數(shù)學(xué)北師大版必修1提升訓(xùn)練3.6指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長的比較Word版含解析

第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)§6指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長的比擬根底過關(guān)練題組一不同增長函數(shù)模型的比擬1.以下函數(shù)中,增長速度越來越慢的是()A.y=6xB.y=log6xC.y=x6D.y=6x2.“紅豆生南國,春來發(fā)幾枝.〞如圖給出了紅豆生長時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖,那么最適合擬合紅豆的枝數(shù)與生長時(shí)間的關(guān)系的函數(shù)是()A.指數(shù)函數(shù)y=2tB.對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2tC.冪函數(shù)y=t3D.二次函數(shù)y=2t23.三個(gè)變量y1,y2,y3,隨著變量x的變化情況如下表:x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.957.27.4那么與x呈對(duì)數(shù)型函數(shù),指數(shù)型函數(shù),冪型函數(shù)變化的變量依次為()A.y1,y2,y3B.y2,y1,y3C.y3,y2,y1D.y1,y3,y24.(2021廣東惠州高一上期末)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表:t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用以下函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是()A.v=log2tB.v=log1C.v=t2-12D.5.函數(shù)f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的圖像如下圖.(1)指出圖中C1,C2分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù);(2)比擬兩函數(shù)的增長差異(以兩圖像交點(diǎn)為分界點(diǎn),對(duì)f(x),g(x)的大小進(jìn)行比擬).題組二不同增長函數(shù)模型的應(yīng)用6.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,需經(jīng)過y年,那么函數(shù)y=f(x)的圖像大致是()7.某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等,甲食堂的營業(yè)額逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的營業(yè)額也逐月增加,且每月增加的百分率相同.該年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等,那么該年5月份()A.甲食堂的營業(yè)額較高B.乙食堂的營業(yè)額較高C.甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同D.不能確定甲、乙哪個(gè)食堂的營業(yè)額較高8.一種專門侵占內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒,開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB,然后每3分鐘自身復(fù)制一次,復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍,那么開機(jī)后經(jīng)過分鐘,該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存(1MB=210KB).

9.某人對(duì)東北一種松樹的生長進(jìn)行了研究,收集了其高度h(米)與生長時(shí)間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示,選擇h=mt+b與h=loga(t+1)來擬合h與t的關(guān)系,你認(rèn)為哪個(gè)符合?并預(yù)測第8年松樹的高度.t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.710.(2021四川成都高一上期末調(diào)研)某公司承包了一個(gè)工程工程,經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)該公司在這項(xiàng)工程工程上的月利潤P與月份x近似地滿足某一函數(shù)關(guān)系.其中2月到5月所獲利潤統(tǒng)計(jì)如下表:月份(月)2345所獲利潤(億元)89908986(1)該公司的月利潤P與月份x近似滿足以下中的某一個(gè)函數(shù)模型:①P(x)=ax2+bx+c;②P(x)=a·bx+c;③P(x)=alogbx+c,請(qǐng)以表中該公司這四個(gè)月的利潤與月份的數(shù)據(jù)為依據(jù)給出你的選擇(需要說明選擇該模型的理由),并據(jù)此估計(jì)該公司8月份在這項(xiàng)工程工程中獲得的利潤;(2)根據(jù)(1)中選擇的函數(shù)模型P(x),假設(shè)該公司承包工程的月本錢符合函數(shù)模型Q(x)=P(x)-2x+36(題組三不同增長函數(shù)模型的圖像特征11.小明騎車上學(xué),開始時(shí)勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后,為了趕時(shí)間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖像是()12.向高為H的水瓶內(nèi)注水,一直到注滿為止,如果注水量V與水深h的函數(shù)圖像如下圖,那么水瓶的形狀大致是()13.如下圖的是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質(zhì)的殘留量y與凈化時(shí)間t(月)的近似函數(shù)關(guān)系:y=at(t≥0,a>0且a≠1)的圖像.有以下表達(dá):①第4個(gè)月時(shí),殘留量就會(huì)低于15②每月減少的有害物質(zhì)量都相等;③假設(shè)殘留量為12,14,18時(shí),所經(jīng)過的時(shí)間分別是t1,t2,t3,那么t1+t2=其中所有表達(dá)正確的序號(hào)是.

