值的數(shù)字特征第七頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日有限總體不放回抽樣均值：方差：校正系數(shù)第八頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日從正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布也服從正態(tài)分布。從非正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布呢？中心極限定理：無(wú)論總體為何種分布，只要樣本n足夠大（n≥30），均值標(biāo)準(zhǔn)化為（z）變量，必定服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，均值則服從正態(tài)分布，即：第九頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)論：1、無(wú)論是放回或不放回抽樣，樣本均值的數(shù)學(xué)期望總是等于總體的均值；3、擴(kuò)大樣本容量，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差減??；2、樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差即抽樣誤差，總是按一定比例小于總體標(biāo)準(zhǔn)差，而且不放回抽樣的抽樣誤差比放回抽樣誤差??；4、當(dāng)總體為非正態(tài)分布時(shí)，樣本均值的抽樣分布隨著樣本容量的擴(kuò)大而趨近于正態(tài)分布。第十頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日例：某類產(chǎn)品的抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布，平均值為99.8公斤/平方厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為5.48公斤/平方厘米，從這個(gè)總體中抽出一個(gè)容量為12的樣本，問(wèn)這一樣本的平均值介于98.8公斤/平方厘米和100.9公斤/平方厘米之間的概率？解：將X變換為Z變量，即標(biāo)準(zhǔn)化第十一頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日于是乎第十二頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日樣本成數(shù)（即比例）的抽樣分布（簡(jiǎn)稱成數(shù)的分布）抽樣總體樣本成數(shù)X,(N)成數(shù)P=Ni/Nx,(n)所有可能的樣本的成數(shù)（）所形成的分布，稱為樣本成數(shù)的抽樣分布。第十三頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日樣本成數(shù)分布的數(shù)字特征無(wú)限總體均值：方差：有限總體放回抽樣？第十四頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日有限總體不放回抽樣均值：方差：第十五頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日例：已知辦公室人員所填寫的表格中5%有筆誤，檢查一個(gè)由475份表格組成的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，問(wèn)有筆誤的表格的成數(shù)在0.03和0.075之間的概率？解：近似認(rèn)為服從正態(tài)分布，均值=0.05，方差=0.0001。于是乎：第十六頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日第十七頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日一個(gè)樣本方差的抽樣分布抽樣總體樣本從一個(gè)正態(tài)總體中抽樣所得到的樣本方差的分布n,S2則當(dāng)則第十八頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)以樣本指標(biāo)直接估計(jì)總體參數(shù)。評(píng)價(jià)準(zhǔn)則：無(wú)偏性估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于總體參數(shù)，即該估計(jì)量稱為無(wú)偏估計(jì)。第十九頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日有效性

當(dāng)為的無(wú)偏估計(jì)時(shí)，方差越小，無(wú)偏估計(jì)越有效。一致性

對(duì)于無(wú)限總體，如果對(duì)任意，則稱是的一致估計(jì)。第二十頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日充分性一個(gè)統(tǒng)計(jì)量如能完全地包含未知參數(shù)信息，即為充分統(tǒng)計(jì)量，用該統(tǒng)計(jì)量估計(jì)時(shí)，稱為充分估計(jì)量。第二十一頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日定義區(qū)間估計(jì)設(shè)θ是總體的未知參數(shù)，是兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，對(duì)于給定的α（0<α

<1），如果滿足，則稱是θ的置信度為1-α的置信區(qū)間。第二十二頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日步驟：構(gòu)造一個(gè)合適的函數(shù)U，該函數(shù)與未知參數(shù)θ有關(guān)，與其他未知參數(shù)無(wú)關(guān)，且U分布已知；對(duì)給定的α，求一個(gè)λ1，一個(gè)λ2，使解不等式第二十三頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日評(píng)價(jià)準(zhǔn)則：隨機(jī)區(qū)間置信度精確度隨機(jī)區(qū)間包含（即可靠程度）越大越好。的概率的平均長(zhǎng)度（誤差范圍）越小越好第二十四頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日待估計(jì)參數(shù)θ已知條件置信區(qū)間總體均值μ正態(tài)總體，方差已知

正態(tài)總體，方差未知

非正態(tài)總體，n≥30

有限總體，n≥30（不放回抽樣）

總體均值的置信區(qū)間第二十五頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日待估計(jì)參數(shù)θ已知條件置信區(qū)間總體成數(shù)p無(wú)限總體，np和nq都大于5

有限總體，np和nq都大于5總體成數(shù)的置信區(qū)間第二十六頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日待估計(jì)參數(shù)θ已知條件置信區(qū)間總體方差正態(tài)總體

