第五章彈性力學解題方法問題演示文稿

第五章彈性力學解題方法問題演示文稿當前1頁，總共69頁。第五章彈性力學解題方法問題當前2頁，總共69頁。目錄

5.1彈性力學基本方程

5.2問題的提法5.3彈性力學問題的基本解法

5.4圣維南局部影響原理

5.5

疊加原理當前3頁，總共69頁?？偨Y彈性力學基本理論；討論已知物理量、基本未知量；以及物理量之間的關系——基本方程和邊界條件。5.1

彈性力學基本方程當前4頁，總共69頁。1.平衡方程:彈性體要滿足的基本方程張量表示：當前5頁，總共69頁。

2.幾何方程：彈性體要滿足的基本方程張量表示：當前6頁，總共69頁。3.本構方程：彈性體要滿足的基本方程廣義胡克定律的應力表示張量表示：當前7頁，總共69頁。廣義胡克定律的應變表示張量表示：當前8頁，總共69頁。4.變形協(xié)調方程位移作為基本未知量時，變形協(xié)調方程自然滿足。當前9頁，總共69頁?；痉匠蹋浩胶馕⒎址匠處缀畏匠瘫緲嫹匠套冃螀f(xié)調方程（應變作為基本未知量）當前10頁，總共69頁。若物體表面的位移已知，則位移邊界條件為

物體表面的面力分量為Tx、Ty和Tz

已知,則面力邊界條件為：5.邊界條件若物體部分表面面力和部分表面位移已知，則為混合邊界條件當前11頁，總共69頁。5.2彈性力學問題的提法彈性力學的任務就是在給定的邊界條件下，對十五個未知量求解十五個基本方程。求解彈性力學問題時，并不需要同時求解十五個基本未知量，可以做必要的簡化。為簡化求解的難度，僅選取部分未知量作為基本未知量。當前12頁，總共69頁。在給定的邊界條件下，求解偏微分方程組的問題，在數(shù)學上稱為偏微分方程的邊值問題。按照不同的邊界條件，彈性力學有三類邊值問題。第一類邊值問題：已知彈性體內的體力分量以及表面的位移分量，邊界條件為位移邊界條件。第二類邊值問題：已知彈性體內的體力和其表面的面力分量為Tx、Ty和Tz，邊界條件為面力邊界條件。當前13頁，總共69頁。第三類邊值問題：已知彈性體內的體力分量，以及物體表面的部分位移分量和部分面力分量，邊界條件在面力已知的部分，為面力邊界條件，位移已知的部分為位移邊界條件。稱為混合邊界條件。以上三類邊值問題，代表了一些簡化的實際工程問題。若不考慮物體的剛體位移，則三類邊值問題的解是唯一的。當前14頁，總共69頁?；窘夥ǎ?）位移解法：以位移函數(shù)作為基本未知量（2）應力解法以應力函數(shù)作為基本未知量

（3）混合解法以部分位移和部分應力分量作為基本未知量

當前15頁，總共69頁。

5.3

彈性力學問題基本解法位移解法的主要步驟：利用位移函數(shù)u1,u2,u3表示其他未知量；推導由位移函數(shù)ui描述的基本方程；關鍵點：以位移表示的平衡微分方程。位移解法的基本方程1.平衡微分方程

2.幾何方程

3.本構方程

4.位移邊界條件，力邊界條件當前16頁，總共69頁。由

上式稱為應力位移表達式。將(1)代入(2)當前17頁，總共69頁。此式稱為位移表示的平衡方程（Leme方程）將應力位移表達式代入平衡方程轉換指標注意到：則即得當前18頁，總共69頁。注意有給定位移邊界條件就可由Leme方程解出ui=（u,v,w）或ui=（u1,u2,u3

）。ui=ui（x，y,z）ˉ其位移邊界條件為：當前19頁，總共69頁。對于用面力表示的邊界條件

Ti=σij

nj此式稱為力位移邊界條件。

注意：則將應力位移表達式代入面力邊界條件:

有當前20頁，總共69頁。為二階線性偏微分方程組，其解為齊次解+特解。對于Leme方程齊次方程對求導因則或即當前21頁，總共69頁。因所以有即體積應力滿足調和方程。結論即體積應變滿足調和方程。當前22頁，總共69頁。對Leme方程進行?2（調和算子）運算：有所以即當前23頁，總共69頁。這說明應力與應變滿足雙調和方程。有即由有及即由當前24頁，總共69頁。結論：對于Leme方程其齊次方程有當前25頁，總共69頁。位移分量求解后，可通過幾何方程求出應變和通過本構方程求出應力。

總之，位移解法以位移為3個基本未知函數(shù)（u1,u2,u3），歸結為在給定的邊界條件下求解位移表示的3個平衡微分方程，即三個拉梅方程。對于位移邊界條件，位移解法是十分合適的。當前26頁，總共69頁。

至此，我們討論了彈性力學位移解法的基本方程。除無限大域外，位移解法也適用于全部邊界條件為位移邊界的情況。然而，對于力邊界條件問題，位移解法就顯得不夠簡便。一種變通的方法就是選擇應力為求解的場變量。應力需要滿足六個平衡方程和三個獨立的協(xié)調方程，通過這六個方程可以求解出六個應力分量。當前27頁，總共69頁。