14.在某種金屬材料的耐高溫實(shí)驗(yàn)中,溫度y(℃)隨著時(shí)間t(min)變化的情況由計(jì)算機(jī)記錄后顯示的圖像如下圖.現(xiàn)給出以下說法:①前5min溫度增加的速度越來越快;②前5min溫度增加的速度越來越慢;③5min以后溫度保持勻速增加;④5min以后溫度保持不變.其中說法正確的選項(xiàng)是(填序號(hào)).

15.函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖像如下圖.設(shè)兩函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)請(qǐng)指出圖中曲線C1,C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù);(2)結(jié)合函數(shù)圖像,比擬f(6),g(6),f(2021),g(2021)的大小.能力提升練一、選擇題1.(2021河南河大附中高一上期中,)函數(shù)y1=2x,y2=x2,y3=log2x,在區(qū)間(0,+∞)上一定存在x0,當(dāng)x>x0時(shí)()x>x2>log2xB.x2>2x>log2x2x>2x>x22x>x2>2x2.()下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù),由此判斷它最可能的函數(shù)模型是()x456y152015A.一次函數(shù)模型B.二次函數(shù)模型C.指數(shù)函數(shù)模型D.對(duì)數(shù)函數(shù)模型3.()某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:萬元)對(duì)年銷售量y(單位:t)的影響,對(duì)近6年的年宣傳費(fèi)xi(i=1,2,…,6)和年銷售量yi進(jìn)行整理,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:x1.002.003.004.005.006.00y1.652.202.602.762.903.10根據(jù)上表數(shù)據(jù),以下函數(shù)中適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的擬合函數(shù)的是()A.y=0.5(x+1)B.y=log3x+1.5C.y=2x-1D.y=2x4.(2021四川江油一中高一上期中,)一種放射性元素最初的質(zhì)量為500g,按每年10%衰減,那么這種放射性元素的半衰期約為年.(注:剩余質(zhì)量為最初質(zhì)量的一半,所需的時(shí)間叫作半衰期)(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù):lg2=0.3010,lg3=0.4771)()

5.(2021湖北武漢三中高一上月考,)如下圖,液體從一個(gè)圓錐形漏斗漏入一個(gè)圓柱形桶中,開始時(shí)漏斗中盛滿液體,經(jīng)過3秒漏完,圓柱形桶中液面上升速度是一個(gè)常量,那么漏斗中液面下降的高度H與下降時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系的圖像只可能是()6.()某小型貿(mào)易公司為了實(shí)現(xiàn)年終10萬元利潤的目標(biāo),特制訂了一個(gè)銷售人員年終績效獎(jiǎng)勵(lì)方案:當(dāng)銷售利潤為x萬元(4≤x≤10)時(shí),獎(jiǎng)金y(萬元)隨銷售利潤x(萬元)的增加而增加,但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過2萬元,同時(shí)不超過銷售利潤的12,那么以下函數(shù)中,符合該公司獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型是(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3,lg3≈0.48,lg5≈0.7)()A.y=0.4xB.y=lgx+1C.y=x12D.y=1.二、填空題7.(2021四川瀘州瀘縣一中高一下月考,)把物體放在空氣中冷卻,如果物體原來的溫度是θ1℃,空氣溫度是θ0℃,t分鐘后溫度θ℃可由公式:θ=θ0+(θ1-θ0)·e-tln32求得,現(xiàn)有60℃的物體放在15℃的空氣中冷卻,當(dāng)物體溫度降為35℃時(shí),所用冷卻時(shí)間8.(2021廣東深圳中學(xué)高一上期中,)小菲在選修課中了解到艾賓浩斯記憶曲線,為了解自己記憶一組單詞的情況,她記錄了隨后一個(gè)月的有關(guān)數(shù)據(jù),繪制圖像,擬合了記憶保持量y與時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系:y=-7某同學(xué)根據(jù)小菲擬合后的信息得到以下結(jié)論:①隨著時(shí)間的增加,小菲的單詞記憶保持量降低;②9天后,小菲的單詞記憶保持量低于40%;③26天后,小菲的單詞記憶保持量缺乏20%.其中正確的結(jié)論序號(hào)有.

