自主輔導(dǎo)功和能

自主輔導(dǎo)功和能第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日

利用圖象求功之方法適用于當(dāng)力對(duì)位移的關(guān)系為線性時(shí);或在表示力對(duì)位移關(guān)系的F-s示功圖中F(s)圖線與s軸圍成的圖形“面積”有公式可依時(shí);因?yàn)樵贔-s示功圖中，這種“面積”的物理意義就是功的大小．

方法A利用圖象—示功圖sF0變力求功方法ABCxW第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日

錘子打木樁，錘每次從同一高度落下，每次均有80%的能量傳給木樁，且木樁所受阻力f與插入深度x成正比，試求木樁每次打入的深度比．若第一次打擊使木樁插入了全長的1/3，全部插入須錘擊多少次？

專題8-例1解:本題中的阻力f為一與位移x成正比的變力，即f=kx示功圖xF0x1x2x3……lW0W0W0圖中各陰影“面積”

表示第1、2、3……次錘擊中，木樁克服阻力做的功，數(shù)值上等于錘傳給木樁的能量，設(shè)為W0．

由圖當(dāng)xn=l時(shí)，由第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日

某質(zhì)點(diǎn)受到F=6x2的力的作用，從x=0處移到x=2.0m處，試求力F做了多少功？專題8-例2解:本題中的變力力F與位移x成F=6x2關(guān)系，F(xiàn)-x圖線為拋物線示功圖24x/mF/N02W圖中“面積”表示F力做的功“面積”由阿基米德公式由示功圖得F力做的功第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日

如圖所示，一質(zhì)量為m，長為l的柔軟繩索，一部分平直地放在桌面上，另一部分跨過桌面邊緣的光滑定滑輪下垂，柔繩與桌面間的摩擦因數(shù)為μ．⑴柔繩能由靜止開始下滑，求下垂部分長度至少多長？⑵由這一位置開始運(yùn)動(dòng)，柔繩剛離開桌面時(shí)的速度多大？小試身手題2解:⑴設(shè)柔繩恰由靜止開始下滑時(shí)下垂部分長度為x0，則由

⑵柔繩恰由靜止開始下滑至以v離開桌面，由動(dòng)能定理其中，重力功等于繩重力勢能減少摩擦力為線性變力：示功圖xFf0l-x0Wfx第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日

一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，被固定中心排斥，斥力的大小F=μmr，其中r為質(zhì)點(diǎn)離開此中心的距離．在開始時(shí)，r0=a，v=0，求質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過位移a時(shí)所達(dá)到的速度大?。≡嚿硎诸}5解:斥力為線性變化力！

示功圖rF0aaWF對(duì)示功圖求梯形陰影“面積”對(duì)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過位移a的過程，由動(dòng)能定理第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日

跳水運(yùn)動(dòng)員從高于水面H＝10m的跳臺(tái)自由落下，運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量m＝60kg，其體形可等效為長度l＝1.0m、直徑d＝0.30m的圓柱體，略去空氣阻力，運(yùn)動(dòng)員入水后水的等效阻力F作用于圓柱體下端面，F(xiàn)量值隨入水深度y變化如圖，該曲線近似為橢圓的一部分，長軸和短軸分別與OY和OF重合，為了確保運(yùn)動(dòng)員絕對(duì)安全，試計(jì)算水池中水的h至少應(yīng)等于多少？小試身手題8解:5mg/2YF0h對(duì)全過程運(yùn)用動(dòng)能定理:其中阻力功根據(jù)示功圖為四分之一個(gè)橢圓“面積”:示功圖入水過程中，浮力隨入水深度y作線性變化示功圖YF浮0l第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日

如果在某一位移區(qū)間，力隨位移變化的關(guān)系為F=f(s)，求該變力的功通常用微元法，即將位移區(qū)間分成n（n→∞）個(gè)小區(qū)間s/n，在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)將力視為恒定，求其元功Fi·s/n

，由于功是標(biāo)量，具有“可加性”，那么總功等于每個(gè)小區(qū)間內(nèi)元功之代數(shù)和的極限，即變力在這段位移中所做的功為：

方法B用微元法在數(shù)學(xué)上，確定元功相當(dāng)于給出數(shù)列通項(xiàng)式，求總功即求數(shù)列n項(xiàng)和當(dāng)n→∞時(shí)的極限．

