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速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)第一頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日梯度:標(biāo)量場(chǎng)的【梯度】()是一個(gè)矢量場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)中某一點(diǎn)上的梯度指向標(biāo)量場(chǎng)增長(zhǎng)最快的方向,梯度的長(zhǎng)度是這個(gè)最大的變化率。上面兩個(gè)圖中,標(biāo)量場(chǎng)是黑白的,黑色表示大的數(shù)值,而其相應(yīng)的梯度用藍(lán)色箭頭表示。2第二頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日勢(shì)函數(shù)無(wú)旋運(yùn)動(dòng)時(shí),其速度矢是可以由函數(shù)的梯度來(lái)表示的,這個(gè)函數(shù)就稱為速度矢的【(位)勢(shì)函數(shù)】??梢?jiàn),用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)就把三維的速度矢都表示出來(lái)了,減少了未知量。3第三頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日等(位)勢(shì)面:取t為一固定時(shí)刻,若有此時(shí)的幾何圖像是一個(gè)空間曲面,稱為等勢(shì)函數(shù)面——【等位勢(shì)面】。當(dāng)取大小不同的常數(shù)值時(shí),上式就是等勢(shì)面族??芍海?)速度矢與等勢(shì)面垂直。(2)流動(dòng)(或說(shuō)速度矢)是從高位勢(shì)流向低位勢(shì)。(3)等位勢(shì)面彼此緊密的地方,速度值大;等位勢(shì)面彼此疏松的地方,速度值小。4第四頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日散度:勢(shì)函數(shù)與速度分量:稱為三維拉普拉斯算符,則:是一個(gè)二階偏微分方程——泊松方程(Poisson),由此可得到【勢(shì)函數(shù)】與【速度矢】之間的互求關(guān)系。勢(shì)函數(shù)與散度:5第五頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日流函數(shù)與平面運(yùn)動(dòng):【平面運(yùn)動(dòng)】需要滿足下列兩個(gè)條件:在所有平行于某個(gè)A面的平面上,流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都是在該平面上進(jìn)行的。在A面的垂線上,各物理量都相等。若取A面為XOY平面,z軸垂直向上,以上兩個(gè)條件就是:平面運(yùn)動(dòng)比一般的空間運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單,具體說(shuō)來(lái)速度只有二個(gè)方向的分量u,v,所有物理量只是x,y的函數(shù)。6第六頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日在大氣中,常用XOY平面運(yùn)動(dòng)作為大氣運(yùn)動(dòng)的一種近似模型,前提條件是:研究的問(wèn)題中XY方向的尺度>>Z方向的尺度,Z方向的速度分量及物理量沿Z方向的變化比起其它方向小的多,可以近似認(rèn)為Z方向的速度分量為零,其它物理量沿Z方向的變化也為零。7第七頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日流函數(shù):我們對(duì)流函數(shù)的討論是建立在二維運(yùn)動(dòng)XOY,且運(yùn)動(dòng)無(wú)輻散。即:由無(wú)輻散條件,可以找到一個(gè)函數(shù)與速度矢對(duì)應(yīng),我們把這個(gè)函數(shù)寫成ψ,ψ的全微分為:8第八頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日流函數(shù):(1.77)中為二維矢量微商符上面的ψ就是流函數(shù),(1.77)就是流函數(shù)與速度矢的關(guān)系。9第九頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日流函數(shù)與流線的關(guān)系根據(jù)流線方程的求法,(*)的流線方程為:(1.75)可積的充要條件是無(wú)輻散,與(1.76)對(duì)比,發(fā)現(xiàn)是一樣的。對(duì)(1.76)積分,得:上式時(shí)間取定,常數(shù)也取定時(shí),就代表了某時(shí)刻的某一條流線,或等流函數(shù)線,此曲線上的切線處處跟流速矢方向一致。10第十頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日注意:流函數(shù)引入的條件是流體運(yùn)動(dòng)為二維,而流體是不可壓縮的,不論流體是有旋還是無(wú)旋,流函數(shù)都存在。如將流函數(shù)應(yīng)用到一般的三維流體運(yùn)動(dòng)則會(huì)引起相當(dāng)大的解析困難。)引入流函數(shù)的優(yōu)點(diǎn):可以減少表征流體運(yùn)動(dòng)的變量。2個(gè)變1個(gè)。流函數(shù)還可以用來(lái)表示流體體積通量。11第十一頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日流函數(shù)與體積通量:圖中自南向北的4條線是流線(等流函數(shù)線),任取AB曲線,在該線上任一點(diǎn)的速度矢是,法向單位矢是,曲線單位矢是上式表明,兩點(diǎn)的流函數(shù)值之差等于過(guò)這兩點(diǎn)的任何曲線的流體的體積通量(體積流量)值,跟曲線的形狀、長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。12第十二頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日流函數(shù)與渦度的關(guān)系即流函數(shù)的二維拉普拉斯運(yùn)算等于流體渦度的垂直分量13第十三頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日一般的二維流動(dòng)(1)速度矢的分解一般的二維流體運(yùn)動(dòng),不一定無(wú)旋或無(wú)輻散,而是既有旋又有輻散,此時(shí)我們可以把一般的二維流體運(yùn)動(dòng)的速度矢分成兩部分,一部分是有旋無(wú)輻散,另一部分是無(wú)旋有輻散,即有:14第十四頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日速度矢的分解稱為無(wú)輻散渦旋流(流函數(shù)對(duì)應(yīng))
稱為無(wú)旋輻散流(勢(shì)函數(shù)對(duì)應(yīng))15第十五頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日速度矢的分解已知速度矢,如何得到速度的分解:1)根據(jù)速度求出渦度和散度,即:2)我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)給出了【勢(shì)函數(shù)與散度】的關(guān)系,【流函數(shù)與渦度】的關(guān)系,如下:這是兩個(gè)泊松方程,連立求解就得到勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)16第十六頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日3)根據(jù)輻散流和勢(shì)函數(shù)的關(guān)系,渦旋流和流函數(shù)的關(guān)系,得到兩個(gè)風(fēng)速分量,即:17第十七頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日拉普拉斯流動(dòng)滿足以下條件的為【拉普拉斯流動(dòng)】:兩維平面運(yùn)動(dòng)(u,v不為零,w=0)理想流體(不考慮粘性,0=μ)無(wú)輻散流(D=0);無(wú)旋流18第十八頁(yè),共二十頁(yè),2022年,8月28日拉普拉斯流的特點(diǎn):特點(diǎn)一:勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)
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