三、解答題9.(2021江西信豐中學(xué)高一上期末,)某紀(jì)念章于2021年元旦開始上市.通過市場調(diào)查,得到該紀(jì)念章每一枚的市場價(jià)y(單位:元)與上市時(shí)間x(單位:天)的數(shù)據(jù)如下表:上市時(shí)間x天41036市場價(jià)y元905190(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),從以下函數(shù)中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型描述該紀(jì)念章的市場價(jià)y與上市時(shí)間x的關(guān)系,并說明理由;①y=ax+b(a≠0);②y=ax2+bx+c(a≠0);③y=alogbx(b>0,且b≠1).(2)利用選取的函數(shù),求該紀(jì)念章市場價(jià)最低時(shí)的上市時(shí)間及最低的價(jià)格.10.()某醫(yī)藥研究所研發(fā)的一種新藥,成年人按規(guī)定的劑量服用后,據(jù)監(jiān)測:服藥后每毫升血液中的含藥量y(單位:微克)與時(shí)間t(單位:小時(shí))之間近似滿足如下圖的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù).(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(t);(2)據(jù)進(jìn)一步測定:每毫升血液中含藥量不少于1微克時(shí),治療有效.問:服藥多少小時(shí)后開始有治療效果?治療效果能持續(xù)多少小時(shí)?(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301)11.(2021四川攀枝花高一上教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測,)攀枝花是一座資源富集的城市,礦產(chǎn)資源儲(chǔ)量巨大,已發(fā)現(xiàn)礦種76種,探明儲(chǔ)量39種,其中釩、鈦資源儲(chǔ)量分別占全國的63%和93%,占全球的11%和35%,因此其素有“釩鈦之都〞的美稱.攀枝花市某科研單位在研發(fā)鈦合金產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)了一種新合金材料,由大數(shù)據(jù)測得該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值y(y值越大產(chǎn)品的性能越好)與這種新合金材料的含量x(單位:克)的關(guān)系為:當(dāng)0≤x<7時(shí),y是x的二次函數(shù);當(dāng)x≥7時(shí),y=13x-mx(單位:克)02610…y-4881…(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);(2)求該新合金材料的含量x為何值時(shí)產(chǎn)品的性能到達(dá)最正確.12.()某服裝批發(fā)市場銷售季節(jié)性流行服裝F,當(dāng)季節(jié)即將來臨時(shí),價(jià)格呈上升趨勢,開始時(shí)每件定價(jià)為120元,并且每周(7天)每件漲價(jià)10元(第1周每件定價(jià)為120元,第2周每件定價(jià)為130元),4周后開始保持每件160元的價(jià)格銷售;8周后當(dāng)季節(jié)即將過去時(shí),平均每周每件降價(jià)10元,直到第12周末,該服裝不再銷售.(1)試建立每件售價(jià)A與周次t之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)假設(shè)此服裝每件進(jìn)價(jià)B與周次t之間的關(guān)系式為B=80+6t,t∈(0,4],t∈N+,104,答案全解全析第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)§6指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長的比擬根底過關(guān)練1.BA、C中函數(shù)的增長速度越來越快,D中一次函數(shù)的增長速度不變,只有B中對(duì)數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢,符合題意.2.A根據(jù)所給的散點(diǎn)圖,觀察得到圖像在第一象限,且從左到右圖像是上升的,并且增長速度越來越快,根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的增長趨勢可得,用指數(shù)函數(shù)擬合最好,應(yīng)選A.3.C由題表中的數(shù)據(jù)可以看出,y3增長緩慢,所以是對(duì)數(shù)型函數(shù);y2增長速度最快,所以是指數(shù)型函數(shù);y1的增長速度僅次于y2,是冪型函數(shù).