名師教案 人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊1.2.4二面角

教學(xué)設(shè)計教學(xué)基本信息課題二面角學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：第四學(xué)段年級高二教材書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊B版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年8月教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點、難點學(xué)習(xí)二面角的相關(guān)概念，了解二面角的表示方法；了解二面角的平面角的概念，學(xué)會通過線面垂直的性質(zhì)、三垂線定理和逆定理，作二面角的平面角；學(xué)會應(yīng)用解三角形的方法，求解二面角的平面角的大小.著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、抽象概括能力和空間想象能力，正確使用空間圖形的描述方法，理解并掌握空間圖形平面化的數(shù)學(xué)思想和解三角形的計算技巧.共設(shè)計2道例題,分別在兩個空間幾何基本型——三棱錐、立方體中，學(xué)習(xí)并掌握尋找和作出二面角的平面角的方法，并完成角的求解和計算.教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖引入日常生活中，很多場景都有平面與平面所成一定角度的形象，鱗次櫛比的屋頂、有特點的建筑、公交車站候車亭、打開的書和筆記本、可拉伸的節(jié)能燈……如何刻畫這些面與面所成的角，度量它們的大小呢？通過對生活中的觀察，認(rèn)識面與面相交的情況下幾何圖形的特征，引出對二面角及二面角的平面角的概念.新課一、二面角的相關(guān)概念1.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這個直線稱為二面角的棱，這兩個平面稱為二面角的面.2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一點O，以O(shè)為垂足，分別在半平面和內(nèi)作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角.3.二面角的平面角的作法已知平面內(nèi)一點A過A作于B；在平面內(nèi)，過A作于C；連接BC.即為所求作的二面角的平面角.二面角的大小我們約定，二面角及其平面角的大小為.直二面角平面角是直角的二面角是指二面角，因此證明兩個面垂直可以通過證明所成二面角為直二面角得到.通過兩個面相交的圖形得到二面角的形象，從而引出二面角的表示.借助二面角與平面角的對比，引出對二面角大小的度量方法的思考，得到二面角的平面角的概念十分自然.借助點是線、面的元素，從已知面內(nèi)一點，到得到二面角的平面角，作法中應(yīng)用了線面垂直的性質(zhì)，三垂線定理及其逆定理，是對垂直證明的回顧和復(fù)習(xí).通過運動變化的觀點，研究二面角的范圍，確定二面角的大小要通過準(zhǔn)確的觀察，突出了觀察在解決立體幾何題目的重要作用.例題例1.如圖三棱錐S-ABC中，面SAC⊥面ABC,SA=SC=√3，AB=BC=2，且AB⊥BC，求（1）二面角S-AB-C的大小二面角B-SA-C的大小解：取AC,AB的中點D,E.連接SD,DE,SE.因為SA=SC,所以SD⊥AC.又因為面SAC⊥面ABC，所以SD⊥面ABC.所以SE在平面ABC內(nèi)的射影為DE.因為DE為△ABC的中位線，AB⊥BC，所以AB⊥DE,從而由三垂線定理可知AB⊥SE，所以∠SED為二面角S-AB-C的平面角.由AB=BC=2且AB⊥BC可知，所以.又因為，從而在△SDE中，，從而可知∠SED=45°，即所求二面角大小為45°.(2)解：連接BD，因為BA=BC,所以BD⊥AC.又因為面SAC⊥面ABC，所以BD⊥面SAC.過D作DF⊥SA于F，連接BF.因為DF⊥SA，由三垂線定理可知BF⊥SA，所以∠BFD為二面角B-SA-C的平面角.因為SD=1,,由△SAD的面積求法，得.由（1），所以，所以，即二面角為60°.已知正方體,棱長為1.求（1）二面角的余弦值；（2）二面角的余弦值.解：連接交于O，觀察發(fā)現(xiàn)二面角是鈍角，與二面角互補.連接BO，因為,，所以是二面角的平面角,設(shè)二面角的平面角為，.所以，由同角關(guān)系可知，即二面角的余弦值為.觀察圖形，正方體截面和截面均是正三角形.解：取AB的中點E，連接.所以，所以是二面角的平面角.正三角形邊長為，高為.所以,又.在△中，由余弦定理得，即二面角的余弦值為.三棱錐是立體幾何的基本圖形，選擇這個題目提醒學(xué)生注意審題，仔細(xì)找準(zhǔn)二面角.把握住等腰三角形的條件，通過等腰三角形三線合一的性質(zhì)，取中點證垂直，借助面面垂直的性質(zhì)，推導(dǎo)出線面垂直的結(jié)論，并利用三垂線定理作出二面角的平面角，這是一個典型的解題流程，著重讓學(xué)生體會證明的邏輯.找到包含二面角的平面角的三角形，通過解三角形的方法求解角.第（2）問和第（1）問作法類似，著重訓(xùn)練學(xué)生準(zhǔn)確作出二面角的平面角.正方體是空間幾何體的基本圖，正方體截面問題是正方體的常見問題.借助圖形的特殊性，在圖中尋找線面垂直，確定二面角的平面角的位置是此題的突破口.做立體幾何的題目要重視觀察法，通過確定二面角的大小，做出相應(yīng)三角函數(shù)值的符號判斷.解三角形中已知三邊的情況下使用余弦定理，提醒同學(xué)注意問題處理的靈活性.總結(jié)二面角的表示：面-棱-面2.二面角的度量：求二面角的平面角.關(guān)注作二面角的平面角的方法、三垂線定理及其逆定理的使用.3.靈活運用空間幾何平面化的思想，把二面角的平面角放到三角形里求解.總結(jié)反思，強化本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點作業(yè)教材第52頁練習(xí)A第1題已知二面角的大小為，且，△ABP的面積為3，求△的面積.2.教材第52頁練習(xí)B第2題已知正三棱錐的所