例設有半空間體，單位體積的質量為，在水平邊界面上受均布壓力的作用，試用位移法求各位移分量和應力分量，并假設在處方向的位移受均布壓力作用的半空間體解：可以假設因此體積應變按位移解題例題當前28頁，總共69頁。對于Leme方程當前29頁，總共69頁?；蚍e分上式有將代入拉梅方程：當前30頁，總共69頁。在邊界上，得結合的表達式可得代入由位移表示的邊界條件當前31頁，總共69頁。由條件得將常數(shù)和代入的表達式，得求應變當前32頁，總共69頁。由廣義胡克定律有當前33頁，總共69頁。即當前34頁，總共69頁。位移法其位移邊界條件為：給定位移邊界條件就可由Leme方程解出

。復習:位移法當前35頁，總共69頁。位移分量求解后，可通過幾何方程求出應變和通過本構方程求出應力。

位移解法以位移為3個基本未知函數(shù)（u1,u2,u3），歸結為在給定的邊界條件下求解位移表示的3個平衡微分方程，即三個拉梅方程。位移解法適用于位移邊界條件。當前36頁，總共69頁。

對于位移法體力為常量時：由位移法得到：體積應力和體積應變均滿足調和（Laplace)方程；即體積應力函數(shù)和體積應變函數(shù)為調和函數(shù)。位移分量,應力分量和應變分量均滿足雙調和方程；位移分量,應力分量和應變分量為雙調和函數(shù)。當前37頁，總共69頁。解：由幾何方程求應變分量已知,求應力位移法例題2lxypphh1yz當前38頁，總共69頁。由2lxypp當前39頁，總共69頁。力邊界條件y=+

h

:v

=

0_位移邊界條件應力應滿足邊界條件2lxyppy=+

h

y=-

h

當前40頁，總共69頁。應力解法基本步驟：以應力分量σij作為基本未知量；

用六個應力分量表示協(xié)調方程；關鍵點：以應力表示的協(xié)調方程應力解法的方程

1.平衡微分方程

2.變形協(xié)調方程

3.本構方程

4.面力邊界條件當前41頁，總共69頁。由應力表示的本構方程代入?yún)f(xié)調方程當前42頁，總共69頁。（1）整理上面的方程，把其中l(wèi)的指標取為k，當前43頁，總共69頁。（2）把k=1,2,3的疊加起來，運用當前44頁，總共69頁。即合并有當前45頁，總共69頁。上式對指標i和j對稱所以只含有六個獨立方程，利用平衡方程

有同理改寫成當前46頁，總共69頁。

上兩式代入?yún)f(xié)調方程中有把上式中

i=j

的3個方程疊加起來，注意到

σii=

Θ,Θ,ii=

?2Θ

和

δii=3

可得當前47頁，總共69頁。對上式作雙調和運算有當前48頁，總共69頁。由有及當前49頁，總共69頁。上式稱為Michell方程(用應力表示的協(xié)調方程)將上式回代到協(xié)調方程中有當前50頁，總共69頁。還可以寫成Michell方程當前51頁，總共69頁。對于上式當時有當前52頁，總共69頁。同理對于上式當時分別有當前53頁，總共69頁。對于上式當時有即當前54頁，總共69頁。展開Michell方程當前55頁，總共69頁。體力為常數(shù)時，右端項為零，故有上方程稱為Beltremi方程。當滿足面力邊界條件時即得到問題的解答。解上面的方程，或下面的Michell方程當前56頁，總共69頁。應力法體力為零時當前57頁，總共69頁。應力解法的基本未知量為6個應力分量，可以避開幾何方程；基本方程為3個平衡微分方程和6個變形協(xié)調方程和3個邊界條件，對于幾何形狀或載荷較復雜問題的求解困難。應力解法適用于面力邊界條件與單連體?？傊谝詰瘮?shù)作為基本未知量求解時，歸結為在給定的面力邊界條件下，求解平衡微分方程和應力表示的變形協(xié)調方程所組成的偏微分方程組。

當前58頁，總共69頁。混合解法根據(jù)問題性質和邊界條件，選擇不同的基本未知量求解稱為混合解法。當前59頁，總共69頁。彈性理論解的惟一性定理彈性體受已知外力的作用。在物體的邊界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知；則彈性體平衡時，體內各點的應力和應變是惟一的，對于后兩種情況，位移也是唯一的。當前60頁，總共69頁。局部影響原理：物體在任意一個小部分作用有一個平衡力系，則該平衡力系在物體內部所產生的應力分布，僅局限于力系作用的附近區(qū)域。在距離該區(qū)域相當遠處，這種影響便急劇減小。5.4

圣維南原理當前61頁，總共69頁。圣維南原理圖示當前62頁，總共69頁。解的疊加原理：

小變形線彈性條件下，作用于物體的若干組載荷產生的總效應（應力和變形等），等于每組載荷單獨作用效應的總和。5.5

疊加原理當前63頁，總共69頁。

逆解法根據(jù)問題的性質，確定基本未知量和相應的基本方程，并且假設一組滿足全部基本方程的應力函數(shù)(或位移函數(shù))。然后在確定的坐標系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的物體，其表面將受什么樣的面力作用或者將存在什么樣的位移。當前64頁，總共69頁。

半逆解法對于給定的彈性力學問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀，受力特征和變形特點，或已知簡單結論，如材料力學解，假設部分應力分量或者部分位移分量的函數(shù)形式為已知，由基本方程確定其他的未知量，然后根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)。當前65頁，總共69頁。

彈性力學解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理論依據(jù)。

逆解法和半逆解法其求解過程帶有“試算”的性質；