應(yīng)選C.4.C由題表中的數(shù)據(jù)可知:v隨著t的增大而增大,所以B不符合;對(duì)于A,log21.99≈2,log23≈1.6,log24=2,所以A不符合;對(duì)于C,1.992-12≈1.5,32-12=4,42-12=7.5,5對(duì)于D,2×1.99-2=1.98,2×3-2=4,2×4-2=6,2×5.1-2=8.2,2×6.12-2=10.24,D不符合.應(yīng)選C.5.解析(1)由題中的函數(shù)圖像特征及變化趨勢,知曲線C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=0.3x-1,曲線C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)=lgx.(2)當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),g(x)>f(x);當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),g(x)<f(x);當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),g(x)>f(x).g(x)呈直線增長,函數(shù)值變化是均勻的,f(x)隨著x的增大而逐漸增大,其函數(shù)值變化得越來越慢.6.D設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a,由題意知,ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),∴y=f(x)的圖像大致為D中的圖像.7.A設(shè)甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m,甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a>0),乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x,由題意可知,m+8a=m×(1+x)8,那么5月份甲食堂的營業(yè)額y1=m+4a,乙食堂的營業(yè)額y2=m×(1+x)4=m(m+8a).因?yàn)閥12-y22=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y8.答案45解析設(shè)開機(jī)后經(jīng)過n個(gè)3分鐘,該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存,那么2×2n=64×210=216,解得n=15,故時(shí)間為15×3=45(分鐘).9.解析根據(jù)題表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如圖.由圖像可以看出增長的速度越來越慢,用一次函數(shù)模型擬合不適宜,選用對(duì)數(shù)函數(shù)模型比擬合理.不妨將(2,1)代入h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3.故可用函數(shù)h=log3(t+1)來擬合這個(gè)實(shí)際問題.當(dāng)t=8時(shí),求得h=log3(8+1)=2(米),故可預(yù)測第8年松樹的高度為2米.10.解析(1)易知a≠0,因?yàn)镻(x)=a·bx+c,P(x)=alogbx+c為單調(diào)函數(shù),由所給數(shù)據(jù)知,滿足條件的函數(shù)不單調(diào),所以選取P(x)=ax2+bx+c進(jìn)行描述.將題表中(2,89),(3,90),(4,89)代入P(x),得到89=4a+2b+c,90=9a+3b+c,89=16a+4b+c,解方程組得a=-1,b=6,c當(dāng)x=8時(shí),得P=65(億元).所以8月份所獲得的利潤約為65億元.(2)由(1)得,Q(x)=-=-(x-2)2+121.當(dāng)x=2時(shí),Q所以該公司承包的這項(xiàng)工程工程月本錢的最大值為11億元,相應(yīng)的月份為2月.11.C開始時(shí)小明勻速行駛,所得圖像為一條直線,且距離學(xué)校越來越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段時(shí)間,與學(xué)校的距離不變,故排除D.后來為了趕時(shí)間加快速度行駛,故排除B.應(yīng)選C.12.B水深h為自變量,隨著h的增大,A中V的增長速度越來越快,C中先慢后快再慢,D中增長速度不變,只有B中V的增長速度越來越慢.應(yīng)選B.13.答案①③解析根據(jù)題意,函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)2,49,故函數(shù)為y=23t.易知①③正確14.答案②④解析因?yàn)闇囟葃關(guān)于時(shí)間t的圖像是先凸后平,所以前5min每當(dāng)t增加一個(gè)單位時(shí),相應(yīng)的增量Δy越來越小,而5min后y關(guān)于t的增量保持為0,所以②④正確.15.解析(1)曲線C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x3,曲線C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)=2x.