第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日

半徑等于r的半球形水池，其中充滿了水，把池內(nèi)的水完全吸盡，至少要做多少功？

專題8-例3解:rri沿著容器的豎直直徑，我們將水池內(nèi)的水均勻細(xì)分成n層，每一元層水的高度r1i2每一層水均可看作一個(gè)薄圓柱，水面下第i層水柱底面的半徑這層水的質(zhì)量將這層水吸出至少應(yīng)做的元功是

將池水吸盡至少要做的功是

第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日

一個(gè)質(zhì)量為m的機(jī)動(dòng)小車，以恒定速度v在半徑為R的豎直圓軌道繞“死圈”運(yùn)動(dòng)．已知?jiǎng)幽Σ烈驍?shù)為μ，問在小車從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)過程中，摩擦力做了多少功？

專題8-例4解:小車沿豎直圓內(nèi)軌勻速率運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，由于軌道支持力是變力，故而摩擦力為一隨位置變化的力！xyOAB當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)在A處元圓弧段時(shí)

mgNA摩擦力在A處元功為當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)在與A關(guān)于x軸對(duì)稱的B處元圓弧段時(shí)

mgNB續(xù)解第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日摩擦力在B處元功為小車在關(guān)于水平直徑對(duì)稱的軌道兩元段上摩擦力元功之和為查閱摩擦力在半圓周軌道上的總功計(jì)算水平直徑以下段摩擦力的功：

續(xù)解第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日水平直徑以上段摩擦力的功：

第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日將板沿板長均分為n（n→∞）等份

將木板在水平地面上繞其一端轉(zhuǎn)動(dòng)角α，求所需要做的功．木板長度為L，質(zhì)量為M，木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．

小試身手題1解:元摩擦力做功的位移為摩擦力對(duì)i段做的元功為則對(duì)木板的功

各元段摩擦力為第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日

從一個(gè)容器里向外抽空氣，直到壓強(qiáng)為p．容器上有一小孔，用塞子塞著．現(xiàn)把塞子拔掉，問空氣最初以多大速率沖進(jìn)容器？設(shè)外界大氣壓強(qiáng)為p0，大氣密度為ρ．小試身手題4解:pp0Δxs設(shè)小孔截面積為s，打開塞子后孔外側(cè)厚度為Δx的一薄層空氣在內(nèi)、外壓強(qiáng)差作用下沖入容器，獲得速度v0，由動(dòng)能定理:第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日

這種求功方法依據(jù)功對(duì)能量變化的量度關(guān)系，只須了解初、未能量狀態(tài)，得到能量的增量便是相應(yīng)的功量．

方法C從能量變化反觀功第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日如圖所示,一質(zhì)量分布均勻的粗繩長2a，質(zhì)量為2m，兩端懸于水平天花板上相距為a的兩點(diǎn)而懸垂靜止，其重心位于天花板下方b處.現(xiàn)施一力于繩之最低點(diǎn)C并將繩拉直至D點(diǎn)，求拉力所做的功．D由幾何關(guān)系拉直后兩段繩的重心位置距天花

重力勢能增加了由功能原理，拉力功為

解：專題8-例5由于拉力做功，使繩之重心高度變化因而重力勢能變化，重力勢能的增量即為所求拉力功量．Chh第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日

一質(zhì)量為m的皮球，從高為h處自由下落（不計(jì)空氣阻力），反彈起來的高度為原來的3/4，要皮球反彈回h高處，求每次拍球需對(duì)球做的功

專題8-例6解:

在球與地面接觸期間，地面對(duì)球的彈力對(duì)球做負(fù)功，使球的動(dòng)能減少．地面對(duì)球的彈力功是變力功!牛頓碰撞定律：若兩球碰撞前速度依次為v10、v20，碰撞后速度為v1、v2，則碰撞后兩者的分離速度v2－v1與碰撞前兩者的接近速度v20－v10成正比，比值e稱恢復(fù)系數(shù)（或反彈系數(shù)），比值由兩者的質(zhì)料決定，即從h高度自由下落再反彈的全過程,地面彈力功W1:從h高度拍下再反彈原高的全過程,地面彈力功W2:續(xù)解第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日從h高下落未速度即與地接近速度:從地面反彈的起跳速度即與地分離速度:同一球與同一地面碰撞,恢復(fù)系數(shù)相同:第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日

