一元線性回歸模型的應用

一元線性回歸模型的應用第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日一、區(qū)間估計有關知識的回顧1、點估計根據(jù)總體參數(shù)的性質構造一個統(tǒng)計量，然后由樣本資料計算出統(tǒng)計量的值，并直接作為相應的總體參數(shù)值得替代。常見的點估計有最小二乘估計、極大似然估計、矩估計等。2、區(qū)間估計區(qū)間估計就是用兩個估計值所構成的實軸區(qū)間作為總體參數(shù)取值的可能范圍。設和是的兩個估計量，用或直接替換就是點估計，若用（，）估計，這就是區(qū)間估計。

第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日舉例說明一大型超市為研究顧客的購買額，抽取了100個客戶作樣本，這些顧客平均花費水平為80元，標準差是25元，試求總體平均購買額的變化范圍（）解：根據(jù)題意，n=100,=80，S=25，由統(tǒng)計學原理知，在原假設成立時，統(tǒng)計量

服從自由度為25的t分布，其分布圖象大致是第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日t統(tǒng)計量的值落在與之間的概率是，所以有下面的等式成立代入有關數(shù)據(jù)，查課本370頁的t分布表，找到=2.06，并計算得

上述區(qū)間[74.85，85.15]稱為的置信度為95%的置信區(qū)間，0.95稱為置信水平或置信度。該區(qū)間表示意義是我們以95%的概率斷定這個大型超市全體消費者的平均購買額落在區(qū)間[74.85，85.15]內。

第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日二、總體條件均值與個別值的預測值1、總體條件均值E(Y|X)的預測值含義在總體回歸函數(shù)為的情況下，Y在時，條件均值為

其含義是當研究的總體的自變量X的取值為時，該總體因變量的均值是，在例2.1.1中，當X=4000時，E(Y|X=4000）=3004.8表示當這個社區(qū)有一部分居民的月收入達到4000元時，該社區(qū)這一部分居民平均消費水平將達到3004.8元。第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日總體均值的區(qū)間估計含義：在例中，當X=4000時，E(Y|X)的95%置信區(qū)間是[3004.8-1.96×115.76，3004.8+1.96×115.76]=[2777.9，3231.69]，其含義是當這個社區(qū)有一部分居民收入達到4000元時，我們以95%的概率斷定這一部分居民平均月消費額在2777.9元至3231.69元之間。2、個別預測值的含義個別預測值表示當總體回歸函數(shù)為的情況下，Y在時，條件均值為

其含義是當研究的總體中有一個個體，其自變量X的取值為時，該個體的因變量預測值是

第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日在例2.1.1中，當總體自變量X的取值為4000時，個別值的預測值的點估計是3004.8元。表示當該社區(qū)居民中，若有一個居民其月收入達到4000元時，估計他（或她）的月消費額是3004.8元。個別值的區(qū)間估計含義若在該社區(qū)中，有一個居民其月收入達到4000元時，他（或她）的月消費額的95%置信區(qū)間是[3004.8-1.96×163.71，3004.8+1.96×163.71]，也就是[2683.93，3325.67]。表示意義是我們可以以95%的概率斷定他（或她）的月消費額在2683.93至3325.67元之間。從上面的分析知道，對同一個總體，當自變量時，其總體均E(Y|X=)預測值和個別值的預測值的點估計是相同的(都是），但是，它們的區(qū)間估計是不同的。這是因為它們的方差不同所致。它們的方差分別是

