數(shù)值計(jì)算方法(第3章)1

第3章解線(xiàn)性方程組的數(shù)值解法引言在自然科學(xué)和工程技術(shù)中很多問(wèn)題的解決常常歸結(jié)為解線(xiàn)性代數(shù)方程組。例如電學(xué)中的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題，船體數(shù)學(xué)放樣中建立三次樣條函數(shù)問(wèn)題，用最小二乘法求實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線(xiàn)擬合問(wèn)題，解非線(xiàn)性方程組問(wèn)題，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程邊值問(wèn)題等都導(dǎo)致求解線(xiàn)性方程組，而且后面幾種情況常常歸結(jié)為求解大型線(xiàn)性方程組。線(xiàn)性代數(shù)方面的計(jì)算方法就是研究求解線(xiàn)性方程組的一些數(shù)值解法與研究計(jì)算矩陣的特征值及特征向量的數(shù)值方法。引言關(guān)于線(xiàn)性方程組的數(shù)值解法一般有兩類(lèi)。直接法：經(jīng)過(guò)有限步算術(shù)運(yùn)算，可求得方程組的精確解的方法（若在計(jì)算過(guò)程中沒(méi)有舍入誤差）迭代法：用某種極限過(guò)程去逐步逼近線(xiàn)性方程組精確解的方法迭代法具有占存儲(chǔ)單元少，程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，原始系數(shù)矩陣在迭代過(guò)程中不變等優(yōu)點(diǎn)，但存在收斂性及收斂速度等問(wèn)題例題2例3.1.2.3.1高斯消元法設(shè)線(xiàn)性方程組簡(jiǎn)記AX=b高斯消元法克萊姆法則在理論上有著重大意義，但在實(shí)際應(yīng)用中存在很大的困難，當(dāng)n=20時(shí),萬(wàn)億次計(jì)算機(jī)計(jì)算D需要一年.在線(xiàn)性代數(shù)中，為解決這一困難給出了高斯消元法。例題例3.3.3.用消元法解方程組例題第一步：-2x（1）+(3)得3.1.1下三角形方程求解設(shè)（1）由（1）得高斯順序消元法算法：上三角方程組的解法上三角方程組的解法設(shè)

由（2）式回代得

高斯順序消去法

高斯順序消去法設(shè)第k-1次消元得A(k)x=b(k)其中高斯順序消去法則第k次消元:高斯順序消去法也就是對(duì)于方程組AX=b系數(shù)矩陣做：高斯順序消去法

高斯順序消去法高斯順序消去法算法框圖

高斯消去法的計(jì)算量

高斯順序消去法條件

3.1.3.高斯主元素消去法Gauss列主元消元法從第一列中選出絕對(duì)值最大的元素交換高斯列主元消去法高斯列主元消去法第k步從的第k列，，中選取絕對(duì)值最大項(xiàng)，記錄所在行，即若交換第k行與l行的所有對(duì)應(yīng)元素，再進(jìn)行順序消元。

框圖高斯列主元消去法高斯列主元消去法高斯列主元消去法例題2例3.1.2.2.全主元消去法例如.求解方程組

全主元消去法全主元消去法全主元消去法全主元消去法全主元消去法全主元消去法Gauss全主元消元算法Gauss全主元消元算法Gauss全主元消元算法3.高斯-約當(dāng)消去法與一般消去法相比，高斯—約當(dāng)消去法是一種無(wú)回代過(guò)程的算法設(shè)方程組AX=b經(jīng)過(guò)（k-1）次消元得高斯-約當(dāng)消去法算法選列主元的Gauss-Jordan消去法Guass-Jordan消去法形式上比Guass消去法簡(jiǎn)單,求解無(wú)回代過(guò)程,但從工作量角度看前者大約需要O(),而后者需要量O(),比有回代的Guass消去法多O()工作量.小節(jié)比較而言,Gauss順序消去法條件苛刻,且數(shù)值不穩(wěn)定;Gauss全主元消去法工作量偏大，需要比較個(gè)元素及行列交換工作，算法復(fù)雜；對(duì)于Gauss-Jordan消去法形式