如圖所示，有兩個(gè)薄壁圓筒．半徑為R的圓筒繞自己的軸以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，而另一個(gè)圓筒靜止．使兩圓筒相接觸并且它們的轉(zhuǎn)軸平行，過一會(huì)兒，由于摩擦兩圓筒開始做無滑動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)．問有多少機(jī)械能轉(zhuǎn)換成內(nèi)能？（兩圓筒的質(zhì)量分別為m1、m2）小試身手題9解:m1Rm2ω根據(jù)題意，一段時(shí)間內(nèi)m1線速度從ωR→ω1R,而m2線速度從0→ω2r=ω1R

這種變化是因?yàn)閮烧唛g有大小相等的一對(duì)力作用，這對(duì)力做功使系統(tǒng)機(jī)械能(動(dòng)能)轉(zhuǎn)換成內(nèi)能!對(duì)系統(tǒng),由動(dòng)能定理:又,由牛頓第二、三定律,一對(duì)力大小相等:第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日功能關(guān)系面面觀

功是力的空間積累作用，能是對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的一種量度．功的作用效應(yīng)是使物體的能量狀態(tài)發(fā)生變化，做功的過程就是物體能量轉(zhuǎn)化的過程，轉(zhuǎn)化了的能量都可以由做功的多少來量度，這是我們對(duì)功與能之間關(guān)系的基本認(rèn)識(shí)，是我們從能量角度解決運(yùn)動(dòng)問題的依據(jù)．

功能關(guān)系基本認(rèn)識(shí)

功能關(guān)系的具體認(rèn)識(shí)

功能對(duì)應(yīng)規(guī)律借助功與能的具體對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)運(yùn)動(dòng)的功的量度問題作出正確的操作.⑵確定有哪些力對(duì)研究對(duì)象做了正功或負(fù)功，以代數(shù)和的形式完成定理中等號(hào)左邊對(duì)合外力的功的表述；⑶分析所研究過程的初、未兩狀態(tài)的動(dòng)能，完成等號(hào)右邊對(duì)動(dòng)能變化的表述；動(dòng)能定理的應(yīng)用⑴選定研究的對(duì)象與過程;

示例第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日一定的能量變化由相應(yīng)的功來量度

※重力功量度重力勢能的變化：※外力（可以是重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力或其它力）做的總功量度動(dòng)能的變化：※彈力功量度彈性勢能的變化：

動(dòng)能定理※引力功量度引力勢能的變化：

※非重力彈力功量度機(jī)械能的變化：

勢能定理功能原理※電場力功量度電勢能的變化：

（W非可以是摩擦力功、電場力功、安培力功或其它非重力、彈簧彈力的功）

返回第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日

如圖示，一水塔的蓄水箱底離地面的高度H0=20m，其橫斷面是半徑R=2m的圓．儲(chǔ)水深h=1m，如果用裝在高H1=5m處、截面積為2cm2的水龍頭放水，問需要多久才能將水放完？

專題8-例7解:根據(jù)題意，水箱中的水從底部截面積為s的小孔流出，若流速為vi，則時(shí)間ti內(nèi)的水流量Qi=vitiS；總儲(chǔ)水全部流盡的時(shí)間應(yīng)為每層水放出時(shí)間的通項(xiàng)式為

全部水箱儲(chǔ)水放盡的總需時(shí)為小孔流速續(xù)解1i2n第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日一個(gè)常用近似示例第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日P0+P水P0設(shè)小孔處一小片厚Δx、面積S的液片,在內(nèi)外壓力之合力作用下獲得速度v而離開小孔，由動(dòng)能定理:小孔流速模型P0返回PP+P水第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日