總體方差的置信區(qū)間第二十七頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日樣本容量的確定估計(jì)總體均值μ時(shí)假定服從正態(tài)分布。無(wú)限總體有限總體不放回第二十八頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日估計(jì)總體成數(shù)p時(shí)假定服從正態(tài)分布。無(wú)限總體有限總體不放回第二十九頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日例1：一家塑料公司想估計(jì)其產(chǎn)品的平均抗拉強(qiáng)度，要求以95%的置信度使估計(jì)值在真值附近1公斤/平方厘米的范圍內(nèi)，問(wèn)應(yīng)抽多少樣本？經(jīng)驗(yàn)表明方差估計(jì)值可取12.25。例2：一家市場(chǎng)調(diào)查公司想估計(jì)某地區(qū)有彩色電視的家庭所占的比重，估計(jì)誤差不超過(guò)0.05，置信度取95%，問(wèn)應(yīng)抽取多大容量的樣本？公司調(diào)查人員認(rèn)為實(shí)際的比例不能大于20%。第三十頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)：1、某車間生產(chǎn)滾珠，從長(zhǎng)期實(shí)踐中知道，滾珠直徑可以認(rèn)為服從正態(tài)分布，其方差為0.05，從某天的產(chǎn)品里隨機(jī)抽取6個(gè)，量得直徑如下：14.7，15.21，14.9，14.91，15.32，15.32，試求μ的置信區(qū)間。（α=0.05）2、某進(jìn)出口公司需要出口一批小型電機(jī)，其中有一個(gè)技術(shù)指標(biāo)為電機(jī)工作時(shí)定子線圈的最高溫度，為此該進(jìn)出口公司進(jìn)行了一次調(diào)查，已知該定子線圈最高溫度的總體標(biāo)準(zhǔn)差為8，隨機(jī)抽出49臺(tái)電機(jī)進(jìn)行實(shí)測(cè)，得到該廠電機(jī)工作時(shí)定子線圈最高溫度的樣本均值為110，要求計(jì)算給定置信度99%的該廠電機(jī)工作時(shí)定子線圈最高溫度的總體均值的置信區(qū)間。第三十一頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日3、某公司為了分析新產(chǎn)品的電視廣告效果，隨機(jī)訪問(wèn)了100名用戶，了解到其中有36人是通過(guò)電視廣告了解該產(chǎn)品的，要求以95%的置信水平估計(jì)通過(guò)電視廣告了解該產(chǎn)品的用戶占全部用戶的比重。4、用克矽平治療矽肺病患者，得治療前后血紅蛋白的差值為2.7，-1.2，-1，0，0.7，2，3.7，-0.6，0.8，-0.3，已知差值服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，求σ2的區(qū)間估計(jì)（α=0.05）第三十二頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理基本思想小概率原理：如果對(duì)總體的某種假設(shè)是真實(shí)的，那么不利于或不能支持這一假設(shè)的事件A（小概率事件）在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生的；要是在一次試驗(yàn)中A竟然發(fā)生了，就有理由懷疑該假設(shè)的真實(shí)性，拒絕這一假設(shè)。第三十三頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日總體（某種假設(shè)）抽樣樣本（觀察結(jié)果）檢驗(yàn)（接受）（拒絕）小概率事件未發(fā)生小概率事件發(fā)生第三十四頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日假設(shè)的形式：

H0——原假設(shè)，H1——備擇假設(shè)

雙尾檢驗(yàn)：H0：μ=μ0

，H1：μ≠μ0單尾檢驗(yàn)：H0：μ≥μ0

，H1：μ＜μ0H0：μ≤μ0

，H1：μ＞μ0假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本觀察結(jié)果對(duì)原假設(shè)（H0）進(jìn)行檢驗(yàn)，接受H0，就否定H1；拒絕H0，就接受H1。第三十五頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日檢驗(yàn)規(guī)則確定檢驗(yàn)規(guī)則檢驗(yàn)過(guò)程是比較樣本觀察結(jié)果與總體假設(shè)的差異。差異顯著，超過(guò)了臨界點(diǎn)，拒絕H0；反之，差異不顯著，接受H0差異臨界點(diǎn)拒絕H0接受H0cc判斷

怎樣確定c?第三十六頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日兩類錯(cuò)誤接受或拒絕H0，都可能犯錯(cuò)誤I類錯(cuò)誤——棄真錯(cuò)誤，發(fā)生的概率為α

II類錯(cuò)誤——取偽錯(cuò)誤，發(fā)生的概率為β檢驗(yàn)決策H0為真 H0非真 拒絕H0

犯I類錯(cuò)誤（α）正確 接受H0正確犯II類錯(cuò)誤（β）第三十七頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日步驟：建立原假設(shè)和備擇假設(shè)；選擇一個(gè)合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；給定顯著性水平，當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)求出臨界值；由樣本觀測(cè)值計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值，判斷。第三十八頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日幾種常見(jiàn)的假設(shè)檢驗(yàn)總體均值的檢驗(yàn)正態(tài)總體——方差已知構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量（1）H0：μ=μ0H1：μ≠μ0第三十九頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日（2）H0：μ=μ0H1：μ>μ0（3）H0：μ=μ0H1：μ<μ0第四十頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日正態(tài)總體——方差未知構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量（1）H0：μ=μ0H1：μ≠μ0第四十一頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日（2）H0：μ=μ0H1：μ>μ0（3）H0：μ=μ0H1：μ<μ0第四十二頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日非正態(tài)總體若方差已知若方差未知檢驗(yàn)方法同正態(tài)總體。第四十三頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日總體成數(shù)的檢驗(yàn)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量(1)H0：P=P0H1：P≠P0(2)H0：P=P0H1：P＞P0(3)H0：P=P0

H1：P＜P0第四十四頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日一個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量（1）H0：σ2=σ２0

H1：σ2≠σ２0

第四十五頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日（2）H0：σ2=σ２0

H1：σ2＞σ２0

（３）H0：σ2=σ２0

H1：σ2＜σ２0

第四十六頁(yè)，共四十八頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)：1、用某儀器間接測(cè)量溫度，重復(fù)五次，所得數(shù)據(jù)為1250、1265、1245、1260、12