21.4二重積分的變量變換

/§4二重積分的變量變換教學目的了解二重積分的一般的變量變換公式，掌握用極坐標計算二重積分．教學內容二重積分的一般的變量變換公式;極坐標變換公式.（1)基本要求:了解二重積分的一般的變量變換公式,掌握二重積分的極坐標變換．(2)較高要求:理解二重積分的一般的變量變換公式的證明。教學建議(1）本節(jié)的重點是極坐標變換公式，要求學生必須熟練掌握．（２)本節(jié)的難點是二重積分的一般的變量變換公式的證明,可要求較好學生了解．教學程序一、二重積分的變量變換公式引理設變換：，將平面上由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域，一對一地映成平面上的閉區(qū)域，函數(shù),在內分別具有一階連續(xù)偏導數(shù)且它們的函數(shù)行列式=0，，則區(qū)域的面積=。(5）證明現(xiàn)給出在內分別具有二階連續(xù)偏導數(shù)時的證明,在內分別具有一階連續(xù)偏導數(shù)的證明以后給出．由于變換是一對一的，且０，因而把的內點變?yōu)榈膬赛c,所以的按段光滑邊界曲線變換到時，其邊界曲線也是按段光滑曲線,設曲線的參數(shù)方程為=，=.由于按段光滑，所以，在上至多除去有限個第一類間斷點外,在其他點上都是連續(xù)的。因為，所以的參數(shù)方程為：．若規(guī)定從變到時,對應于的正向,則根據(jù)格林公式，取,有＝=，(6）另一方面,在平面上=,（7)其中正號及負號分別由從變到時,是對應于的正向或是負方向所決定.由(6)及(7）得到＝=．令，在平面上對上式應用格林公式,得到=由于函數(shù)具有二階連續(xù)偏聽偏信導數(shù),即有，因此=,于是=．又因為總是非負的，而在上不為零且連續(xù)，故其函數(shù)值在上不變號，所以=.定理21。13設在有界閉區(qū)域上可積，變換：，將平面上由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域一對一地映成平面上的閉區(qū)域,函數(shù),在內分別具有一階連續(xù)偏導數(shù)且它們的函數(shù)行列式=0，，則=。證明用曲線網(wǎng)把分成個小區(qū)域,在變換作用下區(qū)域也相應地分成個小區(qū)域，記及的面積為及由引理及二重積分的中值定理，有==,其中．令,,則．作二重積分的積分和==，上式右邊的和式是上的可積函數(shù)的積分和．又由變換的連續(xù)性可知，當區(qū)域的分割的細度時,區(qū)域相應的分割的細度也趨于零．因此得到＝.例1求，其中是由所圍區(qū)域.解作變換即，則=，==＝=。例2求拋物線,和直線,所圍成區(qū)域的面積．解的面積=作變換，=。=＝==．二、用極坐標計算二重積分 :，(8)定理２1.1４設滿足定理21。13的條件，且在極坐標變換(8）下，平面上有界區(qū)域與平面上區(qū)域對應，則成立=．證明若為圓域,則為平面上的矩形區(qū)域．設為在圓環(huán)中除去中心角為的扇形所得的區(qū)域，則在變換(8)下，對應于平面上的矩形區(qū)域=。但極坐標變換（8）在與之間是一對一變換,且在上函數(shù)行列式。于是由定理21．13有=,因為在有界閉區(qū)域上有界,在上式中令即得＝.若是一般的有界區(qū)域，則取足夠大的，使包含在圓域=內，并且在上定義函數(shù)=,(ⅰ)若原點，平面上射線=常數(shù)與的邊界至多交于兩點。表示為，于是有=.若原點，平面上的圓＝常數(shù)與的邊界至多交于兩點．表示為,于是有=．（ⅱ）若原點為的內點，的邊界方程表示為，則表示為，于是有=。(ⅲ）若原點在的邊界上，則為，于是有=.例3計算＝,其中為圓域。解====.例4球被圓柱面所割下部分的體積．解=4=4=＝．?例５計算＝,其中為圓域：解＝=,作廣義極坐標