質(zhì)量為m的小球以某一初速度豎直上拋，若運(yùn)動(dòng)中所受阻力Ff=kv2，最大阻力為重力的0.44倍，試求小球上升的最大高度H及落回拋出點(diǎn)時(shí)的速度vt．專題8-例8解:本題通過元過程的動(dòng)能定理,用微元法求得終解!本題研究過程中有重力功與阻力功,其中阻力功為耗散功,且為一按指數(shù)規(guī)律變化的力!一個(gè)重要極限取上升過程中的某一元過程：該過程小球上升了高度H/n(n→∞)，速度從vi減少為vi+1，各元過程中的阻力可視為不變?yōu)楹贤饬Ω鶕?jù)動(dòng)能定理，對(duì)該元過程有即對(duì)該式變形有

續(xù)解第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日在各相同的上升高度H/n微元中，合外力大小成等比數(shù)列遞減、因而動(dòng)能的增量是成等比數(shù)列遞減的，其公比為對(duì)上式兩邊取極限:同理,對(duì)下落過程由對(duì)此式兩邊取n次方當(dāng)n→∞極限:續(xù)解第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日由題給條件小球落回拋出點(diǎn)時(shí)的速度是拋出時(shí)速度的六分之五查閱第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日R

一質(zhì)點(diǎn)在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任意點(diǎn)P，在重力作用下由靜止開始往下滑，從Q點(diǎn)離開球面，求PQ兩點(diǎn)的高度差h．

專題8-例9解:本題除重力外無非保守力的功,機(jī)械能守恒!設(shè)球半徑為RPQHmgv由機(jī)械能守恒:Q點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程為:由幾何關(guān)系:若質(zhì)點(diǎn)從球頂部無初速滑下，則可沿球面滑下R/3的高度，釋放高度H越小，沿球面滑下的高度越短．這是一個(gè)有趣又有用的模型．

第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日xy

如圖甲所示，把質(zhì)量均為m的兩個(gè)小鋼球用長為2L的線連接，放在光滑的水平面上．在線的中央O作用一個(gè)恒定的拉力，其大小為F，其方向沿水平方向且與開始時(shí)連線的方向垂直，連線是非常柔軟且不會(huì)伸縮的，質(zhì)量可忽略不計(jì)．試求：⑴當(dāng)兩連線的張角為2θ時(shí)，如圖乙所示，在與力Ｆ垂直的方向上鋼球所受的作用力是多少？⑵鋼球第一次碰撞時(shí)，在與力Ｆ垂直的方向上，鋼球的對(duì)地速度為多少？⑶經(jīng)過若干次碰撞，最后兩個(gè)鋼球一直處于接觸狀態(tài)下運(yùn)動(dòng)，試求由于碰撞而失去的總能量為多少？小試身手題3OFO甲Fθθ乙解:⑴在如示坐標(biāo)中分解力FF在與F垂直方向上線對(duì)鋼球的力大小為⑵設(shè)鋼球第一次碰撞時(shí)沿F方向速度為vx，垂直于F方向速度為vy，設(shè)力F的位移為x，由動(dòng)能定理

在x方向上:⑶達(dá)到終態(tài)時(shí)，兩球vy=0，F(xiàn)總位移X，有

第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日

軍訓(xùn)中，戰(zhàn)士距墻S0以速度v0起跳，如圖所示，再用腳蹬墻面一次使身體變?yōu)樨Q直向上的運(yùn)動(dòng)以繼續(xù)升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為μ．求能使人體重心有最大總升高Hmax的起跳角θ．

小試身手題6解:S0v0θ設(shè)抵達(dá)墻時(shí)戰(zhàn)士速度為v，蹬墻后速度為v′,各矢量間關(guān)系如示，

矢量圖示vgtv0θv從起跳至上升至最高H處，由機(jī)械能守恒:

由矢量圖所示關(guān)系:

第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日

質(zhì)量為M、長為l的板放在冰面上，在板的一端坐著質(zhì)量為m的小貓它要跳到板的另一端，問小貓對(duì)冰面的最小速度v0min應(yīng)為多少？小貓為使跳到板的另一端所消耗的能量最少，問它的初速度v0應(yīng)該與水平面成多大角α？

小試身手題7解:貓消耗能量E，使貓及木板獲得初動(dòng)能：

起跳時(shí)間Δt內(nèi)m與M間水平方向相互作用力大小相等，故有貓從跳離板一端到落至板另一端歷時(shí)由豎直方向分運(yùn)動(dòng)得這段時(shí)間內(nèi)貓對(duì)板的位移應(yīng)滿足