同時，即使它們的點估計是相同的，但是所表示的意義是不同的，請同學們注意這個問題。第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日例2.5.1講解從總體上考察中國居民收入與消費支出的關系。下表給出了以１９９０年不變價測算的中國人均國內生產總值（ＧＤＰＰ）與以居民消費價格指數(shù)（1990年為100）縮減的人均居民消費支出（CONSP）兩組數(shù)據(jù)。這兩組數(shù)據(jù)是1978-2000年的時間序列數(shù)據(jù)（timeseriesdata),即觀測值是連續(xù)不同年份中的數(shù)據(jù)，該表的數(shù)據(jù)與表2.1.1中的數(shù)據(jù)不同，表2.1.1中的數(shù)據(jù)涉及的是同一年份中不同居民家庭的可支配收入與消費支出，因此也稱為截面數(shù)據(jù)（cross-sectiondata).第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日年份人均居民消費支出人均GDP19781979198019811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199819992000395.8437.0464.1501.9533.5572.8635.6716.0746.5788.3836.4779.7797.1861.4966.61048.61108.71213.11322.81380.91460.61564.41690.8675.1716.9763.7792.4851.1931.41059.21185.21269.61393.61527.01565.91602.31727.21949.82187.92436.12663.72889.13111.93323.13529.33789.7第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日解法1（手工算）解題思路：根據(jù)一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計表達式其中第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日解法2（用EViews軟件）DependentVariable:CONSP Method:LeastSquares Date:10/02/07Time:23:47 Sample:19782000 Includedobservations:23

Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.

C 201.1189 14.88402 13.51241 0.0000 GDPP 0.386180 0.007222 53.47471 0.0000

R-squared 0.992710

Meandependentvar 905.3304 AdjustedR-squared 0.992363

S.D.dependentvar 380.6334 S.E.ofregression 33.26450

Akaikeinfocriterion 9.929800 Sumsquaredresid 23237.06

Schwarzcriterion 10.02854 Loglikelihood -112.1927

F-statistic 2859.544 Durbin-Watsonstat 0.550636

Prob(F-statistic) 0.000000

第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日DependentVariable:CONSP Method:LeastSquares Date:10/02/07Time:23:47 Sample:19782000 Includedobservations:23

Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.

C 201.1189 14.88402 13.51241 0.0000 GDPP 0.386180 0.007222 53.47471 0.0000

R-squared 0.992710

Meandependentvar 905.3304 AdjustedR-squared 0.992363

S.D.dependentvar 380.6334 S.E.ofregression33.26450

Akaikeinfocriterion 9.929800 Sumsquaredresid 23237.06

Schwarzcriterion 10.02854 Loglikelihood -112.1927

F-statistic 2859.544 Durbin-Watsonstat 0.550636

Prob(F-statistic) 0.000000

第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日幾個概念：S.E.ofregression回歸標準誤差，計算方法是其中表示殘差列向量，T為樣本容量，k為被估計參數(shù)的個數(shù)。Sumsquaredresid殘差平方和，計算方法是

第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日Log

likelihood對數(shù)似然函數(shù)，計算方法是Meandependentvar因變量均值Akaikeinfocriterion赤池信息準則，計算方法

第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日Schwarzcriterion施瓦茨準則，計算方法Prob(F-statistic)=pro(F>),即回歸方程的p值第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日解法3（用SPSS軟件）第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日四、作業(yè)下表是10個品牌啤酒的廣告費用和銷售量的數(shù)據(jù)，請你做以下工作：（1）、用廣告費用作自變量x，銷售額作因變量y,求出估計的回歸方程。（2）、簡要概括一下你的發(fā)現(xiàn)。第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日啤酒品牌廣告費（萬元）銷售量（萬箱）ABCDEFGHIJ120.068.7100.176.68.71.021.51.45.31.736.320.715.913.28.17.15.64.44.44.3第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日五、附錄：有關公式的推導1、一元線性回歸模型的最小二乘估計設有一元線性回歸模型，其樣本數(shù)據(jù)分別是，i=1，2，…，n.根據(jù)最小二乘估計原理，使為最小。由微積分學原理，有

（1）

第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日化簡（1），得正規(guī)方程組解正規(guī)方程組得

（2）第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日化簡（2），得離差形式的估計其中

2、參數(shù)和的最小二乘估計的性質（1）線性性由和的最小二乘估計的表達式知，、是的線性函數(shù)，故線性性顯然。（2）無偏性第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日同理可證，因此和是和的無偏估計。（3）有效性

第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日而因此，令