(2)∵f(1)=2>g(1)=1,f(2)=4<g(2)=8,f(9)=512<g(9)=729,f(10)=1024>g(10)=1000,∴1<x1<2,9<x2<10,由題圖可以看出,當(dāng)x1<x<x2時(shí),f(x)<g(x),∴f(6)<g(6);當(dāng)x>x2時(shí),f(x)>g(x),∴f(2021)>g(2021).又g(2021)>g(6),∴f(2021)>g(2021)>g(6)>f(6).能力提升練一、選擇題1.A由于指數(shù)函數(shù)增長最快,對(duì)數(shù)函數(shù)增長最慢,因此當(dāng)x很大時(shí),指數(shù)函數(shù)值最大,對(duì)數(shù)函數(shù)值最小,即在區(qū)間(0,+∞)上一定存在x0,當(dāng)x>x0時(shí),2x>x2>log2x,應(yīng)選A.2.B當(dāng)自變量x由4增大到5時(shí),函數(shù)值y由15增大到20;當(dāng)自變量x由5增大到6時(shí),函數(shù)值y由20減小到15.因此函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),從而函數(shù)模型不可能是一次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型和對(duì)數(shù)函數(shù)模型,應(yīng)選B.3.B由題表知,當(dāng)自變量增加1個(gè)單位時(shí),函數(shù)值依次增加0.55、0.40、0.16、0.14、0.20,因此A、C不符合題意;當(dāng)x取1、4時(shí),y=2x的值分別為2、4,與題表中的數(shù)據(jù)相差較大,應(yīng)選B.4.B設(shè)這種放射性元素的半衰期為x年,那么500(1-10%)x=250,所以(1-10%)x=12,所以log0.912=所以x=log109所以x=lg2lg10所以x=lg21所以x=0.30101-2應(yīng)選B.解題模板求解和對(duì)數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題的思路:(1)根據(jù)題設(shè)條件列出符合的關(guān)于待求量的等式;(2)利用指對(duì)互化、對(duì)數(shù)運(yùn)算法那么以及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)換底公式求出待求量的值.5.B由于所給的圓錐形漏斗上口大于下口,當(dāng)時(shí)間取12t時(shí),會(huì)到達(dá)漏斗高度的12,比照四個(gè)選項(xiàng)的圖像可得結(jié)果應(yīng)選B.6.BA選項(xiàng)中,當(dāng)x=10時(shí),y=4,超過2萬元,故A不符合;B選項(xiàng)中,y=lgx+1在[4,10]上是增函數(shù),x=10時(shí),ymax=2,結(jié)合圖像(如圖)知:lgx+1<x2在x∈[4,10]上恒成立,故B符合C選項(xiàng)中,當(dāng)x=10時(shí),y=10>2,超過2萬元,故C不符合;D選項(xiàng)中,當(dāng)x=10時(shí),y=9810,設(shè)9810=a,那么lga=10(lg9-lg8)≈因此a≈100.6>10>2,超過2萬元,故D不符合.應(yīng)選B.二、填空題7.答案2解析由題意,得θ0=15℃,θ1=60℃,θ=35℃,∵θ=θ0+(θ1-θ0)·e-∴35=15+(60-15)·e-∴49=e-tln32=解得t=2.8.答案①②解析由y=-可得y隨著x的增加而減少,故①正確;當(dāng)1<x≤30時(shí),y=15+920x-12,那么f(9)=15+920×9-12=0.35,f(26)=15+920×26-12>15,故9天后,小菲的單詞記憶保持量低于40%,三、解答題9.信息提取①當(dāng)x=4,10,36時(shí),y依次為90,51,90;②給出三個(gè)函數(shù)模型,選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型描述該紀(jì)念章的市場價(jià)y與上市時(shí)間x的關(guān)系.數(shù)學(xué)建模此題以經(jīng)濟(jì)生活中紀(jì)念章的市場價(jià)的估算為背景,建立函數(shù)模型,通過比擬函數(shù)值增長的快慢選擇最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型進(jìn)行估算.求解時(shí),首先確定三種模型的解析式,分析、驗(yàn)證函數(shù)模型,找出最接近的函數(shù)模型.解析(1)∵隨著時(shí)間x的增加,y的值先減后增,而所給的三個(gè)函數(shù)中,y=ax+b(a≠0)和y=alogbx(b>0,且b≠1)顯然都是單調(diào)函數(shù),不滿足題意,∴選取y=ax2+bx+c(a≠0).(2)由題知,把點(diǎn)(4,90),(10,51),(36,90)代入y=ax2+bx+c中,得16a+4b+c=90,100a+10b∴y=14x2-10x+