利用基本不等式性質(zhì)

：

第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日

如圖所示，厚度不計(jì)的圓環(huán)套在粗細(xì)均勻、長度為L的棒的上端，兩者質(zhì)量均為m，圓環(huán)與棒間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，大小為一常數(shù)，為kmg（k＞1）．棒能沿光滑的豎直細(xì)桿AB上下滑動(dòng)，棒與地碰撞時(shí)觸地時(shí)間極短，且無動(dòng)能損失．設(shè)棒從其下端距地高度為H處由靜止自由下落，與地經(jīng)n次碰撞后圓環(huán)從棒上脫落⑴分析棒第二次碰地以前的過程中，環(huán)與棒的運(yùn)動(dòng)情況，求出棒與環(huán)剛達(dá)到相對(duì)靜止時(shí)，棒下端距地高度h；⑵求出n、k、L、H四個(gè)量應(yīng)滿足的關(guān)系．

小試身手題10解:⑴由機(jī)械能守恒，棒第一次碰地以前速度ABLH棒與地相碰后瞬時(shí)速度大小不變、方向向上，加速度為環(huán)速度

環(huán)加速度棒與環(huán)相對(duì)初速度

相對(duì)加速度

棒與環(huán)相對(duì)靜止時(shí)

環(huán)與棒的共同速度

從棒從地面向上到與環(huán)相對(duì)靜止的過程中，一對(duì)摩擦力做負(fù)功，重力分別對(duì)環(huán)、棒做負(fù)功，由動(dòng)能定理：

續(xù)解第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日

⑵棒與環(huán)一起以V1自由下落h至第二次落地時(shí)速度仍由機(jī)械能守恒此后棒與環(huán)相對(duì)滑動(dòng)則若在碰n次后環(huán)脫離棒，n、k、L、H四個(gè)量應(yīng)滿足的關(guān)系：

查閱第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日

鋼球沿著光滑的長梯彈跳，在每一級(jí)臺(tái)階上僅跳一次，如圖所示．每次與臺(tái)階碰撞時(shí)，球要損失η＝50％的機(jī)械能．試求小球拋出時(shí)的初速度v及其與豎直線的夾角φ．（梯子臺(tái)階的高度h＝10cm，寬l＝20cm）

小試身手題11解:lhφ根據(jù)題意，第一次與平臺(tái)碰撞前后有

vvv落v起vv每次跳起到落到下一臺(tái)階的過程中,有

v起v起v落由水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)得鋼球每一次飛行時(shí)間

代入數(shù)據(jù)整理后得說明起跳速度變?yōu)樗剑撉蚵湓诠拯c(diǎn)情況外，應(yīng)舍去此解第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日元功法

取元功作微元，以功能原理為基本依據(jù)求得一類物理問題解答的方法，我們稱之為“元功法”.這種解法所循基本原理是分析力學(xué)中的“虛功原理”，由伯努利首先提出的．用元功法可以處理某些平衡問題，且頗為簡單．

元功法

元功法處理平衡問題基本思路

取與原平衡狀態(tài)逼近的另一平衡狀態(tài)，從而虛設(shè)一個(gè)元過程，此過程中所有元功之和為零，以此為基本關(guān)系列出方程，通過極限處理，求得終解．第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日

如圖所示，質(zhì)量為m、長度為l的均勻柔軟粗繩，穿過半徑R的滑輪，繩的兩端吊在天花板上的兩個(gè)釘子上，兩鉤間距離為2R，滑輪軸上掛一重物，重物與滑輪總質(zhì)量為M，且相互間無摩擦，求繩上最低點(diǎn)C處的張力．

專題8-例10解:本題用元功法求解!分析粗繩、滑輪和重物構(gòu)成的系統(tǒng)的受力情況AOCRBTA(M+m)g分析繩之一半的受力情況TC設(shè)想在A處以力TA將ABC段繩豎直向上拉過一極小距離Δx由功能原理Δx第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日ab

如圖示，一輕三足支架每邊長度均為l,每邊與豎直線成同一角度，三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三角形，現(xiàn)用一繩圈套在三足支架的三足上,使其不能改變與豎直線間的夾角，設(shè)三